大题专练训练44：随机变量的分布列（二项分布1）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练44—随机变量的分布列（二项分布1）1．某地区为贯彻习近平总书记提出的“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”的三牛精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.8，引种树苗、的自然成活率均为．（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？解：（1）依题意，的所有可能值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为：0123．（2）当时，取得最大值．①一棵树苗最终成活的概率为．②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，则，，，，要使，则有．所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．2．为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在，之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人．（1）如果按照上届高三理科生的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为，，，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数分布列及期望．解：（1）540分以上的频率为：，要达到的二本率，所以，之间频率为：，因为，的频率总和为．所以模拟二本线应在，之间，设为，则，解得：，（2）至少2科及格的概率，，，，1，2，3，0123．3．某医疗研究所新研发了一款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究所外聘了一批专家检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独立．（1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为，专家乙评定为“可靠”的概率为，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定为“不可靠”．现随机抽取4台仪器，由两位专家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；（2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若每台仪器被每位专家评定为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立．只有三位专家都评定仪器可靠，则仪器通过评估．若三位专家评定结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回研究所返修，拟定每台仪器评估费用为100元，若回研究所返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，研究所用于评估和维修的预算是3.3万元，你认为该预算是否合理？并说明理由．解：（1）记事件：一台机器被评定为不合格，则，由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4．由题意得：，所以，，，，，．故随机变量的分布列为：01234所以；（2）该预算合理，理由如下：设每台仪器用于评估和维修的费用为元，则的可能取值为100，400，则，．所以，即，令，，，令解得，当，，在单调递增，当，，在单调递减，所以当时，的最大值为，所以实施此方案，100台抽检仪器的费用期望值最高为元元，因此该预算合理．4．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色单车的投放比例为．监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次．在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用表示，求的分布列及数学期望．解：（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为2，用表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则服从二项分布，即，所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为；（2）随机变量的可能取值为：0、1、2、3、，，，，．所以的分布列如下表所示：01234．5．“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式．某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的．（1）填写列联表，并判断能否有的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？ 男生女生合计2020年在直播平台购物   2020年未在直播平台购物   合计   （2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为，求的分布列与期望．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828附：，．解：（1）列列联表： 男生女生合计2020年在直播平台购物4035752020年未在直播平台购物20525合计6040100．故没有的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关（5分）（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为，则，1，2，3，4，且，，故，，0，2，4，，，，，．所以的分布列为024，，即．（12分）6．某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中，，的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记为抽取学生的身高在，的人数，求的分布列和数学期望．解：（1）由题意知，120名学生中身高大于1.6米的有18人，该校学生身高大于1.6米的频率为，设为学生的身高，则，，，，，．（2）由（1）知学生身高在，的概率为，随机变量服从二项分布，则，，，，的分布列为：01230.0270.1890.4410.343．7．2020年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状，严重的可导致肺炎甚至危及生命．新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心，为了遏制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城、共克时艰．某校为了了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生中各随机抽取20人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表：女生成绩成绩，，，，频数7742规定：成绩在80分以上（含80分）的同学称为“防疫明星”．（1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有的把握认为“防疫明星”与性别有关； 男生女生合计防疫明星   非防疫明星   合计   （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取4人，其中“防疫明星”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．附：参考公式其中．参考数据：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由频率分布直方图可得：男生中成绩大于等于80的频率为，则男生中“防疫明星”的人数为人，“非防疫明星”人数为8人，由频数分布表可得，女生中“防疫明星”的人数为6人，“非防疫明星”人数为14人，所以列联表为： 男生女生合计防疫明星12618非防疫明星81422合计202040所以，所以没有的把握认为“防疫明星”与性别有关；（2）从20名男生中随机抽取1人，是防疫明星的概率为，从该校男生中随机抽取4人，其中“防疫明星”的人数服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3，4，则，，，，，所以随机变量的分布列为：01234所以的数学期望为．8．某动植物园游客行走示意图如图所示，每位游客进园后选择其中任意一条路线行走是等可能的．现有A，B，C，D，E5名游客结伴进园游玩，并按箭头方向入园后各自开始自由行走，同时约定最后到出口集合．（Ⅰ）求游客A经过游乐场的概率；（Ⅱ）若这5名游客中恰有X名游客经过游乐场，求随机变量X的概率分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设A从入口开始到出口经过游乐场为事件M，A选中间的路的概率为，在前面岔路（猴山或鸟语林）到游乐场的概率为，这两个事件互相独立，∴选择从中间一路走到游乐场的概率为P1＝＝，同理，选择从右边路线到游乐场的概率为P2＝＝，由于选择中间路线和右边路线行走的两个事件彼此互斥，∴P（M）＝P1+P2＝＝，∴A从进口开始到出口经过游乐场的概率为．（Ⅱ）随机变量X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，∴X的分布列为： X 0 123 4 5 P      E（X）＝+＝．