(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题3-4 超难压轴小题：导数和函数归类（1）（原卷+解析）学案

专题3-4：超难数压轴小题：导数和函数归类（1） 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29376" 一、热点题型归纳 1 HYPERLINK \l "_Toc17993" 【题型一】 整数解 1 HYPERLINK \l "_Toc26924" 【题型二】 零点求参 5 HYPERLINK \l "_Toc12217" 【题型三】 同构 8 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型四】 恒成立求参：移项讨论型 10 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型） 14 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型六】 恒成立求参：构造函数型 18 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型七】 恒成立求参：参变分离（常规型） 21 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型八】 恒成立求参：参变分离（洛必达法则型） 24 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型九】 恒成立求参：倍函数 26 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十】 恒成立求参：双函数最值型 29 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十一】 数列与导数型 33 HYPERLINK \l "_Toc21895" 二、最新模考题组练 38【题型一】 整数解【典例分析】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由，化简得：，设，，则原不等式即为.若，则当时，，，原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.∵，，∴.当，即时，设，则.设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，∴当时，，∴在上为减函数，即，∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则f3>g3f4>g4f5≤g5，即e2>2ae34e2>3ae49e2≤4ae5，解得.则实数的取值范围为.故选：D【提分秘籍】基本规律1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题【变式演练】1.已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】题意等价于存在唯一的正整数使得不等式成立，求出函数的单调区间，直线过定点，作出函数和直线图像，结合图形列出不等式组化简即可.解：函数，若存在唯一的正整数，使得。等价于存在唯一的正整数，使得不等式成立，令，则，由得，由得所以函数在区间上递增，在区间上递减。所以，直线过定点，作出函数和直线图像如下：由图可得要使存在唯一的正整数使得不等式成立必有所以实数的取值范围是故选：C.2.已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶函数满足，得到函数是以6为周期的周期函数，由时，，用导数法结合偶函数，作出数在上的图象，将不等式在上有且只有150个整数解，转化为在一个周期上有3个整数解分别为-2，2，3求解.【详解】因为偶函数满足，所以，即，所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，当时，，函数递增；当时，，函数递减；当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：因为不等式在上有且只有150个整数解，所以不等式在上有且只有3个整数解，当时，不符合题意，故不等式在上有且只有3个整数解，因为，所以，即，故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，所以，，即，故选：B3.已知对任意实数，关于的不等式在上恒成立，则的最大整数值为A．0 B． C． D．【答案】B【详解】令，依题意，对任意，当时，图象在直线下方，∴列表得的大致图象则当时，∵，∴当时不成立；当时，设与相切于点.则，解得.∴，故成立，∴当时,.故选B.【题型二】 零点【典例分析】已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】对求导，利用的图像求得的范围，以及与的关系，将问题转化为关于的函数值域的问题进行处理即可.【详解】因为，故可得，令，解得，故可得在区间单调递增，在单调递减，在单调递增.又，，且当趋近于负无穷时，趋近于零，故的图象如下所示：故若方程有3个不同的实根，则，又因为，故，不妨令，则，令，解得，容易知在区间单调递减，在单调递增.故可得，又<故可得，则，即.故选：B【提分秘籍】基本规律求零点或者讨论零点求参1.函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；3.数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解.（常规题是函数与直线，较复杂的，就需要构造需要借助求导来画图的函数了）【变式演练】1.已知，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分类讨论：当时，容易判断出不符合题意；当时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值，解出即可．解：当时，，解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去；当时，令，解得或，列表如下：，，而，存在，使得，不符合条件：存在唯一的零点，且，应舍去，当时，，解得或，列表如下：而，时，，存在，使得，存在唯一的零点，且，极小值，化为，，，综上可知：a的取值范围是．故选:．2.已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数研究的单调性、极值及区间值域，由题设可知在上必有两个不等的实根(假设)且，结合的性质有且，，进而求目标式的值，即可确定答案.