2022新高考数学重难点讲解04 概率与统计（含答案解析）练习题

这是一份2022新高考数学重难点讲解04 概率与统计（含答案解析）练习题，共41页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重难点04 概率与统计



新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。

求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.
离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.
捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为新高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。

A卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·福建莆田·二模）“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即．下图是我国年数据根据图中数据，年我国的平均增长量为（ ）

A．4.60万亿元 B．5.39万亿元 C．6.74万亿元 D．8.99万亿元
【答案】C
【分析】利用图中的数据结合所给公式直接求解即可
【详解】解：令
则由题意可得，年我国的平均增长量为
，故选：C
2．（2021·福建·三模）《周髀算经》是中国最古老的天文学､数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（ ）

A．36 B．48 C．72 D．96
【答案】C
【分析】根据题意，分2步依次分析区域和区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①对于区域，三个区域两两相邻，有种涂色的方法，
②对于区域，若区域与颜色相同，区域有2种选法，
若区域与颜色不同，则区域有1种选法，区域也只有1种选法，
则区域有种涂色的方法，则有种涂色的方法，故选：C.
3．（2021·辽宁大连·一模）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型分别求出，，根据条件概率公式可求得结果.
【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，，∴.故选：D.
4．（2021·重庆九龙坡·高三期中）有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率．
【详解】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．
现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：
①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，
③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：
．故选：B．
5．（2021·山东青岛·高三期末）某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元附：随机变量服从正态分布，则，，.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，得出，，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望.
【详解】因为，得出，，所以，
；
，
所以（元）故选：B
6．（2021·山东聊城一中模拟预测）在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称为视星等，而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等，它能反映天体的发光本领．如果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这些恒星的距离．下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差关于距离（光年）的回归方程类型的是（ ）
星名
天狼星
南河三
织女星
大角星
五车二
水委一
老人星
参宿四
距离
8.6
11.46
25
36.71
42.8
139.44
309.15
497.95




0.26
0.59
3.15
4.88
5.92
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由表格数据在直角坐标系中标注点坐标，勾画出大概图象，对比的图象，即可知其回归方程类型.
【详解】根据表格数据，在直角坐标系中从左至右依次标注表格数据代表的点，拟合曲线如下图示，

图象左侧无限靠近y轴，不与y轴相交，故其拟合曲线比较接近的图象，故选：B.
7．（2021·山东菏泽·二模）下列说法错误的是（ ）
A．用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好
B．已知随机变量，若，则
C．某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量．则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】A
【分析】对于判断个命题真假，只要对各选项逐个判断即可.对于A相关指数越大说明拟合效果越好，题中说法相反；对于B根据正态分布图像知概率与概率相同，即可判断的概率为；对于C可以根据二项分布得出从而求解；对于D根据独立性检验知识判断即可.
【详解】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；
对于B选项，正态分布图像关于对称，因为概率为，所以概率为，故的概率为，故B正确；对于C选项，服从二项分布，因此，则，故C正确；
对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确．故选:A
8．（2021·河北·大名县第一中学高三阶段练习）若，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意写出并求出，进而结合二项式定理求得答案.
【详解】由题意得，∴.
∵，∴.故选：C.
二、多选题
9．（2021·吉林松原·高三阶段练习），随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）








