专题05 立方根与估算-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）

立方根与估算

【知识导图】

●温故知新

1．计算：     ，     ，     ，

     ，     ，     ，       。

2.填一填：，，，

1.要制作一种容积为27的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

解：设这种包装箱的边长是，则有      =27   

想一想：这个问题，其实就是已知一个数的立方，反过来求这个数。即已知

2.什么叫立方根？什么叫开立方？

①一般的，如果一个数的    等于，即，那么这个数叫做        立方根或  

     ，叫做      。

   求一个数的      的运算，叫做          .立方与              互为逆运算。

②填一填：

∵，∴125的立方根是        ；

∵，∴0的立方根是        ；

∵，∴－8的立方根是        ；

∵，∴的立方根是        ；

③正数的立方根是         数； 0的立方根是         ；负数的立方根是        数。

由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容――公园有多宽．

某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少?长是多少?

给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少．

给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽．

解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：

    x·2x =400000，

      2x=400000，

      x =．

那么=?

学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值．

例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流．

①≈20   ；     ② ≈0.3；

③≈500；   ④ ≈96．

解答：这些结果都不正确．

怎样估算一个无理数的范围?

例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法．

①  ；  ②；    ③ ；  ④．

（ ①②误差小于0.1；③误差小于10；④误差小于1．）

解答：

≈6.3 ；  ≈0.9；   ≈310 ；   ≈9．

说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数．教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。

目的：

同伴间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．

效果：

通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备．

深入探究

内容：

用估算来解决数学的实际问题．

例1  你能比较与的大小吗？你是怎样想的？

小明是这样想的：与的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，因为＞2，所以-1＞1，  ＞．

解：∵5＞4，即（）＞2，    ∴＞2，-1＞1，

即 ＞．

例2  解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题．

=?

（1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？                                                 

       （大约440米或450米）

说明：只要是440与450之间的数都可以．

（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？

       （15米或16米）

说明：只要是15与16之间的数都可以．

例3  给出新的问题情境——画能挂上去吗？

生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，

（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？

（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？

解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的，根据勾股定理 ：

 ，

x=，

因为,,5.65²＜32，所以他的顶端最多能到达5.7米

5.7＜5.9

所以画不能挂上去

目的：

学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值．

效果：

在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣．

类型一 立方根

1. 的立方根是(    )

  A.-1                B.0              C.1              D.±1

2.若一个数的立方根是-3,则该数为(    )

  A.-                B.-27              C.±            D.±27

3.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若，则x=-2；③15的立方根是；④任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有(    )

  A.1个              B.2个                C.3个                 D.4个

类型二 估算及比较大小

【例题】

估计的值在（   ）

（A）3到4之间                          （B） 4到5之间  

（C）5到6之间                          （D）6到7之间

2、若a，b是两个连续整数，且a＜＜b，则ab=        。

3、一个正方形的面积为50cm²，则这个正方形的边长约为（    ）

（A）5cm          （B）6cm          （C）7cm           （D）8cm

4、估算         （误差小于0.1）；            （误差小于1）。

考点三：计算无理数的整数部分和小数部分

【例题】

1、估算的整数部分是        ，小数部分是的        。

2、若的整数部分是a，的整数部分是b，则a-b=        。

1. 立方根等于本身的数为__________.

2. 的平方根是__________.

3．一个正方形的面积为28，则它的边长应在（　　）

A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间

4．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（　　）

A．4的算术平方根 B．4的立方根     C．8的算术平方根 D．8的立方根

1. 若x-1是125的立方根，则x-7的立方根是__________.

2．下列各组数的比较，错误的是（　　）

A． B．＞1.732 C．1.414＞ D．π＞3.14

1.计算的正确结果是(    )

2.-27的立方根与的平方根之和是__________.

3．已知a，b为两个连续整数，且，则a+b=______

1.求下列各式的值：

  (1) ；            (2) ；            (3) .

2.下列说法正确的是(    )

  A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数

  B.一个数的立方根比这个数平方根小

  C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根

  D. 与互为相反数

3.12的负的平方根介于（　　）

A．﹣5与﹣4之间 B．﹣4与﹣3之间 C．﹣3与﹣2之间 D．﹣2与﹣1之间

1. 已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是__________.
2. 若与(b-27)²互为相反数，求的立方根.

3．若n=﹣6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（　　）

A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜2

4．比较的大小，正确的是（　　）

A． B． C． D．

1．如图，在数轴上点A和点B之间的整数是______．

2．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．[]=1，按此规定，[﹣1]=______．

3.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍,我要进一步惩罚你们！”

如图所示,不妨设原祭坛边长为a,想一想：

  (1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？

  (2)要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍？

4.请先观察下列等式：

，

，

，

…

  (1)请再举两个类似的例子；

  (2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式.