高二上学期 专题03 圆周运动【专项训练】（解析版）

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1．一个物体以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．轨道半径越大线速度越大
B．轨道半径越大线速度越小
C．轨道半径越大周期越大
D．轨道半径越大周期越小
【解析】A 由于物体的角速度ω一定，根据v＝ω·r可知，轨道半径越大线速度越大，A对，B错；由于T＝eq \f(2π,ω)，故物体运动周期与轨道半径大小无关，C、D错．
2．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
【解析】 (1)依据线速度的定义式v＝eq \f(Δs,Δt)可得v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(100,10) m/s＝10 m/s.
(2)依据v＝ωr可得ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(10,20) rad/s＝0.5 rad/s.
(3)T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,0.5) s＝4π s.
考点2：几种常见的传动装置对比
1．如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成．车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动．已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )
A．ω B.eq \f(1,8)ω
C.eq \f(9,8)ω D．9ω
【解析】D 手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D正确．
2．如图所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．a球的线速度比b球的线速度小
B．a球的角速度比b球的角速度小
C．a球的周期比b球的周期小
D．a球的转速比b球的转速大
【解析】A 两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D错误；而由v＝ωr可知b的线速度大于a的线速度，所以A正确。
(多选)如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心eq \f(1,3)r的地方，它们都随圆盘一起运动。比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是( )
A．两木块的线速度相等
B．两木块的角速度相等
C．M的线速度是N的线速度的3倍
D．M的角速度是N的角速度的3倍
【解析】BC 由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝eq \f(1,3)r，rM＝r，故木块M的线速度是木块N线速度的3倍，选项B、C正确。
考点3：匀速圆周运动的多解问题
1．如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dveq \\al(2,0)＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3…)
C．v0＝ωeq \f(d,2)
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3，…)
【解析】B 依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝eq \f(2n＋1π,ω)，平抛的时间t＝eq \f(L,v0)，则有eq \f(L,v0)＝eq \f(2n＋1π,ω)(n＝0,1,2,3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝eq \f(1,2)gt2，联立有dω2＝eq \f(1,2)gπ2(2n＋1)2(n＝0,1,2,3，…)，A、D错误．
2．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω.
【解析】 小球做平抛运动，在竖直方向上h＝eq \f(1,2)gt2，则运动时间t＝eq \r(\f(2h,g)).又因为水平位移为R
所以小球的初速度v＝eq \f(R,t)＝R·eq \r(\f(g,2h))
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3…)，其中n为圆盘转动的圈数，
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度ω＝eq \f(n·2π,t)＝2nπeq \r(\f(g,2h))(n＝1,2,3…)．
考点4：对匀速圆周运动向心力的理解
1．下列关于向心力的说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力只能改变做圆周运动的物体的速度方向，不能够改变速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力指向圆心，所以是恒力
D．做匀速圆周运动的物体其向心力可以改变线速度的大小
【解析】B 物体做圆周运动需要向心力而不是产生向心力，所以A项错误；向心力方向始终与速度方向垂直，只改变速度的方向不改变速度的大小，所以B项正确，D项错误；向心力始终指向圆心，方向时刻改变，是变力，所以C项错误。
2．狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，下列给出的四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图(图中O为圆心)正确的是( )

A B C D
【解析】C 滑动摩擦力的方向是与相对运动方向相反且与接触面相切的，雪橇做匀速圆周运动，合力应该指向圆心，可知C正确，ABD错误。
3．未来的星际航行中，航天员长期处于完全失重状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其中轴线匀速旋转时，航天员站左旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．航天员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．航天员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
【解析】B 由题意知有mg＝F＝mω2r，即g＝ω2r，因此r越大，ω越小，且与m无关。故B正确。
考点5：向心力公式的应用
1．(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)( )
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
【解析】BCD 当M有远离轴心运动的趋势时，
有mg＋Fmax＝Mω2rmax，
解得rmax＝eq \f(mg＋Fmax,Mω2)＝0.32 m，
当M有靠近轴心运动的趋势时，
有mg－Fmax＝Mω2rmin，
解得rmin＝eq \f(mg－Fmax,Mω2)＝0.08 m.
故选项B、C、D正确．
2．图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小．
思路点拨：①质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零．
②质点到竖直轴OO′间的距离为小球圆周运动的半径．
【解析】(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcs 37°－mg＝0
解得F＝eq \f(mg,cs 37°)＝750 N.
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R
R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝eq \r(\f(gtan 37°,d＋lsin 37°))＝eq \f(\r(3),2) rad/s.