【详解】由题设，的定义域为，且，∴当时，，即递减；当时，，即递增.∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.∴的图象如下：∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根(假设)且，∴令，要使的3个实根，则、，即，可得.∴由知：，，∴.故选：B.3.已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】研究的图像可知，若，令，则 ，且，可以推出，或，通过对数不等式写出关于的不等式，即可求出的范围【详解】因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下：令，则 ，且①当时，，成立，所以是方程的一个实数根②当时，由得：，令则： ，两式相减得： ，两式相加得：所以：，由对数均值不等式得：所以：，且，所以，，即： 所以 故选：D【题型三】 同构【典例分析】定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题中“凹函数”的定义，f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0对任意x∈(﹣1，+∞)都成立，同构为ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)，利用g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函数，得不等式lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值，求出的最大值，即可得解.解：因为所以f'(x)=mex+(x+1)[lnm﹣ln(x+1)]+1，f″(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1，因为在区间(﹣1，+∞)上为“凹函数”，所以f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0对任意x∈(﹣1，+∞)都成立，因为mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0⇔mex+lnm>ln(x+1)+1⇔ex+lnm+(x+lnm)>ln(x+1)+(x+1)⇔ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)，且g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函数，所以ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)⇔x+lnm>ln(x+1)⇔lnm>ln(x+1)﹣x，由题意，lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值， ， ， ， 单调递增；，单调递减， ，即lnm>0，所以m>1，故选：A【提分秘籍】基本规律1.注意同构法在解题中的应用，对于常见形式的同构要熟练运用,如 =.2.注意同构技巧在试题中的转化意识，适当淡化那种“同构就结束解题”的题型。区别就是如练习1和3。【变式演练】1.已知函数，，若对恒成立，求实数的取值范围．解析：由题意得：右边式子凑1得即，因为当且仅当等号成立，所以满足即可当且仅当，即等号成立，所以.2.已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.【详解】不等式对恒成立，即对恒成立，令，，而在单调递增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.则时，，单调递减，时，，单调递增.所以根据，所以，所以.3.设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简得，从而，，构造函数，有单调性得，再化简得，再构造函数，求得最大值即可.解：因为，所以，因为，所以，即，设函数，，，所以函数在为增函数，所以所以，设函数，，所以函数在为增函数，在为减函数，所以，所以的最大值为，故选：A.【题型四】 恒成立求参：移项讨论型【典例分析】若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把给定恒成立的不等式变形，构造函数，利用导数探讨的最大值不超过0即可作答.【详解】，，令，则，而成立，当时，，即在上递增，当时，于是有当时，恒有，当时，由得，有，有，即在上递减，当时，，即成立，不符合题意，综上：，所以实数的取值范围为.故选：A【提分秘籍】基本规律1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。2.讨论点的寻找是关键。3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围【变式演练】1.若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到，再利用基本不等式进行求解即可．【详解】解：设，则对一切正实数恒成立，即，由，令，则恒成立，所以在上为增函数，当时，，当时，，则在上，存在使得，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在，上单调递增，所以函数在处取得最小值为，因为，即，所以恒成立，即，又，当且仅当，即时取等号，故，所以．故选：C．2.已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】对函数求导得出，由题意得出函数在上存在极小值点，然后对参数分类讨论，在时，函数单调递增，无最小值；在时，根据函数的单调性得出，从而求出实数的取值范围.【详解】，，构造函数，其中，则.①当时，对任意的，，则函数在上单调递减，此时，，则对任意的，.此时，函数在区间上单调递增，无最小值；②当时，解方程，得.当时，，当时，，此时，.（i）当时，即当时，则对任意的，，此时，函数在区间上单调递增，无最小值；（ii）当时，即当时，，当时，，由零点存在定理可知，存在和，使得，即，且当和时，，此时，；当时，，此时，.所以，函数在处取得极大值，在取得极小值，由题意可知，，，可得，又，可得，构造函数，其中，则，此时，函数在区间上单调递增，当时，则，.因此，实数的取值范围是，故选C.3.已知函数，若存在，对于任意，都有，则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】设，问题转化为对于任意，都有，利用导数研究的最值，建立关于的不等式即可求解.