A．的值最大 B．
C．随着概率的增大而减小 D．随着概率的增大而增大
【答案】BD
【分析】本题可通过取得出A错误，然后通过得出B正确，最后通过得出C错误，D正确.
【详解】当时，，，A错误；
因为，所以，即，B正确，
，
因为，所以随着的增大而增大，C错误，D正确，故选：BD.
10．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
【答案】AD
【分析】首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，即可计算，并判断选项.
【详解】由题意知，，两两互斥，故D正确；
，，，，故A正确；
，，
，
所以B与不是相互独立事件，故B，C不正确．故选：AD．
11．（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60 B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则 D．展开式中二项式系数最大为第4项
【答案】AD
【分析】写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析
【详解】A选项：当时，，其中为整数，且，令，解得：，此时，故常数项为60；A正确；
B选项：，其中为整数，且，
当时，，当时，，，当时，，，当时，，满足有理项要求，故有4项，故B错误；
C选项：令中的得：，所以或，故C错误；
D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确 故选：AD
12．（2021·全国·模拟预测）如果知道事件已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”．设随机变量的所有可能取值为，，…，，且，，定义的“自信息”为．一次掷两个不同的骰子，若事件为“仅出现一个2”，事件为“至少出现一个5”，事件为“出现的两个数之和是偶数”，则（ ）
A．当时，“自信息” B．当时，
C．事件的“自信息” D．事件的“自信息”大于事件的“自信息”
【答案】ACD
【分析】根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概率计算公式，求出，得到，即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件与事件发生的概率，得出与，即可判断D正确.
【详解】A选项，当时，，即A正确；
B选项，因为对数函数是增函数，所以是减函数；因此，当时，，即，故B错；
C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；则，所以，故C正确；
D选项，事件“仅出现一个2”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个基本事件；
事件“至少出现一个5”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件；
所以，，则；因此，即D正确；故选：ACD.
三、填空题
13．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).
根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是____
①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;
②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;
③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;
④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;

【答案】②③
【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可.
【详解】①看2014，2015年对应的纵坐标之差小于，故①错误；
②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；
③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确；
④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；故答案为：②③.
14．（2021·浙江·台州一中高三期中）某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有________种.（用数字作答）
【答案】624
【分析】讨论甲的位置，把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列排列即可求解．
【详解】当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有；
当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有；
当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有；
因为共有．故答案为：624．
15．（2022·浙江·模拟预测）2021年7月1日是中国共产党成立100周年，小明所在的学校准备举办一场以音乐为载体的“学史知史爱党爱国”歌曲接龙竞赛.该竟赛一共考察的歌曲范围有10首，由于7月学考临近，作为参赛选手的小明没有时间学习全部歌曲，只能完整学会这其中的8首.已知小明完整学会的歌曲成功接上的概率为0.9，没有完整学会的歌曲成功接上的概率为0.4.比赛一共考察10段歌词，每段歌词选自的歌曲均是考察范围内的歌曲，且考察不同歌曲的概率均相同，每首歌曲均可以重复考察.已知每答对一段歌词得10分，答错不扣分.设小明得分是x分，则P（x≥20）=___________（用类似的形式表示），E（x）=___________.
【答案】 80
【分析】由题意算出每段歌词答对的概率为，然后设小明回答10段歌词答对的个数为，则，然后由二项分布的知识可得答案.
【详解】由题意可得，每段歌词答对的概率为
设小明回答10段歌词答对的个数为，则
所以
因为，所以故答案为：；80
16．（2021·辽宁·沈阳二中模拟预测）下列说法正确的是______________
① 函数与函数关于直线对称
②若两两独立，则
③方程（其中为复数集）的解集为
④，角的外角分线交的延长线于点，则
⑤通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，可知过点
⑥通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.
⑦已知点，且为原点，则向量在向量上的投影的数量为
【答案】④⑥⑦
【分析】用函数、概率、复数、解三角形、线性回归方程、向量等知识分别对7个命题判断真假即可.
【详解】对于①：函数与关于直线对称. 故①错误；
对于②：成立的前提条件是“、、相互独立”，而由、、两两独立不能得出、、相互独立. 故②错误；
对于③：方程的解有三个：，，.故③错误；
对于④：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，依题意知，所以，即. 故④正确；

