专题9.1正弦定理与余弦定理（B卷提升篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版）

专题9.1正弦定理与余弦定理（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2021·陕西榆林市·高三一模（文））在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由面积公式可得，由余弦定理可得：得，再由正弦定理可得答案

【详解】

，所以，

由余弦定理可得： 得

又由正弦定理可得：，所以，

故选：A.

2．（2021·陕西商洛市·高二期末（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

先利用正弦定理得到，再利用已知条件得到，最后利用余弦定理求解即可.

【详解】

由，

得，

因为，

所以，

．

故选：B.

3．（2021·河南郑州市·高三一模（文））刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值.

【详解】

圆的周角为，，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为，则由题意可知，解得：，

所以的近似值是.

故选：A

4．（2020·全国高三专题练习（文））在中，角、、的对边分别为、、，已知，，若最长边为，则最短边长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

先结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得角的正余弦，再利用三角形内角和为和诱导公式计算角的正余弦，判断c为最大边，为最短边，利用正弦定理求出即可.

【详解】

由知，利用同角三角函数基本关系可求得，，由知，得，，

∴，，

即为钝角，为最大角，故c为最大边，有，

由知，最短边为，

于是由正弦定理，即求得，

故选：A.

5．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积为S，，则外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由余弦定理及三角形面积公式得和，结合条件，可得，求得角，再由正弦定理即求得结果．

【详解】

由余弦定理得，，

所以，

又，，

所以有，即，

又，所以，

由正弦定理得，，得.

所以外接圆的面积为．

故选：D．

6．（2020·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】D

【解析】

设该扇形的半径为，连接，结合题意得出，，，利用余弦定理求出，即为扇形的半径长.

【详解】

解：设该扇形的半径为，连接，如图所示：

由题意得，，

，，，

在中，由余弦定理得：

，

即，

解得：，所以该扇形的半径为米.

故选：D.

7．（2020·全国高三专题练习（理））如图所示，已知､､为的内角､､所对的边，且，，为的中点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由平方可得：，再由余弦定理可得，根据基本不等式可得，从而得解.

【详解】

，

，

根据余弦定理知，

又，得，故，

由，当且仅当b=c等号成立，得，，

故选：D.

8．（2021·全国高三专题练习（理））已知向量，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】

利用向量公式求出向量与的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值.

【详解】

，

,，其中，

故，

，

故当时，即时，取最大值为.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

利用三角恒等变换和三角形的面积公式求出的值，再根据的范围求出角.

【详解】

，

即，

所以，，

利用正弦定理得：，

将代入可得：，

因为，所以或，

因为，且，所以，

所以，

角不可能是,,

故选：ACD

10．（2020·广东中山市·中山一中高二月考）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则为钝角三角形

D．若，则为直角三角形

【答案】ACD

【解析】

A选项，在中，大边对大角，由可得，利用正弦定理，可得；故A正确；

B选项，在中，若，则或，所以或；故B错；

C选项，若，则，所以角为钝角，即为钝角三角形；故C正确；

D选项，若，则，所以，则，又为三角形内角，所以，则.

故选：ACD.

11．（2020·桃江县第一中学高三期中）在中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为，则可能取到的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

，，，

又，，

由余弦定理可得，

，当且仅等号成立，

故的最小值为，可能取到的值为AC选项．

故选：AC.

12．（2020·广东汕头市·金山中学高三期中）在中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．

D．若，且，则为等边三角形

【答案】ACD

【解析】

对于A，由，故A正确；

对于B，若，当，时，则，故B不正确；

对于C，，

故C正确；

对于D， 由，可得的角平分线与垂直，

所以为等腰三角形

又，可得，所以为等边三角形，故D正确；

故选：ACD

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2021·江西新余市·高三期末（理））已知分别为三个内角的对边，的面积为，且，则_______.