【详解】设，由b的任意性，结合题意可知，对于任意，即， 又，易知函数在单调递减，在上单调递增，①当时，在上单调递增， 则故，解得，此时无解.②当时，在上单调递减，则故，解得③当时，在上单调递减，在上单调递增，则,故只需且记函数，则，函数在上递增，则，记函数则，函数在上递减，则故当时，且恒成立，满足题意，综上所述，实数a的取值范围为，故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，查了不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型）【典例分析】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.【详解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上单调递增，∵，，∴，使，即，∴时，，单调递减；时，，单调递增；故只需，令，∴，故在上递减，而，∴时，恒成立，可知. 故选：C【提分秘籍】基本规律1.代入消参，也是压轴大题的一个类型。2.解题框架（主要的）：（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解。但得到参数和的等量代换关系。备用（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根（3）利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围。（4）再代入参数和互化式中求得参数范围。【变式演练】1.已知函数有唯一零点，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.【详解】函数的定义域为，则，，则，所以，函数在上为增函数，当时，，当时，，则存在，使得，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，，由于函数有唯一零点，则，由，解得，所以，，令，其中，，，则，，，则，所以，函数在上单调递减，且，，从而可得，解得.故选：C.2.已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】问题等价于对任意恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，令，则，令，则，在单调递增，，存在唯一零点，且，使得，在单调递减，在单调递增，，，即，令，显然在单调递增，则，即，则，.故选：A.3.若对任意x∈（0，+∞），不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则实数m的最大值（ ）A． B．e C．2e D．e2【答案】B【分析】令 =e2x﹣mln（2m）﹣mlnx，求导，由时,，，存在，有，则，根据不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则，整理转化为，令，用导数法得到在上是减函数，再根据，解得，再由求解.【详解】令 =e2x﹣mln（2m）﹣mlnx，所以，要ln（2m）有意义,则 ，当时,，，所以存在，有，当时，，当时，，所以，又，所以，，所以，，，因为不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，所以令，，所以在上是减函数，又，当时，，即，又，所以，所以在时是增函数，所以，所以实数m的最大值是.故选：B【题型六】 恒成立求参：构造函数【典例分析】已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，在上单调递减，将不等式两边同时乘以，变形为，不妨设，则，构造新函数，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的，恒成立，则需恒成立，即，求解即可.【详解】函数的定义域为，即函数在上单调递减.变形为即不妨设，则，即令则若使得对任意的，恒成立.则需恒成立.则恒成立.即恒成立.所以.即实数的取值范围是.故选：B【提分秘籍】基本规律1.一些复杂结构，需要先构造合理的函数形式，以达到“化繁为简”的目的2.比较常见的，是绝对值形式，如本专题的【典例分析】【变式演练】1.已知函数与的图象恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两图象有三个公共点可得有三个实根，变形得，设，则关于的方程有两个不同的实数根且共有三个实数根，结合二次方程根的分布和的图象性质可得答案.【详解】令，可得，可得.设，则，即.，当时，单调递增且；当时，单调递减且.作出的图象如图所示.对于，，设该方程有两个不同的实根，由题意得共有三个实数根.若是方程的根，则，即，则方程的另一个根为，不合题意.若是方程的根，则，即，则方程的另一个根为，不合题意.所以关于的方程的两根(不妨令)满足.所以解得.故选A.2.对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对于任意，，当时，恒有成立，可得成立，令，可知函数在上单调递减，求导，令恒成立，即可求出的取值范围．【详解】对于任意，，当时，恒有成立，即成立，令，∴，∴在上单调递减，∴在恒成立，∴在恒成立，∵当，，∴实数的取值范围为，故选C.3.已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 A． B． C． D．【答案】D【详解】由题得,所以所以当时,,单调递增,当时, ,单调递减.所以所以，所以在上单调递减.因为所以令，u(x)是一个增函数，所以x>1.故选D.【题型七】 恒成立求参：分离参数（常规）【典例分析】设函数，若时，，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意变形整理为，设，利用导数求在上的最小值，求解即可.【详解】时，即，对成立.∴.令，则令，即，解得.令，即，解得∴在上是减函数，在上是增函数.∴∴.故选：B【提分秘籍】基本规律分离参数：将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，1.分离参数思维简单，不需过多思考；2.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶。。等等求导。【变式演练】1.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围A． B． C． D．【答案】D【分析】本题首先可以将“不等式对任意恒成立”转化为“对恒成立”，然后求出方程，的最小值即可得出结果．