(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题9-5 离心率归类训练（原卷+解析）学案

专题9-5 离心率归类训练目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29376" 一、热点题型归纳 1 HYPERLINK \l "_Toc17993" 【题型一】 判断横放竖放求参 1 HYPERLINK \l "_Toc26924" 【题型二】 直接法 3 HYPERLINK \l "_Toc12217" 【题型三】 补连另一焦点利用定义 4 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型四】 余弦定理1：基础型 7 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型五】 余弦定理2：勾股定理用两次 10 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型六】 余弦定理3：余弦定理用两次 12 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型七】 中点型 15 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型八】 多曲线交点1：和抛物线 18 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型九】 多曲线交点2：与圆 20 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十】 多曲线交点3：双曲线和椭圆 23 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十一】双曲线特性1：渐近线 25 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十二】双曲线特性2：内心 28 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十三】难点1：向量计算 31 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十四】难点2：小题大做型 34 HYPERLINK \l "_Toc21895" 二、最新模考题组练 38【题型一】 判断横放竖放求参【典例分析】已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A． B．2 C．或2 D．或【答案】C【分析】根据成等比数列求得，再根据离心率计算公式即可求得结果.【详解】因为实数成等比数列，故可得，解得或；当时，表示焦点在轴上的椭圆，此时；当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时.故选：C.【提分秘籍】依据椭圆和双曲线定义好几何性质，对方程中含参判断，要从以下几方面：通过讨论，确定焦点在x轴还是在y轴上判断（即俗称的横放还是竖放）。“椭圆”要注意避开俩分母相等这个计算坑【变式演练】1.已知双曲线的离心率为2，则双曲线M的渐近线方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由离心率的值求出的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，解得，所以双曲线方程为，由，得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A2.已知曲线C：的离心率，则实数m值为（ ）A．6 B．-6 C． D．【答案】D【分析】由曲线C：的离心率，得出是双曲线，进而得出，，由离心率，即可得出答案．【详解】因为曲线C：的离心率，所以曲线C：为双曲线，即，所以，，所以离心率，解得，故选：D．3.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据椭圆焦点位置分情况讨论.【详解】当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为，即，解得，当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为即，解得，综上：，故选：B.【题型二】 直接法【典例分析】椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，进而得，即，再解方程即可得答案.【详解】解：因为椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值为，椭圆的短轴长为所以根据题意得，所以两边平方得，即等式两边同除以得 ，解得或（舍）所以椭圆的离心率为故选：B【提分秘籍】直接利用椭圆和双曲线的定义和基础性质求离心率离心率的公式：椭圆；双曲线【变式演练】1.已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据焦距可得的值，根据右焦点到渐近线距离可求得的值，由可得的值，再由即可求解.【详解】因为焦距为，所以，右焦点，，双曲线渐近线方程为：，所以右焦点到它的一条渐近线的距离为，所以，，所以离心率，故选：C.2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中､分别为椭圆的左､右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知结合椭圆定义，用a表示出和，再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.【详解】因点P在椭圆上，则，又，于是得，，而，当且仅当点P在椭圆右顶点时取“=”，即，解得，即，所以，椭圆的离心率取值范围是.故选：D3.设双曲线E：的离心率为，直线过点和双曲线E的一个焦点，若直线与圆相切，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得直线，由与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，化简得出方程，结合离心率的定义，得到，即可求解.【详解】不妨设直线右焦点，则直线的方程为，即，由直线与圆相切，且，可得，整理得，即，即，可得，即，解得或，因为，可得，所以.故选：D.【题型三】 补连另一焦点利用定义【典例分析】已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】：由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.【详解】：由椭圆的对称性知：，而，又，即四边形为矩形，所以，则且M在第一象限，整理得，所以，又即，综上，，整理得，所以.故选：D.【提分秘籍】椭圆和双曲线，与一个焦点有关，思维上优先连接另一焦点，分析是否能借助定义解决。【变式演练】1.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.【详解】：连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确.2.