2021-2022学年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

2021-2022学年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 设命题p：R，，则p的否定为

A. R， B. R，
C. R， D. R，

3. 已知，，则等于

A.  B.  C.  D.

4. 的展开式中，的系数为

A. 80 B. 40 C.  D.

5. 某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是

参考数据：，，，

A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年

6. 某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例.对随机抽出的2000名学生进行了调查.因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：

问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？

问题2：你是否抄袭过作业？

调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和50个红球的不透明袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.

调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天

A.  B.  C.  D.

7. 长方体中，，，E为棱上的动点，平面交棱于F，则四边形的周长的最小值为

A.  B.  C.  D.

8. 设函数的导函数是，且恒成立，则

A.  B.
C.  D.

9. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“”，事件“xy为奇数”;事件“”，则下列结论正确的是

A. A与B互斥 B. A与B对立 C.  D. A与C相互独立

10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则

A. 椭圆C的离心率为
B. 椭圆C上存在点K，使得
C. 直线的斜率为
D. 平分

11. 已知函数，，则

A. 曲线是中心对称图形
B. 曲线是轴对称图形
C. 函数既有最大值又有最小值
D. 函数只有最大值没有最小值

12. 数列中，，，则下列结论中正确的是

A.  B. 是等比数列
C.  D.

13. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________.
14. 抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为__________.
15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，图中，，则__________.
     

16. 菱形ABCD中，，，点E，F分别是线段AD，CD上的动点包括端点，，则__________，的最小值为__________.
17. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

求角A的大小；

若，BC边上的中线，求的面积．






 

18. 某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了100位业内人士，根据被访问者的问卷得分满分10分将经济前景预期划分为三个等级悲观、尚可、乐观分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下：

假设被访问的每个人独立完成问卷互不影响，根据经验，这100位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性．

该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；

某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下正数表示赢利，负数表示亏损：

根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议．






 

19. 设为等比数列的前n项和，，，成等差数列．

求证：，，成等差数列；

若，是数列的前n项积，求的最大值及相应n的值．






 

20. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面PAB，，E是AD的中点．

在线段BP上找一点M，使得直线平面PCD，并说明理由；

若，，求平面PCE与平面PAB所成二面角的正弦值．






 

21. 已知双曲线C的渐近线方程为，且过点

求C的方程；

设，直线R不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点．






 

22. 已知函数，其中R且

设，过点作曲线C：的切线斜率存在，求切线的斜率；

证明：当或时，

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查集合的交运算及对数不等式的解法.
化简集合A，再由交集定义求解即可.

【解答】

解：由集合，又，所以，
故选

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查存在量词命题的否定.
利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可解答.

【解答】

解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，故p的否定为，
故选

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式，三角函数基本关系式的应用.
首先利用诱导公式可得的值，然后利用同角三角函数基本关系求出的值，即可得出的值.

【解答】

解：，，又，
，
故选

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题.
利用二项展开式的通项公式求解即可.

【解答】

解：的展开式中含的项为，的展开式中含y的项为，所以的展开式中，的系数为
故选：

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数模型的应用，对数不等式．
根据题意设出未知数，列出不等式，再求出n的最小值．

【解答】

解：根据题意设年后公司全年投入的研发资金为y，
则，
令，
解得，
所以n的最小值为8，故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年.
故选：

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查等可能事件的判断与概率计算，应用概率解决实际问题.
利用概率估计整体，可得回答第一个问题与第二个问题各1000人，再根据偶数天估计第一个问题回答“是”的人数，进而可估计第二个问题回答"是"的人数.

【解答】

解：由题意可知，每个学生摸出1个白球或红球的可能性都是，即大约有1000人回答了第一个问题，另1000人回答了第二个问题，在摸出白球的情况下，回答“是”的概率为，
所以在回答第一个问题的1000人中，大约有490人回答了“是”，所以可以推测在回答第二个问题的1000人中，大约有人回答了“是”，即估计抄袭过作业的学生所占百分比为
故选：

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了棱柱的结构特征，线面平行的性质定理，两点间的距离公式.
根据线面平行的性质，可证得四边形是平行四边形，设，得四边形的周长为，令，则d表示点与与点的距离之和，作M关于x轴的对称点，当且仅当、N、P三点共线时取得最小值，即可求得答案.