【详解】题意即为对恒成立，即对恒成立，从而求，的最小值，而故即当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D．2.已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．【答案】【分析】化简不等式，并分离变量可得，根据函数与不等式的关系转化已知条件得，利用换元法及导数求的最小值，由此可得a的范围.【详解】∵ 恒成立，∴ 恒成立.∴ 又 设，则∴ 时，，函数为增函数时，，函数为减函数，又时，∴ 设则恒成立，所以在区间内单调递增，所以，故所以实数的取值范围为.故答案为：.3.已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.【答案】1【分析】依题意，对任意，恒成立，令，则，利用导数求得的最小值，进而可得的最大值.【详解】依题意，对任意，恒成立，令，则.，令，则，所以在上单调递增，又，所以，当时，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，故，即实数的最大值为1.故答案为：1【题型八】 恒成立求参：分离参数（洛必达法则）【典例分析】若对恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【分析】将条件对恒成立转化为对有恒成立，令，并求导，再令，利用一阶导函数与二阶导函数一起分析得到，进而表示在单调递增，则，由洛必达法则求得，则由构建不等式，解得答案.【详解】将条件对恒成立转化为对有恒成立令，则令，则，，对，有，所以在单调递增；则，所以在单调递增；则，所以，故在单调递增，则由洛必达法则可知，则恒成立所以，故故选：A【提分秘籍】基本规律若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”【变式演练】1.已知函数 (a∈R),若在x∈(0,1］ 时恒成立,则实数a的取值范围是A．［,+ ∞） B．[,+∞) C．[2,+∞) D．[1,+∞)【答案】B【分析】首先将式子化简，将参数化为关于的函数，之后将问题转化为求最值问题来解决，之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，在求解的过程中，注意对函数进行简化，最后用洛必达法则，通过极限求得结果.【详解】根据题意，有恒成立，当时，将其变形为恒成立，即，令，利用求得法则及求导公式可求得，令，可得，可得，因为，所以时，，时，，所以函数在时单调减，在时单调增，即，而，所以在上是减函数，且，所以函数在区间上满足恒成立，同理也可以确定在上也成立，即在上恒成立，即在上单调增，且，故所求的实数的取值范围是，故选B.2.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】将等价转化为在上恒成立，令，则，令，则，即在上为增函数，则，所以在恒成立，则在单调递增，则，由洛必达法则，得，所以实数的取值范围是；故选C.点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，往往是先合理构造函数（作差、作商、转化等），将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数求函数的最值而本题中要用到二次求导和洛必达法则，是本题的难点.【题型九】 恒成立求参：倍函数【典例分析】设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数与方程的关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出【详解】因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，则，又，所以，则当时，，当时，，所以函数在为减函数，在为增函数， 要使的图像与直线有两个不同的交点，则需，即 所以， 所以 所以 所以 所以 即 又，所以 故选A 【提分秘籍】基本规律1.倍函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义2.应用函数思想和方程思想。【变式演练】1.若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数可证得在上单调递增，设，可将不等式化为，可将问题转化为在上存在单调递增区间，结合导数可进一步化为在上有解，令，可得，则，利用导数求得最大值，从而得到结果.【详解】在恒成立，在上单调递增，由对数函数单调性知：在上单调递增；不妨设，由得：，．令，则，在上存在单调递增区间，即在上有解，即在上有解，，令，则，令，则，，当时，单调递增，，，即实数的取值范围为.故选：B.2..对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）A．(e+，+∞) B．(e+，+∞)C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)【答案】D【分析】根据f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，易得，即是方程的两个根，转化为有两个根，令，用导数法求解.【详解】因为f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，所以，即，所以是方程的两个根，显然不是方程的根，所以，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得极小值，当时，，当时，，画出函数图象，如下图所示：所以所以实数k的取值范围是(e+3，+∞)，故选：D3.如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】求导，易知函数在上单调递增，在上单调递增，不妨设，将转化为．令，转化为在上有解，即在上有解求解.【详解】由题可知，在上，．因此函数在上单调递增，易知在上单调递增，不妨设，因为，所以，即．令，则，则函数在上存在增区间，则在上有解，即在上有解，所以．令，则，令，则，又，所以单调递增，所以，所以．所以实数的取值范围为故答案为：【题型十】 恒成立求参：双函数最值型【典例分析】已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．【答案】【分析】解题的关键在于读懂“对任意的，总存在使得成立”这一恒成立问题，即要恒成立，先通过求导求出，再通过恒成立问题分离参数，被分离部分再构造函数求最值，即可求出【详解】解：对任意的，总存在使得成立，即恒成立∵，∴∴当时，，函数单调递减，∴当时，，函数单调递增，∴当时，，则记，，，在上单减，，所以单减，则，单增，，单减，所以故当时，．