2021-2022学年浙江省精诚联盟高二下学期3月联考数学试题含答案

浙江省精诚联盟2021-2022学年高二下学期3月联考

数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前、在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合目的要求.

1. 直线：的方向向量可以是（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知双曲线的离心率为，则的值是（）

A.  B. 9 C.  D. 15

3. 如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（）

A.  B.

C.  D.

4. 已知曲线在处的切线为，点到切线的距离为为（）

A. 1 B.  C. 2 D.

5. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（）

A. 36个 B. 30个 C. 25个 D. 20个

6. 过点的直线与抛物线：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的2倍，则（）

A.  B.  C. 10 D. 17

7. 已知数列满足，，则使得成立的的最小值为（）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

8. 已知m，n为实数，不等式恒成立，则的最小值为（）

A.  B.  C. 1 D. 2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 关于空间向量，下列说法正确的是（）

A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则

B. 直线的方向向量为，直线的方向向量，则

C. 若对空间内任意一点，都有，则P，A，B，C四点共面

D. 平面，的法向量分别为，，则

10. 如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（）

A. 矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列

B. 前9个矩形块中所填写的数字之和等于

C. 面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为

D. 记为除了前块之外矩形块面积之和，则

11. 已知圆：和圆：相交于A、B两点，下列说法正确的是（）

A. 圆的圆心为，半径为1 B. 直线AB的方程为

C. 线段AB的长为 D. 取圆M上的点，则的最大值为6

12. 已知曲线C的方程为，点，则（）

A. 曲线C上的点到A点的最近距离为1

B. 以A为圆心、1为半径的圆与曲线C有三个公共点

C. 存在无数条过点A的直线与曲线C有唯一公共点

D. 存在过点A的直线与曲线C有四个公共点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 直线与圆的位置关系是_________.（填相切、相交、相离）

14. 如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.

15. 某地区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等8名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天.现要求甲、乙、丙至少选两人参加.考虑到实际情况.当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为________.（请算出具体数值）

16. 设，则_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

17. 在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

已知为等差数列的前项和，若____________.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18. 已知展开式中各项的二项式系数和为32.

（1）求展开式中的有理项；

（2）求展开式中系数最大的项.

19. 某工厂共有10台机器共同生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定数量的次品.根据经验知道，每台机器生产的次品数（万件）与每台机器的日产量（万件）之间满足关系：，已知每生产1万件合格的元件可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元.

（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润（万元）表示为关于（万件）的函数（利润盈利亏损）；

（2）当每台机器的日产量（万件）为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少?

20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，.

（1）若是上一点，且，证明：平面；

（2）若E是的中点，点F满足，M是线段PA上的任意一点.求与平面所成角的正弦值的取值范围.

21. 已知，是椭圆：的焦点，焦距为2，且经过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过椭圆C右焦点F的动直线与椭圆C交于点P，Q（与左右顶点不重合），判断x轴上是否存在点E，使得直线EP，EQ关于x轴对称，若存在，求出点E坐标，若不存在，说明理由.

22. 已知函数，.

（1）若，求单调区间；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】C

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】A

【9题答案】

【答案】BCD

【10题答案】

【答案】ABD

【11题答案】

【答案】BC

【12题答案】

【答案】BC

【13题答案】

【答案】相交

【14题答案】

【答案】4

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】496

【17~18题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）①②根据所选条件得到方程组，求出与，即可求出通项公式；

③根据，计算可得；

（2）利用分组求和法与裂项相消法求和即可；

【小问1详解】

解：若选①，，则，解得，所以；

若选②，，则，解得，所以；

若选③，当时，当时，所以，当时也成立，所以

【小问2详解】

解：因为，所以，

所以

所以

【18~19题答案】

【答案】（1），

（2）

【解析】

【分析】（1）根据展开式中各项的二项式系数和为32，由，解得，再利用其通项公式求解；

（2）设第r+1项的系数最大，根据通项公式，由求解.

【小问1详解】

解：因为展开式中各项的二项式系数和为32，

所以，解得，

其通项公式为，

当时，，当时，，

所以展开式中的有理项有，；

【小问2详解】

设第r+1项的系数最大，

则，解得，

因为，解得，

所以.

【19~20题答案】

【答案】（1）

（2）日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元．

【解析】

【分析】（1）利用利润盈利亏损，得到与的关系，将代入整理即可；

（2）对（1）的解析式求导，判定取最大值时的值，求最大利润．

【小问1详解】

解：由题意，所获得的利润为

【小问2详解】

解：由（1），所以，

令，得到或（舍去）；

所以当，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减；

所以当时，函数取极大值，即最大值，

所以当时利润最大，为（万元），

当每台机器的日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元．

【20~21题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）点作交于点，连接，即可得到且，从而得到四边形为平行四边形，即可得到，从而得证；

（2）如图建立空间直角坐标系，令，即可求出点的坐标，设，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质计算可得；

【小问1详解】

解：过点作交于点，连接，因为又，所以，又，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面

【小问2详解】

解：因为平面ABCD，，如图建立空间直角坐标系，则，设，则、、、，又，所以，设，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，则

当时，当时，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当且仅当时取等号，所以，所以，所以，即，

综上可得；

【21~22题答案】

【答案】（1）

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）由焦距可得,将点代入椭圆方程及，可得，，从而得出椭圆C的方程；

（2）联立直线l和椭圆方程，利用韦达定理结合得出点E坐标.

【小问1详解】

由题意有，解得，，

所以椭圆C的方程为．

【小问2详解】

由（1）得，设直线l的方程为，，，

由，得，

所以，，

设x轴上存在点，使得直线EP，EQ关于x轴对称，

则，

所以，所以，

故x轴上存在点，使得直线EP，EQ关于x轴对称．

【关键点睛】解决第（2）问时，关键在于将直线EP，EQ关于x轴对称转化为，结合韦达定理得出点E坐标.

【22~23题答案】

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）.

【解析】

【分析】（1）把代入函数解析式中得，对函数进行求导即可得到的单调区间.

（2）恒成立等价于恒成立，令，则.

当时，符合题意，当时，对函数判断单调性，即可得到，即可求出答案.

【小问1详解】

当时，，

则.

当时，因为，且，

所以，

所以，单调递减.

当时，因为，且，

所以，

所以，单调递增.

所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

【小问2详解】

恒成立等价于恒成立，

令，

则.

①当时，在区间上恒成立，符合题意；

②当时，，

令，，即在上单调递增，，则存在，使得，此时，即，

则当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以.

令，得.

因为，所以.

综上，实数a的取值范围为.

【点睛】本题考察了利用导数判断函数的单调性和隐零点问题，属于难题.