【答案】

【解析】

由三角形的面积公式可知，得，

由得，

由正弦定理得即，

所以 ，

所以，

又，所以，

又，故

故答案为：

14．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（理））已知的内角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

∵，

∴，即，

由正弦定理得，∴，

由余弦定理知，，

∴，

则，

∵，

∴，则，当且仅当时，等号成立

即的最小值为．

故答案为：

15．（2020·和平区·天津一中高三月考）如图，在已知的四边形中，，，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.

【答案】

【解析】

因为在中，，，，

所以，解得，

在中，根据正弦定理，可得，解得，

所以，

因为，点为边上，所以，

设，，

所以

=，，

所以时，有最小值，

故答案为：

16．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则________，的最大值为__________.

【答案】2       

【解析】

根据正弦定理，化简得，再由余弦定理，列出方程求得，结合正弦定理化简，进而求得的最大值.

【详解】

因为，

由正弦定理，可得，即，

又由余弦定理，所以，

根据正弦定理，

可得，，

所以

，其中，

因为，当时，的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2021·浙江台州市·高三期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理先求，从而可得角；

（Ⅱ）用正弦定理将化角，再用两角和的正弦公式化简转化，即可求得的取值范围.

【详解】

（Ⅰ），

（Ⅱ），，

由正弦定理，，

，，

，

；

又，故，，

.

18．（2021·北京海淀区·高三期末）若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：

（1）求的大小；

（2）求和的值.

条件①：；

条件②：；

条件③：；

条件④：.

【答案】选择①②③（1）；（2）；；选择①②④（1）；（2）；.

【解析】

选择①②③

（1）因为，，

由正弦定理得.

因为，所以.

所以.所以.

（2）在中，，所以.

所以.

因为，所以.

所以

.

所以.

由正弦定理得，即.

因为，所以.

选择①②④

（1）因为，，

由正弦定理得.

在中，，

所以.

所以.

（2）在中，，所以.

所以.

因为，所以.

所以

.

所以.

因为，所以.

由正弦定理得.

19．（2021·海南高三二模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由.

问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

选择条件①：由余弦定理可求出角，再根据条件可求出，即得面积；

选择条件②：由正弦定理可求出角，进而求出，即得面积；

选择条件③：先由二倍角公式化简可得，进而由余弦定理得出，求得可判定三角形不存在.

【详解】

选择条件①：

由余弦定理得，

因为，所以.

结合，，可得，

所以，，

因此.

选择条件②：

由正弦定理得，

所以，

又，所以，所以.

由，解得，，

所以.

选择条件③：

因为，

又，所以，因此.

由余弦定理可得，得，

从而，显然不成立，

因此，不存在满足条件的.

20．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

（1）求；

（2）若，且D为的中点，求的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据，利用正弦定理结合 ，得到求解.

（2）根据D为的中点，得到，然后两边平分结合余弦定理得到，再利用基本不等式求解.

【详解】

（1）因为

由正弦定理得：，        ①

又因为， ②

由①②得：，

而，

所以，

又因为，

所以．            

（2）因为，

所以

所以，

由余弦定理得：，

所以，

所以，

而（当且仅当时，取“=”），

所以，即：，

所以（当且仅当时，取“=”），

所以的最大值为．

21．（2021·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末（理））在中，，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）如果，求的面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，利用正弦定理可得求解．

（2）由，利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解.

【详解】

（1）因为，

由正弦定理得：，

即．

又∵，

∴．

（2）因为，

由余弦定理得，

而，当时取等号，

所以，

所以.

22．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，，.

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；

①；②

（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA+AE最大)

【答案】（1）；（2）当时，折线段赛道BAE最长.

【解析】

（1）在中应用余弦定理求得，进而在应用勾股定理求得．

（2）在中，应用余弦定理表达出与的等量关系，再结合不等式求得的最大值即可．

【详解】

（1）①当时，

在中，由余弦定理得：

，

.，

，

又，，

在中，.

②当，

由，，在中，利用余弦定理可得

,

解得或（舍）.

（2）在中，，.

由余弦定理得，

即，

故，

从而，即，

当且仅当时，等号成立，

即设计为时，折线段赛道最长.