考点6：变速圆周运动及一般曲线运动
1．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
【解析】D 物块转动时，其向心力由静摩擦力提供，当它匀速转动时其方向指向圆心，当它加速运动时其方向斜向前方，当它减速转动时，其方向斜向后方．故选项D正确．
2．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
【解析】CD 如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确．
3.如图所示，某物体沿eq \f(1,4)光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
【解析】D 物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对．
考点7：向心加速度的理解
1．关于匀速圆周运动向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A．描述线速度变化的快慢
B．描述线速度大小变化的快慢
C．描述位移方向变化的快慢
D．描述角速度变化的快慢
【解析】A 加速度是表示速度变化快慢的物理量，物体做匀速圆周运动，加速度指向圆心，此时的加速度叫作向心加速度，因此向心加速度描述线速度变化的快慢，A正确，BCD错误。
2．(多选)关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是 ( )
A．在赤道上向心加速度最大
B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处，向心加速度一样大
D．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小
【解析】AD 地球上的物体随地球自转时，角速度相同，根据a＝ω2r可得半径越大，向心加速度越大。随着纬度的升高，运动半径减小，向心加速度减小。
3．(多选)一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度为a，则( )
A．小球相对于圆心的位移不变
B．小球的线速度大小为eq \r(Ra)
C．小球在时间t内通过的路程s＝eq \r(\f(a,Rt))
D．小球做圆周运动的周期T＝2πeq \r(\f(R,a))
【解析】BD 小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变，A错；
由a＝eq \f(v2,R)得v＝eq \r(Ra)，B对；
在时间t内通过的路程s＝vt＝teq \r(Ra)，C错；
做圆周运动的周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πR,\r(Ra))＝2πeq \r(\f(R,a))，D对。
4．(多选)如图所示为甲、乙两球在不同轨道上做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，由图像可知( )
A．甲球运动时，线速度大小保持不变
B．甲球运动时，角速度大小保持不变
C．乙球运动时，线速度大小保持不变
D．乙球运动时，角速度大小保持不变
【解析】AD 由a＝eq \f(v2,R)知，v不变时，a与R成反比，图像为双曲线的一支，A对，B错；
由a＝ω2R知，ω不变时，a与R成正比，图像为过原点的倾斜直线，C错，D对。
考点8：向心加速度的公式及应用
1．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
【解析】D 由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错误；设轮4的半径为r，则aa＝eq \f(v\\al(2,a),ra)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(vc,2)))eq \s\up20(2),2r)＝eq \f(v\\al(2,c),8r)＝eq \f(1,8)ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确；eq \f(ωa,ωc)＝eq \f(\f(va,ra),\f(vc,rc))＝eq \f(1,4)，B错误．
2．滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的eq \f(1,4)圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)．
【解析】 运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝eq \f(v2,r)＝eq \f(102,2) m/s2＝50 m/s2，方向在该位置指向圆心即竖直向上．运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.
3．如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的eq \f(1,3).当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
思路点拨：①P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度．
②P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝eq \f(v2,r)计算向心加速度．
【解析】 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，
即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r，得eq \f(aS,aP)＝eq \f(rS,rP)
故aS＝eq \f(rS,rP)aP＝eq \f(1,3)×12 m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝eq \f(v2,r)得eq \f(aP,aQ)＝eq \f(rQ,rP)
故aQ＝eq \f(rP,rQ)aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2.
考点9：火车转弯问题
1．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于eq \r(gRtan θ)，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于eq \f(mg,cs θ)
D．这时铁轨对火车的支持力大于eq \f(mg,cs θ)
【解析】C 由牛顿第二定律F合＝meq \f(v2,R)，解得F合＝mgtan θ，此时火车受到的重力和铁路轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示，FNcs θ＝mg，则FN＝eq \f(mg,cs θ)，故C正确，A、B、D错误．
2.(多选)中央电视台《今日说法》栏目曾经报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故。家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲撞进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案。经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示。交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( )
现场示意图
A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动
B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动
C．公路在设计上可能内(东)高外(西)低
D．公路在设计上可能外(西)高内(东)低
【解析】AC 汽车在拐弯时因为车做离心运动发生侧翻，A正确，B错误；公路在设计上可能内(东)高外(西)低，合外力不足以提供汽车做圆周运动的向心力而做离心运动，C正确，D错误。
4．火车转弯时，要求轮缘与内、外轨间都无挤压。要满足火车转弯时的速度尽可能大些，下列说法正确的是 ( )
A．内、外轨间的高度差应大些
B．内、外轨间的高度差应小些
C．弯道半径应小些
D．速度大小与弯道半径无关
【解析】A 火车转弯时，对内外轨道无压力，故有mgtan α＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(gRtan α)，要使速度增大，内外轨道高度差大一些，弯道半径大一些，故A正确。
考点10：汽车过桥问题
1．飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，此时座位对飞行员的支持力大于所受的重力，这种现象叫过荷。过荷会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，暂时失明，甚至昏厥。受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的支持力影响。g取10 m/s2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲速度为100 m/s时，圆弧轨道的最小半径为( )
A．100 mB．111 m
C．125 mD．250 m
【解析】C 由题意知，8mg＝meq \f(v2,R)，代入数值得R＝125 m。选项C正确。
2.如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的eq \f(3,4)，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力为零，则汽车通过桥顶的速度应为( )
A．15 m/sB．20 m/s
C．25 m/sD．30 m/s
【解析】B 当汽车通过拱桥顶点的速度是10 m/s时，由公式meq \f(v2,r)＝mg－eq \f(3,4)mg得r＝40 m，当汽车通过拱桥顶点时对桥面恰无压力时，由公式meq \f(v\\al(2,1),r)＝mg得v1＝eq \r(gr)＝20 m/s，故B正确。
考点11：离心运动问题
1．如图所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
【解析】B 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．
2．如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
【解析】A 若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误．
3．用绳子拴一个小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，当绳子突然断了以后，小球的运动情况是( )
A．沿半径方向接近圆心
B．沿半径方向远离圆心
C．沿切线方向做直线运动
D．仍维持圆周运动
【解析】C 当绳子断了以后，向心力消失，小球做离心运动，由于惯性，小球沿切线方向做直线运动，选项A、B、D错误，选项C正确。