(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题9-1 圆锥小题压轴九类（原卷+解析）学案

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 第一定义及其应用1
\l "_Tc26924" 【题型二】 第二定义及应用2
\l "_Tc12217" 【题型三】 第三定义及其应用3
\l "_Tc30563" 【题型四】 焦点三角形与离心率4
\l "_Tc30563" 【题型五】 定比分点6
\l "_Tc30563" 【题型六】 焦点三角形与四心7
\l "_Tc30563" 【题型七】 共焦点的椭圆和双曲线性质8
\l "_Tc30563" 【题型八】 切线与切点弦9
\l "_Tc30563" 【题型九】 多曲线10
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练11
【题型一】第一定义及其应用
【典例分析】已知椭圆，F1，F2为其焦点，平面内一点P满足PF2⊥F1F2，且，线段PF1，PF2分别交椭圆于点A，B，若，则=___
【提分秘籍】
1．三大曲线第一定义
椭圆第一定义：
双曲线第一定义：
抛物线定义：
2．解题思路
试题中，如果是椭圆和双曲线，则到一个焦点距离，可转化为到另一个焦点距离．
【变式演练】
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为16，则的最大值为______.
2．已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．
3．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为___．
【题型二】 第二定义及应用
【典例分析】 已知双曲线C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO,PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M,N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则C的离心率为__．
【提分秘籍】
椭圆双曲线曲线第二定义：
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即
2．焦半径公式：
椭圆焦半径：
双曲线焦半径：．，
抛物线焦半径：
3．焦半径范围
椭圆焦半径范围：
双曲线焦半径范围：．
抛物线焦半径范围：
4.解题技巧：
焦半径角度公式。其中，为焦半径与焦点轴所成的角。p为焦点到对应准线的距离
椭圆焦半径夹角公式：
双曲线焦半径左焦点夹角公式：．，
抛物线焦半径夹角公式：
【变式演练】
1.如图，椭圆，圆 ，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为__________.
2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。
3.设F1，F2为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是 ．
【题型三】第三定义及其应用
【典例分析】 已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________．
【提分秘籍】
第三定义，又叫中点弦定理
（1）AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
（2） AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
（3）AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则
2．扩展推论
（1）AB是椭圆的关于原点对称的两点，M椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则
（2）AB是椭圆的关于原点对称的两点，M椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则
【变式演练】
1.设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为
A.B.C.D.
2.已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
【题型四】焦点三角形与离心率
【典例分析】
已知，分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上在第一象限内的点，若且.延长交双曲线右支于点，则的面积等于________．
【提分秘籍】
1．焦点三角形
（1）焦点三角形面积
椭圆：
双曲线：
AB为过抛物线y2=2px焦点的弦，
2．顶角
（1）．椭圆顶角在短轴顶点处最大。
（2）双曲线顶角无最大最小
3．与余弦定理结合
(1)设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
(2)设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
【变式演练】
1.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________．
3.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
【题型五】定比分点
【典例分析】已知椭圆： 的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．
【提分秘籍】
1．椭圆与双曲线焦点弦定比分点
过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
2．抛物线焦点弦的定比分点
3．焦点弦直线斜率
若直线斜率为k，
【变式演练】
1.设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为__________．
2.抛物线y2=4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若BA=4BF，则△OAB（O为坐标原点）的面积为______．
3.直线过椭圆：（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若，∠POQ=120°，则椭圆离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】焦点三角形与四心
【典例分析】已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则____．
【提分秘籍】
1．三角形内心
（1）三角形内切圆半径，则椭圆焦点三角形内切圆
（2）双曲线焦点三角形内心在过定点所做实轴的垂线上。
2．解题思路
解析几何中，多考察内心。内心是角平分线交点，则可考虑面积等分法等技巧。
【变式演练】
1..已知点P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上的一点，点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为7，若M为ΔPF1F2的内心，且SΔPMF1=SΔPMF2+λSΔMF1F2，则λ的值为 ．
2.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|= ．
3.点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质
【典例分析】
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
共焦点椭圆双曲线
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，椭圆离心率为，双曲线为
1.
2.则P点坐标为
【变式演练】
1.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_______.
2.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】切线与切点弦
【典例分析】
过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．
【提分秘籍】
1．切线
（1）设椭圆的点（不与长轴重合），则过点的切线的方程为：
（2）设双曲线的点（不与长轴重合），则过点的切线的方程为：
（3）设抛物线的点，则过点的切线的方程为：
2．切点弦
在形式上，和切线方程一致。
【变式演练】
1.两个长轴在轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若，分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线，，切点分别为，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3.过抛物线C:x2=4y的焦点F的直线l交C于A,B两点，在点A处的切线与x,y轴分别交于点M,N，若ΔMON的面积为12，则|AF|=_________________。
【题型九】多曲线
【典例分析】
已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
【提分秘籍】
解题思路
椭圆、双曲线和抛物线的交点，要紧扣对应多曲线定义。涉及到解三角形，和求最值等等知识。
【变式演练】
1.已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，P是抛物线 上的动点，当取得最小值时，点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在一象限的公共点为，若直线斜率为，则双曲线离心率为______．
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线 的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线的一个公共点且，则椭圆的离心率为_____．
1．如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.
2．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点，AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点，若ΔPQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．233 D．322
3.椭圆的一个焦点为，过点的直线交椭圆于两点，点C是点关于原点的对称点.若，，则椭圆的离心率为__________．
4.已知两定点A（－1，0）和B（1，0）,动点在直线上移动，椭圆C
以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 ．
5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点．设直线AC、BC的斜率分别为k1、k2，当2k1k2+lnk1+lnk2最小时，双曲线的离心率为________________．
6.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
7.已知、是过抛物线（）的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为__________．
8.已知双曲线：的左，右顶点分别为，，点为双曲线
的左焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，其中点在第二象限，连接
交轴于点，连接交于点，若，则双曲线的离心率为_______.
9.设抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，满足，已知为抛物线准线上任一点，当取得最小值时，的外接圆半径为______.
10.在等腰梯形中， ，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
11.过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________．
12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
13.己知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．