专题19 抛物线及其标准方程（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

专题十九  抛物线及其标准方程

一 知识结构图

二.学法指导

1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.

2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.

3．建立坐标系求抛物线的标准方程的方法：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单．

三.知识点贯通

知识点1  求抛物线的标准方程

例题1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．

【解析】　(1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，

设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．

把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.

∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.

(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.

∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．

∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.

知识点二   抛物线定义的应用

1.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

例题2：若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．

【解析】　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，

所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．

由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，

其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，

而＝，所以p＝1,2p＝2，

故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．

知识点三   抛物线的实际应用

抛物线定义的两种应用

(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．

(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．

例题3 .河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？

【解析】　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y.

∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．

设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，

由22＝－yA，得yA＝－.

又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．

五 易错点分析

易错一  抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化

例题4.抛物线y2＝2x，F为焦点，点A(3,2)，点M为抛物线上一点，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．

【解析】如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝.当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2)。

误区警示
抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的相等。