【解答】

解：根据长方体可得，平面，
因为平面平面，平面，
所以，，
同理，
所以四边形是平行四边形.
因为，，设，则，，，
所以，
所以四边形的周长为：，
令，
所以d表示点与与点的距离之和，
所以，
因为点P在x轴上，作M关于x轴的对称点，
则，当且仅当、N、P三点共线时取等号，此时
所以四边形的周长最小值为
故选

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数比较大小.
构造函数，利用导函数研究其单调性即可求出结果.

【解答】

解：设，因为恒成立，则恒成立，所以在定义域上单调递增，故，即，解得：，即
故选：

9.【答案】AD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查互斥事件，独立事件，条件概率，古典概型问题.
根据题意，列举出事件A、B、C的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出、、、、，结合互斥事件与独立事件可判断AB选项;根据条件概率可判断C，根据独立事件的定义可判断

【解答】

解：由题可知，“”，“xy奇数”，“”，
则事件A的所有情况为：，，，，，共6种情况，所以
事件B的所有情况为：，，，，，，，，共9种情况，
所以，
所以A与B互斥但不对立，故A正确错误；
事件C的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种情况，
所以，，可知，C错误，，，，所以A与C独立， D正确.
故选

10.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的几何性质，离心率，直线与椭圆的位置关系，属于较难题.
由，进而求得离心率 e，即可判断A；判断的大小，进而可以判断即可判断B；由，求得Q坐标，从而计算得斜率，即可判断C；计算得，从而判断

【解答】

解：由已知得，，，
由，得，所以，A正确；，是锐角，易知当K位于点B时，最大，故不可能存在点K，使得，B错误；
，即，
所以的斜率为，C正确，
，
，所以平分，D正确，
故选

11.【答案】BC
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数对称性和最值，属于中档题.
由余弦函数对称性，对称性判断A，B；由，，不等式性质得，判断C，

【解答】

解：
对于A：函数，是中心对称图形，不是中心对称图形，故曲线不是中心对称图形，A错误;
对于B：函数的一条对称轴为，的对称轴为，所以曲线是轴对称图形，B正确;
对于C，D，因为，，所以，因为在处取得最小值为1，而在处取得最大值2，则函数在处取得最大值为2，在，，，，时，取得最小值0，故C正确，D错误.
故选

12.【答案】ABD
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系式及等比数列的判定以及数列的函数特征，属于中档题.
由，得到是等比数列，进而得到，再利用累加法得到，然后逐项判断.

【解答】

解：因为数列，中，，，，
所以，，
则是以1为首项，以为公比的等比数列，
所以，
由累加法得，
所以，
当n为奇数时，是递增数列，所以，
当n为偶数时，是递减数列，所以，
所以，
是以1为首项，以为公比的等比数列，
又，，，，所以
故选：

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的代数表示及其几何意义、复数的四则运算.
由题意得，，计算可得

【解答】

解：由题意得，，则，
故答案为

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质，两点间的距离公式.
先由，求出p，，将点代入抛物线方程求得，再由两点距离公式和可得.

【解答】

解：抛物线上一点与焦点F的距离，
，解得，
抛物线方程为，
将点代入抛物线方程可得，
到坐标原点的距离为
故答案为：

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质.
由题意可得，  ，  或，  ，分情况讨论即可求解，注意结合图像可知；

【解答】

解：函数，，
，，  ，  或，  ，
，当时，或，
当时，，
，，，
，，，，
，结合图像可知，
取，，，
；
当时，，
，
，，，，，，
，结合图像可知，
取，，，
，不合题意，舍去
故答案为：

16.【答案】0

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查二次函数的性质，考查三角函数的性质.
建立坐标系，用坐标表示向量，空一利用向量数量积坐标公式进行相应计算，空二设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.