设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解.【详解】：如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，所以四边形为矩形，，设，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以 ，即，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B3.设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：连接Q和右焦点，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，写出两直线方程，联立可得Q点坐标，Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒【详解】：设椭圆右焦点为，连接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ过F(－c，0)，Q过(c，0)，则，由，∵Q在椭圆上，∴，又，解得，∴离心率．故选：D．【题型四】 余弦定理1：基础型【典例分析】已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】：根据双曲线的定义和余弦定理建立关于的方程，从而可得双曲线的离心率．【详解】：根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离，所以，因为，所以，因为，所以，由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，所以，即离心率.故选：C.【提分秘籍】一般情况下，焦点三角形，可以构造余弦定理。【变式演练】1.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与交于点，若，且，则的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由题设知△为等腰直角三角形，即、，结合双曲线的定义求、，在△中应用余弦定理，构造齐次方程，求离心率即可.【详解】：由且知：△为等腰直角三角形且、，即，∵，∴，故，则，而在△中，，∴，则，故.故选：B.2.设点，分别为双曲线的左右焦点.点，分别在双曲线的左，右支上，若，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由及数量积的运算律可得，设，则，，利用双曲线的定义及直角三角形可求得（不合题意舍去），然后求出，再用余弦定理得出关系求得离心率．【详解】：，共线，且， ，，则，故有，设，则，，由双曲线的定义可得∴，整理得，解得：或，若，则，，不满足，舍去；若，，符合题意，则，，此时，在中，，即，得到，即，∴．故选：B．3.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．【详解】：因为即所以在三角形中，有余弦定理可得：所以即因为以MN为直径的圆经过右焦点F2，所以，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，即e．故选：B．【题型五】 余弦定理2：勾股定理用两次【典例分析】如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【详解】：如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为．故选：B【提分秘籍】焦点三角形或者焦点弦，有垂直（或者在圆上）可以构造勾股定理，特别是焦点弦，俩交点，可以构造两个勾股定理。【变式演练】1.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率.【详解】：由双曲线定义知，则，，所以，∴的周长为，∴，，由，所以，故，∴，∴，，∴，在中，，故.故选：A.2.已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（       ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】：根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.【详解】：由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，所以，且，则，，所以，所以，则在中，可得，，即，解得，所以，故选：A．3.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】：设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求.【详解】：设，则，从而，进而.过作，则.如图：在中，，；在中，，即，所以.故选：A【题型六】 余弦定理3：余弦定理用两次【典例分析】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】B根据题中的条件求出，根据三角形两边之和大于第三边得到，再根据，得到，即可求出离心率的取值范围.【详解】：解：如图所示：，是双曲线的左右焦点，延长交于点，是的角平分线，，又点在双曲线上，，，又是的中点，是的中点，是的中位线，，即，在中，，，，由三角形两边之和大于第三边得：，两边平方得：，即，两边同除以并化简得：，解得：，又，，在中，由余弦定理可知，，在中，，即，又，解得：，又，,即， ，综上所述：.故选：B.【提分秘籍】焦点弦俩交点，可以分开为两次构造余弦定理【变式演练】1.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，设，则，，，由，利用余弦定理，可得，在中，利用余弦定理，即可求椭圆的离心率.【详解】：由题意，如图：设，因，则，由椭圆的定义知，，，在中，由余弦定理得：，即，整理得，在中，由余弦定理得：，即，即，即，所以，椭圆的离心率为.故选：A.2.已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论.【详解】：如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD＝2c，实轴长为2a，则BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2，在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14，整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c），两式相结合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c，∴双曲线Γ的离心率为e.故选：A.3.．已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（       ）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根据所给关系式利用椭圆的定义用a、c表示出边、、、，在、中利用余弦定理求出、，再根据两角互补列出关系式即可求得离心率.