专题28 对数函数图象与性质的综合应用-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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对数函数图象与性质的综合应用一．选择题（共15小题） 1．（2014•山东）已知函数，为常数，其中，的图象如图所示，则下列结论成立的是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：函数单调递减，，当时，即，即，当时，即，即，故选：．2．（2012•新课标）已知函数，则的图象大致为　　A． B． C． D．【解析】解：设则在上为增函数，在上为减函数得：或均有排除，，又中，，能排除．故选：．3．（2010•大纲版Ⅰ）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是　　A． B． C． D．，【解析】解：因为（a）（b），所以，所以（舍去），或，所以又，所以，令，由“对勾”函数的性质知函数（a）在上为减函数，所以（a）（1），即的取值范围是．故选：．4．（2019•庐阳区校级模拟）若直角坐标平面内的两点，满足：①，都在函数的图象上；②，关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”．（注：点对与看作同一对“友好点对” ．已知函数，则该函数的“友好点对”有　　A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【解析】解：根据题意：当时，，则，可知，若函数为奇函数，可有，则函数的图象关于原点对称的函数是由题意知，作出函数的图象，看它与函数交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即的“友好点对”有：2个．故选：．5．（2020•榆林一模）已知函数满足，且，时，，则当，时，与的图象的交点个数为　　A．13 B．12 C．11 D．10【解析】解：由题意，函数满足：定义域为，且，当，时，；在同一坐标系中画出满足条件的函数与函数的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间，内共有11个交点；故选：．6．（2020春•大武口区校级期末）已知函数定义域为，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：的定义域为，即恒成立，当时，不恒成立当时，故选：．7．（2019•平度市三模）已知函数，，（a）（b），则的最小值等于　　A． B． C． D．【解析】解：，，（a）（b），则，则，即故的最小值等于故选：．8．（2005•安徽）设，函数，则使的的取值范围是　　A． B． C． D．，【解析】解：设，函数，若则，，，故选：．9．（2019秋•大石桥市期末）已知函数，若实数是方程的解，且，则的值　　A．等于0 B．恒为负值 C．恒为正值 D．不能确定【解析】解：由函数，在区间上单调递减，，，又，．故选：．10．（2020•绿园区校级模拟）设函数，的零点分别是，，则　　A． B． C． D．【解析】解：由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，是的图象和函数的图象的交点的横坐标，且，都是正实数，如图所示：故有，故，，，，故选：．11．（2019秋•桓台县校级期中）函数在上递减，那么在上　　A．递增且无最大值 B．递减且无最小值 C．递增且有最大值 D．递减且有最小值【解析】解：设，是的递减区间，且在上递减，；又是的递增区间，在上递增且无最大值．故选：．12．（2019•桐城市一模）对于在区间，上有意义的两个函数和，如果对于任意，均有成立，则称函数和在区间，上是接近的．若与在区，上是接近的，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．【解析】解：由已知可得，当，时，，即，，，从而有，，，，即在，上恒成立．而在，上递减，即有．则有，且，解得．故选：．13．（2019秋•兴宁区校级期末）如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点的纵坐标为2，则的的坐标为　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：由题意得，，，分别在函数，，的图象上，把代入得，，即，所以，，由四边形是矩形得，点的纵坐标也是2，把代入得，，即，所以，则点的横坐标是4，把代入得，，所以点的坐标是，，故选：．14．（2019秋•桥西区校级月考）设函数，，则与的大小关系是　　A． B． C． D．【解析】解：由于和不相等，故与不相等．不妨令，可得，而此时，，故有，故选：．15．（2019•湖南模拟）已知函数满足（a），则　　A． B． C． D．1【解析】解：若，则（a），解得，则，（2）若，（a），解得（舍去）综上故选：．二．填空题（共4小题）16．（2019秋•和平区校级期中）若函数在区间，上为减函数，则的取值范围是　，　．【解析】解：令，①当时，在，上为减函数，；②当时，在，上为减函数，此时不成立．综上所述：．故答案为：，．17．