故实数a的取值范围为．【提分秘籍】基本规律1.形如，最终是归结为求最值2.一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．3.对于一般同学，如果难以区分，可以简单的总结为一句口诀：对于任意的，不等号大的“小”（min），小的“大”（max），任意改存在，则“大”（max）“小”（min）互换。4.注意本节练习题3，不等号改成等号，则变成值域之间的包含关系。【变式演练】1.已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据存在，，使得成立，只需，先利用导数法求得，再令，将求的最大值转化为在中的最大值，求导，然后分， 和 三种情况讨论求解.【详解】因为存在，，使得成立，所以只需，因为，当时，当时，，所以在中单调递减，在中单调递增，所以，令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.因为（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；（2）当时，，，不合题意舍去；（3）当时，由可得，可得，∴在中单调递增，在中单调递减，∴，∴只需，即，令，则.由可知，，∴在中单调递减，在中单调递增，又时，，∴的解为，即的解为.综上所述，所求实数的取值范围是.故答案为：2.已知f(x)＝ln x－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若对任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是(　　)A． B． C． D． 【答案】B【解析】函数 的定义域为， 易知当 时， ，当 时， 所以在 上递减，在 上递增，故 ．对于二次函数 该函数开口向下，所以其在区间 上的最小值在端点处取得，所以要使对 使得 成立，只需 或 ，所以 或 解得 故选B．3.已知函数，若任意给定的，总存在两个不同的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，求，对分类讨论，判断单调性，求出函数的值域，即可求.【详解】.当时，，显然不满足题意；当时，函数的变化情况如下表所示又时，在上是减函数，且对任意的值域为，此时当时，函数上不存在两个使得成立，∴不合题意；当时，函数的变化情况如下表所示在的最大值为.又时，在上是增函数，且对任意.由题意可知.综上，实数的取值范围是.故选：.【题型十一】 数列与导数：【典例分析】已知数列中，，，记，，则下列结正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数列特征得到，且与同号，结合裂项相消法求得，与比较，发现不恒成立，判断出A选项；结合，可得，判断出B选项；利用可得：，构造新函数可得：，得到，而根据一次函数与对数函数的增长速度，可得不恒成立，故判断C选项；根据题干条件得到，，进而求出，结合数列的单调性可得：，故D选项正确.【详解】由，，可得：，故，所以，因为，所以，故，所以与同号，因为，所以，综上：，又因为，可得：，所以，因为，所以，所以，从而，所以不恒成立，选项A不成立因为，所以恒成立，选项B不成立；因为，所以，若，则，其中设（），则，所以在上单调递减，其中，当时，，所以，故有，结合函数的增长速度，显然不恒成立，故选项C错误；，∴可视为数列的前项和，∵单调递增，∴，故恒成立，选项D正确.故选：D【提分秘籍】基本规律数列与不等式结合，常常要进行适当放缩，或利用函数单调性研究数列的单调性，进而求出数列的范围或求和的范围，在求单调性或者最值范围时，可能需要用到函数导数。如【典例分析】这道题需要构造函数，通过研究其单调性，得到是解题问题的关键.【变式演练】1.已知数列满足：.则对于任意正整数n>100，有（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，可知，即可排除B、D,对于A选项，对进行放缩，即可判断正误，对于C选项，由得，，转化为，再证，即可判断正确.【详解】解：易知，下证的单调性:（令，则，当时，，单调递减）当时，单调递减，则单调递减，则也单调递减，故，于是B、D不成立.对于A,，故A错.对于C，要证：，由，只需证 .由知，只需证得证.下证，令 当时，，单调递减，当 时，，单调递增，所以，即恒成立，当取等号.又，故.故选：C.2.已知数列满足，满足，，则下列成立的是（ ）A． B．C． D．以上均有可能【答案】C【分析】由题设可得且，根据等式条件有，应用放缩法可得，构造并利用导数研究单调性可得上，则即可得到答案.【详解】由题设，，，即数列均为正项，∴，当时等号成立，当时，有，以此类推可得与题设矛盾，综上，，故，即.∵，∴，令，则，当时，即递减，当时，即递增，∴，故上，即，∴故选：C3.设，数列满足，，则（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】当时，，即，则，设利用导数研究出函数的的单调性，从而得到，即，得到数列单调递增，则选项A正确，B错误，当时，，即，则，设，利用导数研究出函数的的单调性，可得一定存在，使得，，使得,当（或）时有,，从而选项C, D不正确.【详解】当时，，即.则，设，则，所以在上单调递增,且所以当时，，则单调递增.当时，，则单调递减.所以，所以所以当时，数列单调递增，则选项A正确，B错误.当时，，即.则，设，则，所以在上单调递增,且所以当时，，则单调递增.当时，，则单调递减.所以,又，所以一定存在，使得，，使得当(或)时有，，即.同理可得，，所以选项C, D不正确.故选：A1.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是A． B．C． D． 【答案】A【详解】∵，∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减，当a>0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)<−a或f(x)>0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)≠0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；当a<0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)<0或f(x)>−a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解，必须满足f(3)⩽−a