【详解】：由题意作出草图，如下图所示，由椭圆的定义可知，， ，则，，，，则，在中由余弦定理可得，在中有余弦定理可得，，，，化简得，.所以椭圆的离心率为．故选：C【题型七】 中点型【典例分析】已知椭圆的左焦点为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：依据题给条件得到关于的关系式，即可求得椭圆的离心率.【详解】：设在椭圆上，所以，两式相减，得，由直线AB的倾斜角为，可知，所以；设，，所以，所以，所以，即，所以.故选：B.【提分秘籍】中点型可以点差法，，点代入法计算【变式演练】1.已知О为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】：根据题意得到，，，，再根据O、A、F、M四点共圆，可知四边形为等腰梯形，利用，求得a，b关系即可.【详解】：由题意得：，，，因为M为线段OB的中点，又为AB的中点，，即四边形为梯形，又O、A、F、M四点共圆，即四边形为圆内接四边形，而圆内接四边形的对角互补，可知四边形为等腰梯形，，即，整理得，所以，故选：A2.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（ ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】:设，根据双曲线的定义得出，从而求出，在中利用余弦定理以及离心率的定义即可求解.【详解】:点为线段的中点，且，则, 设，则，又为直角三角形，，即，，，由双曲线的定义可得，，，，，又，在中，由余弦定理可得，，离心率.故选：A3.已知，分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】:根据中垂直的性质可得，根据列不等式，结合离心率公式以及椭圆离心率即可得解.【详解】:如图：因为线段的垂直平分线恰好经过焦点，所以，当点位于椭圆的左顶点时，最大为；当点位于椭圆的右顶点时，最小为；所以，可得，所以，故选：C【题型八】 多曲线交点1：和抛物线【典例分析】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】B【详解】：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN|   ∴，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，   ∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为．故选B．【变式演练】1.已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知，记，根据题意，当最小，即直线与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可.【详解】：如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则.由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得：，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，.于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.故选：D.2.已知抛物线和椭圆（），直线l与抛物线M相切，其倾斜角为，l过椭圆N的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点，，则椭圆N的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B根据题意，利用导数的几何意义求出的方程，以及点坐标，则可得到方程，求得，则离心率得解.【详解】：根据题意，作图如下：因为，故可得，根据直线斜率为，解得切点为，故直线的方程为，整理得故可得椭圆的右焦点坐标为.过点作轴的垂直，垂足为，则在中，由，容易得，则可得，又点在椭圆上，故可得，结合，解得，故离心率为.故选：B.3.已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.根据正三角形性质可得结合椭圆定义,可由勾股定理求得椭圆的离心率.【详解】：由题意可知,画出几何图形如下图所示:由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.由椭圆定义可知,且为正三角形.所以则由正三角形性质可知为直角三角形.所以即,化简可得所以 故选:C【题型九】 多曲线交点2：与圆【典例分析】已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（       ）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】：将一条渐近线方程与以实轴为直径的圆方程联立可得出点坐标，进而可得直线的斜率，通过直线与另一条渐近线斜率相等即可得出的关系，从而求得双曲线的离心率.【详解】：不妨设为第一象限的交点.联立方程组可得的坐标为，所以直线的斜率.因为直线与另一条渐近线平行，所以，所以，则，故的离心率.故选：D.【变式演练】1.如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.【详解】：设 ，则 ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，连接 ，则有 ， 由于 在以AD为直径的圆周上， ，∵ABCD为平行四边形， ， ，在直角三角形 中，， ，解得： ， ；在直角三角形 中， ， ，得 ， ，故选：D.2.已知双曲线与圆在第二象限相交于点分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为(       )A． B． C． D．2【答案】C【分析】：根据正弦定理得，结合双曲线定义可求，可判断为直角三角形，故可求M点坐标，将M点坐标代入双曲线方程即可求得a与b关系，故而求出离心率的值.【详解】：在中，∵，∴由正弦定理知，，又∵，∴，，∴在中，，，，∴，∴.设，则由等面积得：，即，∵在上，∴，∵在上，∴，即，即，即，即，即，即，即，∴.故选：C.3.已知，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形的周长C与面积S满足则该双曲线的离心率的平方为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：联立圆和双曲线的方程，并利用对称性、双曲线的定义、勾股定理，结合，解得双曲线的离心率的平方为【详解】：如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，可得：因为圆是以为直径，所以圆的半径为。因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得：。整理可得：，则有：因为，所以，因为可得：因为，联立可得：因为为圆的直径，可得：，即，以离心率的平方为：又，则故选：A【题型十】 多曲线交点3：双曲线和椭圆【典例分析】已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由椭圆和双曲线的方程有相同的焦点，得出，再表示出椭圆与双曲线的离心率之积，即可求出范围．