专题4.2 因式分解（提高篇）专项练习-2021-2022学年七年级数学下册阶段性复习精选精练（浙教版）

这是一份专题4.2 因式分解（提高篇）专项练习-2021-2022学年七年级数学下册阶段性复习精选精练（浙教版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题4.2 因式分解（提高篇）专项练习
一、单选题
1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则代数式A的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知：a=2014x+2015，b=2014x+2016，c=2014x+2017，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（   ）
A．0                              B．1                             C．2                           D．3
5．下列多项式中，含有因式的多项式是（ ）
A． B．
C． D．
6．多项式与多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的多项式含有因式，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
10．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
11．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题
12．已知，则的值为____________．
13．若x2﹣2x﹣5＝0，则x4﹣2x3+x2﹣12x﹣8的值为__．
14．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（单位：cm）

（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
（2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和______．
15．若多项式含有因式，则的值是________．
16．若实数满足，则的值为___________．
17．已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为0．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
18．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________．
19．多项式的最小值为________．
20．若，，那么式子的值为_________．
21．若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
22．若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于________．
23．已知a＋b-6ab=0（a＞b），则=_____________

三、解答题
24．将下列各式因式分解：
（1） （2）


25．将下列各式因式分解：
（1）ab2﹣9a （2）



26．用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0
（1）解题步骤正确的顺序是　 　；
（2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12


27．已知求：的值．

28．发现与探索：
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．

参考答案
1．B
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
【详解】
A．属于整式的乘法运算，不合题意；
B．符合因式分解的定义，符合题意；
C．右边不是乘积的形式，不合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
故选B．
【点拨】
本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．
2．A
【分析】
利用提取公因式法进行因式分解，从而求解．
【详解】
解：
∴代数式A的值为
故选：A．
【点拨】
本题考查提公因式法分解因式，掌握提取公因式的技巧准确计算是解题关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据提公因式法和公式法进行判断求解．
【详解】
A. ，错误；
B. ，错误；
C. ，正确；
D. 2，错误.
故选：C．
【点拨】
本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．
4．D
【解析】
【分析】
原式变形后，利用完全平方公式配方后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
∵a=2014x+2015，b=2014x+2016，c=2014x+2017，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
则原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]= ×（1+1+4）=3．
故选：D．
【点拨】
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．C
【解析】
分析: 应先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断.
详解: A、y2-2xy-3x2=（y-3x）（y+x），故不含因式（y+1）．
B、（y+1）2-（y-1）2=[（y+1）-（y-1）][（y+1）+（y-1）]=4y，故不含因式（y+1）．
C、（y+1）2-（y2-1）=（y+1）2-（y+1）（y-1）=2（y+1），故含因式（y+1）．
D、（y+1）2+2（y+1）+1=（y+2）2，故不含因式（y+1）．
故选C
点拨: 本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断.
6．A
【详解】
试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式=m（x+1）（x-1），多项式=，因此可以求得它们的公因式为（x-1）．
故选A
考点：因式分解
7．D
【解析】
设x2－px－6=(x－3)(x+a)=x2+(a－3)x－3a，3a=6，a=2，所以p=-（a－3）=1.
故选D.
点拨:根据十字相乘进行因式分解的方法将x2－px－6因式分解为(x－3)(x+a),再利用等式左右两边系数对应相等即可求出a、p.
8．B
【解析】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
∴，即△ABC是等边三角形.
故选B.
9．C
【详解】
a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．
∴a2-2ab+b2-c2＜0．
故选C．
10．C
【解析】
分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.
详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故选C.
点拨：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.
11．D
【分析】
首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．
【详解】
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故选D．
【点拨】
本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．
12．3
【分析】
利用提公因式分将原式变形为，然后利用整体代入思想代入求解．
【详解】
解：
=
=
∵
∴原式=
=
=
=
故答案为：3．
【点拨】
本题考查提公因式法的应用，掌握提公因式的技巧并利用整体思想代入求解是解题关键．
13．22
【分析】
由已知等式变形可得x2﹣2x＝5，然后对所求整式因式分解，最后整体代入计算即可．
【详解】
解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴x4﹣2x3+x2﹣12x﹣8
＝x2（x2﹣2x）+x2﹣12x﹣8
＝5x2+x2﹣12x﹣8
＝6x2﹣12x﹣8
＝6（x2﹣2x）﹣8
＝6×5﹣8
＝22．
故填：22．
【点拨】
本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用因式分解法是解答本题的关键．
14． 42cm
【分析】
（1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解；
（2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解．
【详解】
解：（1）由题知即为大矩形面积，
由图知还可用求面积，
∴可因式分解为．
（2）由题知，，，