对于⑤：设，则，由最小二乘法原理知过点，而. 故⑤错误；
对于⑥：设，则，依题意可知，即.故⑥正确；
对于⑦：，，则在上的投影为.故⑦正确.
故答案为：④⑥⑦.
【点睛】（1）若函数满足对，都有，则函数的图象关于对称；
（2）函数与，二者图象关于（轴）对称.
四、解答题
17．（2021·山东省实验中学一模）2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．
【答案】（1）证明见解析，；（2）分布列见解析，1；（3）套餐的8人， 套餐的12人；理由见解析．
【分析】（1）依题意得，根据递推关系即可证明是等比数列，利用等比数列通项公式求得的通项，即可求得的通项公式；（2）依题意求得第二天选择、类套餐的概率，列出的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；（3）由的通项公式得，根据总人数即可求得分发、套餐的同学的人数．
【详解】（1）依题意，，则.
当时，可得，∴数列是首项为公比为的等比数列.
.
（2）第二天选择类套餐的概率；
第二天选择类套餐的概率，
∴3人在第二天的有个人选择套餐，的所有可能取值为0、1、2、3，
有，∴的分布列为

0
1
2
3





故.
（3）由（1）知：，∴，即第30次以后购买套餐的概率约为.
则，∴负责套餐的8人，负责套餐的12人.
【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
18．（2021·江苏南通·模拟预测）2020年受疫情影响，我国企业曾一度停工停产，中央和地方政府纷纷出台各项政策支持企业复工复产，以减轻企业负担.为了深入研究疫情对我国企业生产经营的影响，帮扶困难职工，在甲､乙两行业里随机抽取了200名工人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪在2000元到8000元之间，具体统计数据见下表.
月薪/元
[2000，3000)
[3000，4000)
[4000，5000)
[5000，6000)
[6000，7000)
[7000，8000)
人数
20
36
44
50
40
10
将月薪不低于6000元的工人视为“I类收入群体”，低于6000元的工人视为“II类收入群体”，并将频率视为概率. （1）根据所给数据完成下面的列联表：

I类收入群体
II类收入群体
总计
甲行业

60

乙行业
20


总计



根据上述列联表，判断是否有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关.
附件：，其中.

3.841
6.635
10.828

0.050
0.010
0.001
（2）经统计发现该地区工人的月薪X(单位：元)近似地服从正态分布，其中近似为样本的平均数(每组数据取区间的中点值).若X落在区间外的左侧，则可认为该工人“生活困难”，政府将联系本人，咨询月薪过低的原因，并提供帮助.
①已知工人王强参与了本次调查，其月薪为2500元，试判断王强是否属于“生活困难”的工人；
②某超市对调查的工人举行了购物券赠送活动，赠送方式为：月薪低于的获得两次赠送，月薪不低于的获得一次赠送.每次赠送金额及对应的概率如下：
赠送金额/元
100
200
300
概率



求王强获得的赠送总金额的数学期望.
【答案】（1）列联表答案见解析，没有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关；（2）①王强不属于“生活困难”的工人；②.
【分析】
（1）根据已知数据，补充列联表，进而计算即可判断；
（2）①根据题意，计算对应的平均数，再结合正态分布求解即可；
②结合①得Y的可能取值为200，300，400，500，600，再根据独立事件的概率求解概率分布列，计算期望即可.
【详解】
解析（1）列联表如下：

I类收入群体
II类收入群体
总计
甲行业
30
60
90
乙行业
20
90
110
总计
50
150
200
于是，
从而没有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关.
（2）①所调查的200名工人的月薪频率分布表如下：
月薪/元
[2000，3000)
[3000，4000)
[4000，5000)
[5000，6000)
[6000，7000)
[7000，8000)
人数
20
36
44
50
40
10
频率
0.1
0.18
0.22
0.25
0.2
0.05
所以.
因为这200名工人的月薪X服从正态分布，
所以，
从而.
因为王强的月薪为2500元，，所以王强不属于“生活困难”的工人.
②由①知，王强的月薪为2500元，低于4920元，所以王强可获赠两次购物券，从而他获得的赠送总金额Y的可能取值为200，300，400，500，600，则
，
，
，
，
，
故Y的分布列如下：
Y
200
300
400
500
600
P