【详解】：由题可知，椭圆焦点在轴上，则，对于双曲线焦点在轴上，则，椭圆和双曲线有相同的焦点，则，即，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则，∴．故选：A．【变式演练】1.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A． B． C．2 D．【答案】A设椭圆方程为，双曲线方程为，焦距为由椭圆和双曲线的定义，不妨设在第一象限，求出为焦点），在中利用余弦定理，求出关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.【详解】：设椭圆方程为，双曲线方程为，左右焦点分别为不妨设在第一象限，，得，在中，，即，设椭圆和双曲线的离心率分别为，设，取，，当时，取得最大值为.故选:A.2.椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则A． B．C． D．【答案】B【分析】先将椭圆和双曲线的、、分别设出, 并设,,在中,根据余弦定理可得,根据几何意义,整理为；再分别根据椭圆与双曲线的定义,将该式分别整理为,,利用,对等式两边同除,分别得到,,建立两式的联系,即可得出结果【详解】：设椭圆的长半轴为,双曲线的实半轴为,半焦距为,设,,,椭圆与双曲线的离心率分别为，,由余弦定理可得，,即,即 ①,在椭圆中，由定义得, ①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ②在双曲线中，由定义得,①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ③联立②③得,即,.故选B3.已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的长半轴长为半焦距为,双曲线的实半轴长为,半焦距为,根据椭圆和双曲线的定义可得,,然后在焦点三角形中,由余弦定理以及离心率公式可得,最后利用柯西不等式即可得到.【详解】：设椭圆的长半轴长为,半焦距为,双曲线的实半轴长为,半焦距为,根据椭圆的定义可得:,根据双曲线的定义可得:,两式联立解得:,,在焦点三角形中,由余弦定理得:,化简得:,两边同时除以,得:,由柯西不等式得:,即,所以,所以.故选B.【题型十一】 双曲线特性1：渐近线【典例分析】已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：由题意问题转化为双曲线的渐近线与双曲线有公共点即可，据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围.【详解】：双曲线的渐近线方程为，,点P在双曲线上，双曲线的渐近线方程为，因为与双曲线相交，所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，则，解得，故该双曲线离心率的取值范围是，故选：A【变式演练】1.已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，且平分，则的离心率为(       )A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】：根据已知条件求出P点坐标和直线PA方程，平分，则O到PM的距离等于到AP的距离，列式可求离心率﹒【详解】：如图，双曲线的渐近线取，则，由，∴P()，，故，∴，即∵平分，∴O到PM的距离等于O到AP的距离|OM|，即，化简整理得，解得e=2，故选：A﹒2.已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D．【答案】C【分析】：先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】：由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．设，则，由，解得或，∴，．又为双曲线的左顶点，则，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，则，所以，则，即，所以∴．故选：C.3.已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C根据题意，不妨取点在第二象限，题中条件，得到，记，求出，根据双曲线定义，得到，，在中，由余弦定理，即可得出结果.【详解】：因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限，所以，则，因为双曲线的渐近线方程为，则，所以；记，则，由解得，因为，由双曲线的定义可得，所以，，由余弦定理可得：，则，所以，整理得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：C.【题型十二】 双曲线特性2：内心【典例分析】已知双曲线，直线与C交于A、B两点（A在B的上方），，点E在y轴上，且轴．若的内心到y轴的距离为，则C的离心率为（       ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】：根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到关系后即可求出离心率.【详解】：因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，则．因为，所以A是线段的中点，又轴，所以，，所以的内心G在线段上．因为G到y轴的距离为，所以，所以，因此，即．故．故选：B【变式演练】1.设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：先求出的重心坐标，再根据双曲线定义及切线长定理求出的内心横坐标，根据重心与内心横坐标相同得到方程，求出离心率.【详解】：将代入，解得：，即，不妨令，则，，所以重心坐标为，设的内心为D，内切圆与，的切点分别为A，B，与x轴切点为C，则PA=PB，，，且点D与点C横坐标相同，又由双曲线定义知：，从而，设，则，解得：，故点C为双曲线的右顶点，故D点的横坐标为a，因为的重心和内心的连线与x轴垂直，所以，解得：，即，解得：.故选：A2.已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（       ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】：根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答.【详解】：令双曲线的半焦距为c，则，由对称性不妨令与平行的渐近线为，直线方程为：，即，令的内切圆与三边相切的切点分别为A，B，C，令点，如图，由切线长定理及双曲线定义得：，即，而轴，圆半径为，则有，点到直线的距离：，整理得，即，而，解得，所以双曲线的离心率为2.