专题19.7 一次函数图象与性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

这是一份专题19.7 一次函数图象与性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案，共25页。学案主要包含了知识回顾，学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题19.7 一次函数图象与性质（知识讲解）
【知识回顾】
1、正比例函数的定义
一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
2、正比例函数的图象与性质
正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，随着的增大反而减小.
【学习目标】
1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用数形结合思想解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3.理解并运用两直线平行、平移、垂直时斜率k及截距b的变化特点；
4.初步理解设参求值的数学思想，并利用设参求动点问题中点的位置和线段或面积的值；
5. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题；
6.能够理解并解决一次函数图象中的折叠、对称等图形变换问题；
7.掌握一次函数图象中的“设参求值”解决动点（线）问题
【要点梳理】
要点一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：

5. 直线的平移：

6. 直线的对称（折叠）：

要点三、待定系数法求一次函数解析式
　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
【典型例题】
类型一、待定系数法求函数的解析式
1、（2020·利辛县启明中学八年级月考）已知一次函数的图象过和两点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）若点在这个函数图象上，求a．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，然后把两个已知点的坐标代入得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入（1）中的解析式可求出a的值．
解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
把和代入得
，
解得．
所以此一次函数的解析式为；
（2）把代y=3x-1得3a-1=6，
所以．
【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
举一反三：
【变式1】（2020·衡阳市逸夫中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0）．
（1）求直线l所对应的函数表达式．
（2）若点M（3，m）在直线l上，求m的值．

【答案】（1）y＝+1;（2）m＝.
【分析】
（1）用待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）将点M代入求出的表达式中即可得出答案.
解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，
∵直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0），
∴，解得，
∴直线l所对应的函数表达式为；
（2）∵点M（3，m）在直线l上，
∴
【点拨】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式及求一点的函数值，掌握待定系数法是解题的关键.
【变式2】（2021·安徽淮南市·八年级期末）已知与成正比例，且时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
【答案】（1）y=-6x-2；（2）a=．
【分析】
（1）设y=k（3x+1），把x=2．y=-14代入，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值，进而求得函数解析式；
（2）把（a，2）代入函数解析式即可得到一个关于a的方程，从而求解．
【详解】
解：（1）根据题意设y=k（3x+1），
把x=2，y=-14代入，得：-14=7k，
解得：k=-2，
则y与x的函数关系式是y=-6x-2；
（2）把点（a，2）代入y=-6x-2得：-6a-2=2，
解得：a=．
【点拨】主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．

类型二、一次函数图象的应用
2、 （2020·临沂商城实验学校八年级期末）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已行驶的路程．当时，求千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当时，求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶千米 时，蓄电池的剩余电量．

【答案】（1）6千米；（2），千瓦时.
【分析】
（1）由函数图像的意义可以得到答案；
（2）由待定系数法可以求得函数的解析式，并且求出汽车行驶160千米时蓄电池的剩余电量．
解：由图像可知，蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已经行驶了千米
千瓦时的电量汽车能行驶的路程为（千米）
设
把点代入
得


当时，
答：当时，函数表达式为，当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时．
【点拨】本题考查一次函数及其应用，熟练掌握一次函数的图像和解析式的求法是解题关键．
举一反三：
【变式】（2019·吉林长春市·八年级期末）某中学举行春季长跑比赛活动，小明从起点学校西门出发，途经市博物馆后按原路返还，沿比赛路线跑回终点学校西门．设小明离开起点的路程s（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市博物馆的平均速度是0.3千米/分钟，用时35分钟根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求图中的值，并求出所在直线方程；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点，小明从第一次过点到第二次经过点所用的时间为68分钟
①求所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？

【答案】（1）；（2）①；②85分钟
【分析】
（1）根据路程=速度×时间，再把A点的值代入即可解决问题．
（2）①先求出A、B两点坐标即可解决问题．
②令s=0，求出x的值即可解决问题．
解：（1）∵从起点到市博物馆的平均速度是0.3千米/分钟，用时35分钟，
∴千米．
∴，
设直线的解析式为：，
把代入，得
，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（2）①∵直线解析式为，
∴当时，，解得，
∵小明从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟，
∴小明从起点到第二次经过C点所用的时间是，分钟，
∴直线经过，，
设直线解析式，
∴，，
解得，，
∴直线解析式为．
②小明跑完赛程用的时间即为直线与轴交点的横坐标，
∴当时，，解得，
∴小明跑完赛程用时85分钟．
【点拨】此题考查一次函数综合题，解题关键在于列出方程.
类型三、一次函数的性质
1、一次函数的位置和增减性问题
3、（2020·宜兴市树人中学八年级月考）一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据函数为减函数判断出k＜0，再根据kb＞0判断出b＜0，再根据一次函数图象的特点解答即可．
解：∵一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵kb＞0，∴b＜0，
∴函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
【点拨】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限．
举一反三：
【变式】（2020·四川成都市·成都铁路中学八年级期中）一次函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象与性质得到一次函数图象过第一、三象限，与y轴的交点坐标为（0，-1），然后分别进行判断．
解：，
∵，，
∴一次函数图象过第一、三象限，与y轴的交点坐标为（0，-1）．
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的图象：一次函数（k≠0）的图象为一条直线，当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．
4、（2019·江西景德镇市·八年级期末）
（1）直线y＝2x﹣3经过第_____象限；
（2）若直线y＝mx+n经过第一、二、三象限，请直接写出m，n的取值范围；
（3）若直线y＝mx+n不经过第一象限，请直接写出m，n的取值范围．
【答案】（1）一、三、四；（2）m＞0，n＞0；（3）m＜0，n≤0．
【分析】
（1）根据一次函数的性质解答即可；（2）根据一次函数的性质得出m，n的取值范围即可；（3）根据一次函数的性质得出m，n的取值范围即可．
解：（1）∵k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴直线y＝2x﹣3经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．
（2）∵直线y＝mx+n经过第一、二、三象限，
∴m＞0，n＞0，
（3）∵直线y＝mx+n不经过第一象限，
∴当n=0时，直线y＝mx+n经过第二、四象限，
∴m