所以王强获得的赠送总金额的数学期望.
【点睛】本题考查独立性检验，独立事件的概率分布列，正态分布的应用，考查数据处理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于认真审题，从试题中提炼数据，进而结合相关知识求解.
19．（2021·山东烟台·模拟预测）如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A，B，C三个区域每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A，B，C中的某一个区域现有一款游戏：每局交10元钱随机转动上述转盘3次；每次转动转盘时，指针停留在区域A，B，C分别获得积分10，5，0；三次转动后的总积分不超过5分时获奖金2元，超过25分时获奖金50元，其余情况获奖金5元.假设每次转动转盘相互独立，且指针停留在区域A，B的概率分别是p和.
（1）设某人在一局游戏中获得总积分为5的概率为，求的最大值点；（2）以（1）中确定的作为值，某人进行了5局游戏，设“在一局游戏中获得的总积分不低于5”的局数为，求的数学期望；（3）有人注意到：很多玩家进行了大量局数的该游戏，不但没赚到钱，反而输得越来越多.请用概率统计的相关知识给予解释.

【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.
【分析】（1）先求得，然后利用导数求得.（2）利用二项分布的知识求得.
（3）设每一局游戏中获得的奖金数为X，求得，利用导数求得，从而作出解释.
【详解】（1）由题可知，
所以，令，得或(舍去)，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，故的最大值点.
（2）由（1）知，所以每一局游戏中总积分不低于5的概率，
由题意可知，所以.
（3）设每一局游戏中获得的奖金数为X，则X的所有可能取值为2，5，50；
，
，，
所以，
令，则，.
因为在单调递增，所以，在单调递增，.
所以，每局游戏获得奖金的期望远低于所交的钱数，玩得越多，输得越多.
20．（2021·湖北·黄冈中学三模）科教兴国，科技强国.探索浩潮宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者､航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空､推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧､中国方案､中国力量.
（1）为助力我国航空事业，某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加.为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在(单位：百件)件产品中，得到次品数量(单位：件)的情况汇总如表所示，且(单位：件)与(单位：百件)线性相关：
(百件)
5
20
35
40
50
(件)
2
14
24
35
40
请根据表格中的数据，求出关于的线性回归方程：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请判断可否安排一小时试生产10000件产品的任务？（2）"战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，一共只有甲､乙､丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务相互独立.①如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
②假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小.
(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，)
(参考数据：，)
【答案】（1），可以安排一小时试生产10000件产品的任务；（2）①甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：；任务能被完成的概率不会发生变化；②先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小.
【分析】（1）根据所给数据求得线性回归直线方程，用代入求得估计值可得；（2）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算概率可得；（3）按派出顺序求出概率分布列，计算出期望，比较可得丙先派出期望较大，因此比较甲乙哪个先派出的期望后可得结论．
【详解】（1）由已知可得：
又因为，
由回归直线的系数公式知：
，所以
当(百件)时，，符合有关要求，所以可以安排一小时试生产10000件产品的任务.
（2）①若甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：

若甲在先，丙次之，乙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：
，发现任务被完成的概率是一样的，同理可以验证，不论如何改变3人的先后顺序，任务能被完成的概率不会发生变化；
②由题意得的可能取值为1，2，3，
按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目的分布列为：

1
2
3




所以
因为，且，
其它情况同理可得，期望分别为，，，，，所以要使所需派出的人员数目的均值得到最小，只能先派甲乙中的一人，
若先派甲，再派乙，最后派丙，则
若先派乙，再派甲，最后派丙，则；
所以，
所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小.
【点睛】本题考查求线性回归直线方程及回归方程的应用，独立事件同时发生的概率公式，随机变量的概率分布列和数学期望．解决线性回归直线方程问题的步骤：（1）求；（2）求系数；（3）得回归方程；（4）取值代入方程得估计值．
21．（2021·福建福州·一模）从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单．协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元．（注：月利率为年利率的十二分之一），已知某公司现有2020年底结余资金1050万元．（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；（2）公司决定将550万元作协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销．将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余万元作结构性存款．①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本．问：x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值．
【答案】（1）；（2）①（万元）；②当时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元．
【分析】(1)根据题意可知，当恰好有3个股东同时选择同一款理财产品时，另外2个股东可以选择同一款理财产品，也可以选择不同的理财产品，分类讨论即可；(2)①根据协定存款年利率，即可求解；②根据题意，表示出存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望，结合导数即可求解.
【详解】(1)设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为A，由题意知，5个股东共有45种选择，而恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为种，所以．
(2)①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为：
（万元）．
②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表：
投资收益t