故选：A3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】：设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得点的坐标，设，，运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于，的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】：设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，与双曲线联立，可得，，设，，由三角形的等面积法可得，化简可得，①由双曲线的定义可得，②在三角形中，为直线的倾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化简可得，即为，可得，则．故选：A．【题型十三】 难点1：借助向量构造【典例分析】已知双曲线的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】：根据条件可确定在的角平分线上，且是的内心，由向量关系式求出线段长的比，利用双曲线定义求解.【详解】：由，，则点在的角平分线上，由点在直线上，则是的内心，由，由奔驰定理（已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝.）知，,即则，设，，，则，，则.故选：C【变式演练】1.已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（       ）【答案】C由已知，得，在中，利用余弦定理及面积公式可得，再利用的内切圆的半径，可知，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到关系式，结合，将关系式转化为的关系式，从而求得离心率.【详解】：由题可知，即， 在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得即，整理得易得面积又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，所以由已知，得，则，即在中，利用正弦定理知即，又，整理得两边同除以，则，解得或（舍去）故选：C.2.椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，若，，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】：由可得，若，有，结合可求得，，最后结合几何图形有即可求得离心率【详解】：由题意，有，即，知 过左焦点的直线交于，两点，令，有，，且由上知①又∵有，且知：∴由知：②，由①、②可知：，∴结合几何图形知：，即得故选：C3.已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为，双曲线的左、右焦点分别为，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线的离心率为（       ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线所在直线的方程为，设，，，则可得，，从而可求出两向量的数量积的表达式，由二次函数的性质可求出当时，取得最小值，从而可求；当时，在处取得最大值，此时，，由可求出，进而可求离心率的值.【详解】：解：由题意可知，，则直线所在直线的方程为，因为点在线段上，可设，其中．设双曲线的焦距为，则，，，从而，，故．因为，所以当时，取得最小值，此时，．当，即时，无最大值，所以不符合题意；当，即时，在处取得最大值，此时，，因为，所以，解得，符合题意．综上，，，，故双曲线的离心率．故选:A.【题型十四】 难点2：小题大做型【典例分析】已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（       ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】A【分析】：设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角.【详解】：不失一般性，设在轴上方，在轴下方，设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，则，，，且.又.又直线的方程为，由可得，故，所以，故，同理，故，因为共线，故，整理得到即，若，，因为，，故，所以，故.故选：A.【变式演练】1.已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：由题意知，设过点的直线方程为：，反射后的切线方程为：，联立切线方程与椭圆的方程，利用求解即可.【详解】：由题意可知，又，故，设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即则反射后的切线方程为：由得，因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，，化简得：，即，解得2.双曲线上有两点、，为坐标原点，为双曲线焦点，满足，当、在双曲线上运动时，使得恒成立，则离心率取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：先根据得到，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到，从而得到为定值，即可求解离心率.【详解】：设，直线:因为，即联立，整理得，代入得所以整理得即由到直线:的距离所以距离为一个定值又又即所以又所以又所以故选：A3.已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则______.【答案】根据双曲线的离心率与左焦点可得双曲线,再根据可得为的中点,再设,根据可得坐标,代入渐近线方程可求得关于的表达式,再代入双曲线求得,进而求出直线的方程,再联立双曲线与其渐近线的方程即可得.【详解】：因为双曲线的离心率为,左焦点,故又,故故.因为,故为的中点.设,因为,故,解得.不妨设在渐近线上,则,即.代入则,解得,即.故直线的斜率,故的方程：.联立双曲线方程：即.设,则.再联立渐近线,即.故.故答案为：1．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期11月阶段性测试（期中）数学（理）试题【答案】C【详解】：试题分析：设，则，当且仅当时取等号，此时，选C.2.已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（       ）A． B． C． D．安徽省滁州市定远育才学校2021-2022学年高三上学期开学摸底考试理科数学试题【答案】B【分析】：设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率．【详解】：由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图，设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，所以，由椭圆的定义知，则，所以，所以，所以，.又圆与圆的面积之比为4，所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以，即，整理得，故椭圆的离心率.故选：B.3.已知双曲线(，)的左､右焦点分别为，，若双曲线与曲线在第二象限的交点为，且，则双曲线的离心率为(       )A． B．3 C． D．