专题2.14 定积分与微积分基本定理-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念．
2．了解微积分基本定理的含义.
【命题趋势】
定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积.
【核心素养】
本讲内容可以突出对数学建模，数学运算，数学抽象的考查.
【素养清单•基础知识】
1．定积分的概念
在eq \i\in(a,b,)f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1) eq \i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq \i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)；
(2) eq \i\in(a,b,) [f1(x)±f2(x)]dx＝eq \i\in(a,b,)f1(x)dx±eq \i\in(a,b,)f2(x)dx；
(3) eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx＋eq \i\in(a,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b)．
求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算.
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)eq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)，即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)＝F(b)－F(a)．
4．定积分的几何意义
定积分eq \i\in(a,b,)f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx；②S＝－eq \i\in(a,b,) (x)dx；③S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx－eq \i\in(a,b,)f(x)dx；
④S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx－eq \i\in(a,b,)g(x)dx＝eq \i\in(a,b,) [f(x)－g(x)]dx.
1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.
2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
【素养清单•常用结论】
1．常见被积函数的原函数
(1) eq \i\in(a,b,)cdx＝cxeq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)；(2) eq \i\in(a,b,)xndx＝eq \f(xn＋1,n＋1)eq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)(n≠－1)；
(3) eq \i\in(a,b,)sin xdx＝－cs xeq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)；(4) eq \i\in(a,b,) cs xdx＝sin xeq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)；
(5) eq \i\in(a,b,) eq \f(1,x)dx＝ln|x|eq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)；(6) eq \i\in(a,b,)exdx＝exeq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a).
2. 奇函数、偶函数定积分的两个重要结论
设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有：
(1)若f(x)是偶函数，则eq \i\in(－a, a,)f(x)dx＝2eq \i\in(0,a,)f(x)dx；
(2)若f(x)是奇函数，则eq \i\in(－a, a,)f(x)dx＝0.
【真题体验】
1．若s1＝eq \i\in(1,2,)x2dx，s2＝eq \i\in(1,2,)eq \f(1,x)dx，s3＝eq \i\in(1,2,)exdx，则s1，s2，s3的大小关系为( )
A．s1