0

P
0.6
0.2
0.2
所以，高新项目投资所得收益的期望为：
，
所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：
．则，
令，得或．由，得；由，得．
由条件可知，当时，取得最大值为：（万元）．
所以当时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元．
22．（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验次．方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．（1）若，试求关于的函数关系式；（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．①求证：数列是等比数列；②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．参考数据：，．
【答案】（1）；（2）①证明见详解；②.
【分析】（1）先由题意，得到；的可能取值为，；由离散型随机变量的期望求出，再由，化简整理，即可得出结果；（2）①当时，由题中条件，得到，推出，令；利用数学归纳法证明对任意的正整数，即可；②由①的结果，得到，根据题中条件，得到，推出；设，，对其求导，根据导数的方法判定其单调性，再结合具体的函数值，即可得出结果.
【详解】（1）由已知，，，得；的可能取值为，，
由题意，，
所以；
又，即，则，所以，
即关于的函数关系式为；
（2）①证明：当时，，所以，令，则；
因为，所以下面证明对任意的正整数，；
（i）当时，显然成立；
（ii）假设时，成立；当时，由，
所以，则，
即，所以，
因此，解得或（负值舍去），所以；
由（i）（ii）可知，，即数列是等比数列；
②由①知，，因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，即，所以，则，
所以，即；设，，则，
当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以；又，，
所以使的最大整数的取值为，即时，的最大值为；综上，的最大值为.
【点睛】求解本题第二问的关键在于先由题中条件，得到，猜想数列的通项公式；再由数学归纳法的一般步骤进行证明即可.
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·海南二中高三阶段练习）如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断不正确的是（ ）

A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了
B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率
【答案】D
【分析】根据曲线图可得ABC正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，D说法不正确.
【详解】1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；
由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；
2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；
2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.故选：D.
2．（2021·山东·邹城市第一中学模拟预测）2020年初，新型冠状病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(y)
2
17
36
93
142
由表格可得y关于x的二次回归方程为，则此回归模型第2周的残差(实际值与预报值之差)为（ ）
A．5 B．4 C．1 D．0
【答案】C
【分析】设，求出，的值，由最小二乘法得出回归方程，代入，即可得出答案.
【详解】设，则，
，所以.令，得.故选：C
3．（2021·江苏常州·高三期末）年月日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗(细胞)注册申请.该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病().年月日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第场例行新闻发布会，表示不在岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据.近日专家对该年龄内和该年龄段外的人进行了临床试验，得到如下列联表：