云南省三校2022届高三高考备考实用性联考（三）数学（理）试题【答案】C【分析】：根据几何关系得，再由余弦定理列出a与c的关系即可﹒【详解】：如图，由题知：，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：C．4.已知双曲线：(，)的一条渐近线被圆截得的线段长不小于8，则双曲线的离心率的取值范围为（       ）A． B． C． D．青海省西宁市大通回族土族自治县2022届高三第一次模拟考试数学（理科）试题【答案】D【分析】：求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率．【详解】：双曲线的一条渐近线方程设为，由题得圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则由题意可知，解得：所以双曲线的离心率，即故选：D．5.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．湖南省株洲市2022届高三上学期教学质量统一检测（一）数学试题【答案】A【分析】：由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得的关系，再由离心率公式可求解.【详解】：解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，则.故选：A.6.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．东北三省四市教研联合体2021届高考模拟试卷（二）理科数学【答案】B【分析】：分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】：若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故选：B.7.已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左､右两支分别交于点，，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（       ）A． B． C．2 D．福建省厦门集美中学2022届高三12月月考数学试题【答案】B【分析】：根据点差法化简后可得，利用中点在圆上，代入根据方程有解，利用判别式建立不等关系，化简即可求出离心率的取值范围.【详解】：设，则①，②①②得     化简得，因为直线斜率为1，所以，设为中点，则      ③，其中，，因为在圆上，则     ④③代入④可得，方程有解可得，即，解得,即，所以，故选：B8.已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期仿真模拟（三）文科数学试题【答案】A先根据点到直线距离公式求得，再由，用表示出，根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】：解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即，如下图所示:由点到直线距离公式可知：，又，，，即，设，由双曲线对称性可知，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，，由双曲线离心率公式可知：.故选：A.9.过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率是（       ）A． B． C． D．湖北省荆门市龙泉中学2020届高三下学期高考适应性考试（二）数学（理）试题【答案】D【分析】：先求垂线的方程，再求点，接着求点，将点代入双曲线化简整理得到，最后求出.【详解】：解：由题意设点作双曲线的一条渐近线即的垂线，则垂线的斜率为：，且过点，所以垂线的方程为：，即：，联立方程：，解得：，则，设点，则，，且，所以：，解得：，则点因为点在双曲线上，所以，化简整理得：，解得：或（舍去），所以：，故选：D.10.已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（       ）A． B． C． D．重庆市杨家坪中学2022届高三上学期12月月考数学试题【答案】D根据双曲线的定义及，，应用勾股定理，可得关系，即可求解.【详解】：设双曲线的右焦点为，连接,,,如图：根据双曲线的对称性及可知，四边形为矩形.设因为，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化简可得，③把③代入①可得：，所以，故选：D11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为，等于展开式的常数项，则双曲线C的离心率为A．3 B．3或 C． D．或2020届福建省莆田市高三下学期第二次检测（二模）数学理试题【答案】B根据二项展开式求得的值，再根据点到直线的距离公式结合，可求得的值，再代入离心率公式，即可得答案；【详解】：由已知可得，展开式的常数项为，设双曲线半焦距为c，.设，得，.P到两条渐近线的距离分别为，，.①.又②，由①②可得或，或.故选：B12.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为（       ）A． B． C． D．吉林省白山市2022届高三一模数学（理）试题【答案】B根据余弦定理以及椭圆、双曲线的定义求出离心率，再由换元法以及构造函数利用导数得出最值.【详解】：在等腰梯形中，过点D作AB的垂线，垂足于H在中，由余弦定理可得：设双曲线的实半轴为，椭圆的长半轴为由双曲线的定义可知：，由椭圆的定义可知：，所以所以所以令，则令，所以函数在区间上单调递减，即所以，由恒成立，则.故选：B13.是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A． B． C．2 D．【市级联考】山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测理科数学试题【答案】B【分析】：根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率．【详解】：因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线 因为是双曲线的左、右焦点所以（-c，0），（c，0）因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）则 解得所以为（）因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为 将以的（）代入圆的方程得化简整理得 ，所以 14.点F是双曲线的左焦点，斜率为的直线l过点F且与双曲线C的右支交于点P，过切点P的切线与x轴交于点M.若，则双曲线C的离心率e的值为（       ）A． B． C． D．江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题【答案】A【分析】：根据已知条件列出关于的齐次方程，化简求出离心率【详解】：如上图所示，过作轴，设，则，根据题意得：，所以，即，设点坐标为，点处的切线方程为：，联立，令可得：，化简得点处的切线方程为，斜率，，所以 ，由①②得：，，且，代入③化简得：，同除得：，所以或（舍）所以.故选：A