∴，
∵，
∴，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为，
即42cm．
故答案为：；42cm．
【点拨】
本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键．
15．2
【分析】
设另一个因式是，根据已知得出，再进行化简，即可求出、值．
【详解】
解：∵多项式含有因式，
∴设另一个因式是，
则，
∵

，
∴，，
解得：，，
故答案为：2．
【点拨】
本题考查因式分解的意义，掌握因式分解的意义，利用待定系数法确定利用一个因式是解题关键．
16．-2019．
【分析】
先将变形为，再将要求的式子逐步变形，将整体代入将次即可求得答案．
【详解】
解：∵，
∴

=
=2
=2+-5-2020
=-3x-2020
=1-2020
=-2019．
故答案为：-2019．
【点拨】
本题考查了因式分解在代数式化简求值中的应用，将已知条件恰当变形并将要求的式子进行因式分解是解题的关键．
17．1
【分析】
根据题意类比推出，若是的因式，那么即当时，．将代入，即可求出a的值．注意题干要求a为正数，再将求得的解代入原多项式，进行因式分解即可．
【详解】
∵是的因式，
∴当时，，即，
∴，∴，
∵为正数，∴，∴可化为，

∴另一个因式为．
故答案为1；
【点拨】
本题考查根据题意用类比法解题和因式分解的应用，注意题干中a的取值为正数是关键．
18．6．
【分析】
将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可．
【详解】
解：，
把代入得，
再把代入得；
故答案为：6．
【点拨】
本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．
19．18．
【分析】
利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．
【详解】
解：，
=，
=，
∵，
∴的最小值为18；
故答案为：18．
【点拨】
本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．
20．
【分析】
把两个等式相减化简后可得，再把中的拆成，再分别与前后两项重新组合，提公因式后把两个已知等式代入，即可解决．
【详解】
∵，
∴
即
∵
∴






故答案为：−2020
【点拨】
本题考查了因式分解的应用，用到了一种变形：拆项，这也是本题的难点所在．
21．
【分析】
根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【详解】
解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．
故答案为：．
【点拨】
本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
22．1
【解析】
试题解析：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
23．或-
【解析】
∵a2+b2-6ab=0，∴（a+b）2=8ab，（b-a）2=4ab，∴ =2，∴ .
24．（1）；（2）
【分析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】
解：（1）


；
（2）

【点拨】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
25．（1）；（2）．
【分析】
（1）首先提取公因式a，再由平方差公式进行因式分解；
（2）先整理式子，再利用由平方差公式因式分解，最后利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
（1）原式

（2）原式


【点拨】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法及公式法进行因式分解．
26．（1）②④①③；（2）x1＝﹣5，x2＝3
【分析】
（1）先移项，再利用十字相乘法将等式左边因式分解，继而得出两个一元一次方程，解之即可得出答案；
（2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵x2﹣5x＝6，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x＋1）（x﹣6）＝0，
则x＋1＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
故答案为：②④①③；
（2）∵（x＋3）（x﹣1）＝12，
∴x2＋2x﹣15＝0，
则（x＋5）（x﹣3）＝0，
∴x＋5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝3.
【点拨】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
27．77
【分析】
先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可．
【详解】
解：




原式=．

故原式的值为77．
【点拨】
本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案．
28．（1）①（a-10）（a-2）；②（a-8）（a-2）；③（a-5b）（a-b）；（2）①见解析；②28
【分析】
（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；
（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答．
【详解】
解：（1）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-42
=（a-10）（a-2）；
②（a-1）2-8（a-1）+7
=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7
=（a-5）2-32
=（a-8）（a-2）；
③a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=（a-3b）2-4b2
=（a-5b）（a-b）；
（2）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16，
无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，
则代数式（a-6）2-16大于等于-16，
则a2-12a+20的最小值为-16；
②无论a取何值-（a+1）2都小于等于0，再加上8，
则代数式-（a+1）2+8小于等于8，
则-（a+1）2+8的最大值为8，
-a2+12a-8．
=-（a2-12a+8）
=-（a2-12a+36-36+8）
=-（a-6）2+36-8
=-（a-6）2+28
无论a取何值-（a-6）2都小于等于0，再加上28，
则代数式-（a-6）2+28小于等于28，
则-a2+12a-8的最大值为28．
【点拨】
本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．