能接种
不能接种
总计
岁内



岁外



总计



附：，其中；








参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段无关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
C．有以上的把握认为“能接种与年龄段无关”
D．有以上的把握认为“能接种与年龄段有关”
【答案】D
【分析】先由列联表，求出的值，然后对照参考表得出答案.
【详解】由列联表可得
由所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
即有以上的把握认为“能接种与年龄段有关 故选：D
4．（2021·江苏省镇江第一中学高三开学考试）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数共有32个，其中能够被3整除的整数有16个，进而根据古典概型的概率计算公式可解．
【详解】解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为：
11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，
1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，
2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盘表示的整数能够被3整除的整数有16个，分别为：
15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，
则算盘表示的整数能够被3整除的概率为．故选：．
【点睛】本题的解题关键点是利用列举法把从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠所得到的整数列举出来.
5．（2021·山东·模拟预测）组数、、、…、的平均数是，方差是，则另一组数、、、…、的平均数和方差分别是
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】根据均值与方差的性质，代入公式计算即可.
【详解】解：由题意可知，，，，根据数学期望与方差的公式得：，，故选：B.
【点睛】均值与方差的性质：（1）（2）为常数).
6．（2021·辽宁抚顺·一模）在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则（ ）
A． B． C． D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【分析】分别计算和，再比较大小.
【详解】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率．
方法二：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率．
，则．故选：C.
7．（2021·全国全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法不正确的是（ ）
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种
【答案】C
【分析】用分步计数原理可判断A；用部分平均分组可判断B、C；先用部分平均分组以及排列可判断D.
【详解】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，故不同的调研安排有种，故A正确；
对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，
再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，分别有，种分组方法，
则不同的调研安排有种，故B正确，C错误；
对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，
且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有种，
则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确.故选：C.
8．（2021·河北饶阳中学模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．72 B．60 C．48 D．36
【答案】C
【分析】先求得展开式中含项的系数，进而可得结果.
【详解】的展开式的通项公式为：.
令，得；令，得，舍去；令，得.
故的展开式中的系数为.故选：C.
【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
二、多选题
9．（2021·江苏常州·高三期中）已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．随机变量的均值为10 B．随机变量的方差为10 C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件利用正态分布的定义及性质逐项判断作答.
【详解】因随机变量服从正态分布，则随机变量的均值为10，A正确；
随机变量的方差为100，标准差为10，B不正确；由正态分布的对称性知，，C正确；
，D正确.故选：ACD
10．（2021·全国·模拟预测）有一组样本数据，，…，，由这组样本数据得到的回归直线方程为，则（ ）
A．若所有样本点都在回归直线上，则样本的相关系数
B．若，，则
C．若样本数据的残差为，则必有样本数据的残差为
D．若越趋近于1，则的预报精度越高
【答案】BD
【分析】由回归方程与样本点拟合程度与相关系数的关系判断A；由样本中心在回归方程上判断B；根据残差、相关指数的实际意义判断C、D.
【详解】若所有样本点都在回归直线上，当样本数据呈正相关时，相关系数，当样本数据呈负相关时，相关系数，A错误；
回归直线必过样本点的中心，其中，，所以，即，B正确；样本数据的残差为，其他样本数据的残差值的大小没必然联系， C错误；越趋近于1，说明回归直线的拟合效果越好，所以的预报精度越高，D正确.
故选：BD.
11．（2021·全国全国·模拟预测）若，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】运用赋值法，根据二项式的通项公式，结合导数的运算性质逐一判断即可．
【详解】二项式的通项公式为：，
因为
且，所以，得或舍去．
令，可得，所以A正确；可求得，所以B不正确；
令，可得，所以C正确；
对，两边同时求导，
得，
令，可得，所以D不正确．故选：AC．
【点睛】关键点睛：运用求导法是解题的关键.
12．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从，若，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大
【答案】BCD
【分析】根据二项分布和正态分布的概念和性质，以及方差的性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】对A，由二项分布的性质可得，解得，故A错误；
对B，方差表示波动幅度，同时加一个数，方差不变，故B正确；
对C，由随机变量服从正态分布可得该正态分布的概率密度曲线关于对称，
若，则，所以 ，故C正确；
对D，，令 解得，又，所以，
所以当时，概率最大，故D正确；故选：BCD
三、填空题
13．（2021·河北保定·二模）某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩不低于80分的学生人数是___________.