（2019•赣榆县校级模拟）设函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解、、、、则等于　　．【解析】解：当时，，则由得．，．当时，，由，得，解得，或，．当时，，由得，解得，或，．．故答案是．18．（2019•泰州二模）已知函数，，，在区间，上随机取一点，使得的概率为　　．【解析】解：由函数的图象可知，当，时，；当，时，．的概率为．故答案为：．19．（2019秋•岳阳楼区校级期中）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围为　　．【解析】解：（a）（b），，不妨设，则，，，又，，且，故答案为：三．解答题（共9小题）20．（2019•湘西州校级一模）已知函数（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）若函数的最小值为，求的值．【解析】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：，则函数的定义域为：（2）函数可化为由，得，即，，函数的零点是（3）函数可化为：，，，，即，由，得，21．（2019秋•静宁县校级月考）已知函数．（1）若的定义域为，求的取值范围；（2）若，求单调区间；（3）是否存在实数，使在上为增函数？若存在，求出的范围？若不存在，说明理由．【解析】解：（1）函数的定义域为，恒成立，△，即的取值范围（2），．，或设，对称轴，在上为减函数，在上为增函数根据符合函数单调性规律可判断：在上为增函数，在上为减函数（3）函数．设，可知在上为减函数，在上为增函数在上为增函数且，且，不可能成立．不存在实数，使在上为增函数．22．（2019•西湖区校级模拟）已知函数．（1）若，求函数的定义域．（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．【解析】解：（1）若，则要使函数有意义，需，解得若，函数的定义域为．（2）若函数的值域为，则能取遍一切正实数，△，即，，若函数的值域为，实数的取值范围为，，（3）若函数在区间上是增函数，则在区间上是减函数且在区间上恒成立，，且即且23．（2019•上海模拟）已知函数．（1）当时，若，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在，上的反函数；（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）原不等式可化为，，且，且，得．（2）是奇函数，，得，当，时，，，，此时，，，．当，时，，，，，，此时，，，，．．．（3）关于的不等式在上恒成立，记，关于的不等式在上恒成立，在上恒成立，当时，，，，，，，解得，．当时，，，，由在上恒成立，得，，，解得，．综上所述，实数的取值范围是，．法二：问题转化为：在恒成立，故在恒成立，故，即实数的取值范围是，．24．（2019•静安区一模）已知函数是奇函数，（其中（1）求实数的值；（2）讨论函数的增减性；（3）当时，的值域是，求与的值．【解析】解：（1）是奇函数，，，，即对一切都成立，，，由于，；，定义域为，，；（2）当时，，任取，，，则；，，，，，即，在上单调递减；又是奇函数，在也上单调递减．（3），定义域，，，①当时，则，即，在上为减函数，值域为，，即，，或（不合题意，舍去），且；②当时，则，，，，即，且在上的值域是；，即，解得（不合题意，舍去），或；此时（舍去）；综上，，．25．（2020春•莲湖区校级期中）已知是定义在上的偶函数，且时，（1）求（3）；（2）求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围．【解析】解：是定义在上的偶函数，时，，（3）；令，则，时，，则．（Ⅲ）在，上为增函数，在上为减函数（1），或26．（2019秋•南关区校级期中）已知函数．（1）若定义域为，求的取值范围；（2）若（1），求的单调区间；（3）是否存在实数，使的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）因为的定义域为，所以对任意恒成立，显然时不合题意，从而必有，解得，即的取值范围是，．（2）因为（1），所以，因此，，这时．由得，即函数定义域为．令．则在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）假设存在实数使的最小值为0，则应有最小值1，因此应有，解得．故存在实数，使的最小值为0．27．（2019春•抚顺期末）设，且（1）．（1）求的值及的定义域；（2）求在区间，上的最大值和最小值．【解析】解：（1）由题意知，，解得；故的定义域为；再由（1）得，；故；（2），，，，，故在区间，上的最大值为（1）；在区间，上的最小值为．28．（2019秋•红塔区校级期末）已知是定义在上的奇函数，且时，．（1）求，（1）；（2）求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围．【解析】解：分别令，即可得出，（1）；令，则，时，（Ⅲ）在，上为增函数，在上为增函数（1），．的取值范围是． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/12/14 17:12:22；用户：陈宏天；邮箱：hngsgz053@xyh.com；学号：25355901