【答案】
【分析】首先计算成绩不低于80的两个小矩形的面积之和，即成绩不低于80的学生的频率，再乘以3000即可．
【详解】解：由频率分布直方图成绩不低于80的学生的频率为10×（0.020+0.008）＝0.28，
所以成绩不低于80分的学生数是3000×＝故答案为：
14．（2021·辽宁·高三期中）某品牌摄像头的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命多于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为______.
【答案】0.25
【分析】由题意可得，从而可得正态曲线的对称轴为直线，所以可得每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，进而可求得答案
【详解】由题意知，，，
∴正态曲线的对称轴为直线，，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，
∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为.故答案为：0.25
15．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模）下列说法正确的有_____．
①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．
②在线性回归模型中，计算相关指数R2≈0.6，表明解释变量解释了60%预报变量的变化．
③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除9个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和．
④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．
⑤身高x和体重y的关系可用线性回归模型y＝bx+a+e来表示，其中e叫随机误差，则它的均值E（e）＝0．
【答案】②⑤
【分析】本题考查的是统计中的一些基础知识的理解与辨析，弄清楚每个基本量在统计中表示什么与影响什么，即可做出判断.
【详解】①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱，
线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；
②在线性回归模型中，相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，
相关指数，表明解释变量解释了60%预报变量的变化，故②正确；
③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成绩情况，
准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除9个个体，
在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和，故③错误；
④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，故④错误；
⑤随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足，故⑤正确；综上可知②⑤正确.故答案为：②⑤．
16．（2021·浙江丽水·高三期中）一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球．规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分．现随机从袋中有放回地取次球（每次一个），记次取球得分之和为随机变量，则________．
【答案】
【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，.故答案为：.
四、解答题
17．（2021·江苏·扬州中学高三阶段练习）下图是随机调查某城市名有固定工作的市民月收入状况所得的频率分布直方图：

（1）以频率估计概率，在该市任取一人，其月收入以所在区间的中点值为代表，记为，求的分布列､数学期望和方差(计算结果保留小数点后一位).
（2）从频率分布直方图上看，该市具有固定工作的市民月收入近似服从正态分布，以样本估计总体的思想，用样本的数学期望估计，用样本的方差估计，就上述正态分布求解下列问题：
①计算该市具有固定工作的市民月收入不低于元的概率；
②在该市任取名具有固定工作的市民，记这人中月收入不低于元的人数为，求的数学期望(结果保留整数).
附：若，则，；参考数据：，
【答案】（1）分布列见解析，，；（2）①；②.
【分析】（1）根据频率分布直方图频率分布估计概率确定时的对应概率，列表即得分布列，再计算期望和方差即可；（2）根据题意和参考数据计算即可；利用频率估计概率，判断，利用公式计算期望即可.
【详解】依题意得 由频率分布直方图得每段的频率依次为0.1，0.25，0.3，0.2，0.15，
所以频率估计概率得
其分布列为：
X
2
4
6
8
10
P
0.1
0.25
0.3
0.2
0.15
所以，
；
（2）依题意，，
①由，知；
②依题意，，故的数学期望为.
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
18．（2021·湖南·模拟预测）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝、分析、鉴定、研发，周而复始、反复对比对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让他品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，称这个过程为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设，分别以表示第一次排序为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述（如：若第二次排序的序号为1，3，2，4，则）．（1）假设的排列等可能为1，2，3，4的各种排列，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有，则
①假设各轮测试相互独立，试按（1）的结果，计算出现这种情况的概率；
②请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何，并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为5；（2）①；②确实有良好的鉴别能力，证明见解析．
【分析】（1）先分析的取值集合，然后通过列举法得到的排列，由此得到对应取值时的概率，即可求解分布列和数学期望；（2）①根据以及独立重复试验的概率公式求得结果；②将所求概率与比较大小，由此作出判断即可.
【详解】（1）因为在1，2，3，4中奇数与偶数各两个，所以中奇数的个数等于中偶数的个数，
即与同为奇数或同为偶数．所以必为偶数．
又因为X的值非负，且其值不大于8，故X的取值的集合为．
列举出1，2，3，4的排列如下：



共有种排列，在等可能假定下，可得
．
故随机变量X的分布列为
X
0
2
4
6
8
P





数学期望为．
（2）①因为．
将三轮比赛都有的概率记作P，由于三轮测试相互独立，
根据（1）的分布列和独立试验可得．
②由于是一个很小的数，表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性非常小，
我们认为该调味品品评师确实有良好的鉴别能力，不是随机猜测得出来的．
19．（2021·广东·模拟预测）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.①求的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】（1）；；（2）①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
【详解】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为， 故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【点睛】本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算；（2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题.
20．（2021·江苏省前黄高级中学模拟预测）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．
（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据

6
8
9
10
12

2
3
4
5
6
请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程．（2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为，，，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围．
参考公式：①线性相关系数，一般地，相关系数的绝对值在以上（含）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
②对于一组数据，，…，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
【答案】（1）相关系数，与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，回归直线方程；（2）．
【分析】（1）根据表格中的数据，求得相关系数，得到与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，进而求得，即可求的回归直线的方程；（2）通过甲大学的考试科目数，得到，设通过乙大学的考试科目数可能的取值为0，1，2，3，求得相应的概率，求得，根据考生更希望通过乙大学的笔试考试，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）根据表格中的数据，可得，，
，，，
可得相关系数，
故与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，
又由，可得．综上回归直线方程．
（2）通过甲大学的考试科目数，则，
设通过乙大学的考试科目数为，则可能的取值为0，1，2，3，
则，
，
，，
所以，
因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试，所以，即，
又由，解得，即为该考生更希望通过乙大学的笔试时的范围为．
【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
21．（2021·江苏徐州·高三期中）全国高中数学联赛试题设置如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）．一试包括8道填空题（每题8分）和3道解答题（分别为16分、20分、20分），满分120分．二试包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面．前两道题每题40分，后两道题每题50分，满分180分．已知某一数学克赛选手在一试中每道填空题能够正确解答的概率均为，每道解答题能够正确解答的概率均为，在二试中前两道每题能够正确解答的概率均为，后两道每题能够正确解答的概率均为．假设每道题答对得满分．答错得0分．（1）记该选手在二试中的成绩为，求；
（2）根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，若一试成绩在100分（含100分）以上的选手，最终获得省一等奖的可能性为，一试成绩低于100分，最终获得省一等奖的可能性为．问该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到，并说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）（2）最终获得省一等奖的可能性能达到
【分析】（1）利用可求概率.
（2）若该选择一试成绩不低于100，则解答题至少做对两道，据此分类讨论后可判断该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到.
（1）
.
（2）设为该选手在一试中的成绩，下求，
若该选手一试成绩不低于100，则解答题至少做对两道.
当该选手做对16分题和一道20分题时，此时填空题全正确，
此时得分为100，则其概率为，
当该选手做对两道20分题时，此时填空题全正确，此时得分为104，则其概率为，
当该选手做对所有解答题时，此时填空题至多错两题，此时得分为112或104，
则其概率为，故，
故该选手最终获得省一等奖的可能性为：
故该选手最终获得省一等奖的可能性能达到.
22．（2021·广东·金山中学三模）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒､保质保量”成为口罩生产线上的重要标语.
（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序.已知批次的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，.求批次成品口罩的次品率.（2）已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率.某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示；求出，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？

附：，

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）；（2），有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.
【分析】（1）根据对立事件的概率的求法，可得批次成品口罩的次品率为
(2) 由题意可得，求出导数，得出函数的单调区间，从得出的值. 先根据等高条形图，先列出列联表，再由公式求出，再与临界值比较，得出结论.
【详解】解：（1）批次成品口罩的次品率为；
（2）100个成品口罩中恰有1个不合格的概率为，
所以，
令，解得，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值点为，
由条形图可建立列联表如下：
核酸检测结果
口罩批次
合计



呈阳性
12
3
15
呈阴性
28
57
85
合计
40
60
100
所以，
因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.
【点睛】本题考查求概率和利用导数研究概率的最值和独立性检验的应用，解答本题的关键是由题意得出，然后求导得出其单调性从而得出答案，属于中档题.