【解答】

解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，
故，，，，
设，则，，
则，，，

，
因为，所以，，
故当时，取得最小值为，
因为，所以当，即时，最小，最小值为
故答案为：0；
 

17.【答案】解：中，，
由正弦定理得，，
，
，
又，，，，
，又，；
在中，，，
根据余弦定理得，，
即，
又因为，所以，所以，
解得或舍，
的面积为
 

【解析】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形内角和与面积公式的应用问题．
利用正弦定理与三角形的内角和定理求得角A的值；
利用余弦定理和三角形面积公式求得结果．
 

18.【答案】解：根据调查可知，预测“悲观”的人数为10人；“尚可”的人数为70人；“乐观”的人数为20人，
所以预测“悲观”的概率为；预期“尚可”的概率为，预期“乐观”的概率为，
记“两人中至少有一人预测中国经济前景为乐观”为事件A，因为每个人独立完成问卷互不影响，所以；
用X表示物联网项目年回报率，则X的取值为12，4，，

所以期望，
方差；
用Y表示人工智能项目年回报率，则Y的取值为7，5，，

所以，
方差，
所以，，两个项目的年回报率期望相差不大，但是人工智能项目年回报较为稳定，应当投资人工智能项目.
 

【解析】本题考查了对立事件，离散型随机变量的概率分布列及期望和方差.
根据数据可得预期“乐观”的概率，根据对立事件概率之和为1，可求得答案；
根据数据可求得两种回报率的概率分布列，求得，，，，即可给出投资建议.
 

19.【答案】证明：由题意， ，显然   ，整理得，因为，得，
即，
两边同时乘，得，
即，
 成等差数列；
解：根据，
从而，
由，
得，因为，所以，解得，
又，，
，
设，对称轴为，抛物线开口向上，
时，取最小值，
当或4时，取最大值为
 

【解析】本题考察等差数列的性质，等差数列的求和，等比数列的求和，数列的函数特征.
利用等差数列的性质与等比数列求和公式解得，两边同乘，再根据等差数列性质可证；
求得，从而求得，结合二次函数性质可得.
 

20.【答案】解：是PB的中点，理由如下：

取AP的中点N，连结EN、EM、MN，
因为E、N分别是AD、AP的中点，所以，
平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，
矩形ABCD，所以，
因为M、N分别是PB、PA的中点，
所以，
所以，
又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，
又，MN，平面MNE，
所以平面平面PCD，
因为平面EMN，
所以平面
设，则，，
因为平面PAB，PA，平面PAB，所以，，
又，
以A为原点，以垂直AB所在直线为x轴，AB，AD为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
因为平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，
，，
设平面PCE的一个法向量为，
，得 ，  令，得， 
设平面PCE与平面PAB所成二面角为， 
则⟨⟩  ，
因为，所以，
 所以平面PCE与平面PAB所成二面角的正弦值为
 

【解析】本题考查了线面平行和面面平行的判定，线面平行的性质，利用空间向量求二面角，属于中档题.
是PB中点，取AP的中点N，连结EN、EM、MN，可证得平面PCD，平面PCD，进而可得平面平面PCD，即可证明平面PCD；
以点A为原点，以垂直AB所在直线为x轴，AB，AD为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得平面PAB和平面PCE的法向量，再由夹角公式求解即可得答案.
 

21.【答案】解：由题可知，双曲线焦点在x轴上，可设双曲线标准方程为，则，解得，所以双曲线方程为
解：显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ为，，联立，消x整理得，依题意得且，即且，，直线AD的方程为，令，得，所以直线AD过定点
 

【解析】本题考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系.
利用渐近线方程中的关系以及点在双曲线上，列出方程组，求解即可.
设直线BQ为，，联立，消x，利用根与系数关系求得，然后求出直线AD的方程，整理分析即可得出结论.
 

22.【答案】解：由，得，
因为，故点不在曲线C上，设切点为，
则切线AT的解率为，
又，所以，
整理得，将代入得：
，整理得，
即，所以，
因为，所以，所以，
故切线AT的斜率为
证明：①当时，，
令，则，
当当
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即，
所以，又，
当且仅当时取等号，
所以，即，
即当且时，；
②当时，，
令，
即，
因为，所以，是上的增函数，
又，所以，
故当，时，，
由①知，，所以，
即当时，，
综上，当或时，
 

【解析】本题考查导数几何意义，考查导数中的不等式证明，属难题.
先判断A不在曲线上，设切点为，利用导数几何意义求解即可;
①当时，，由，化简变形即可证得，即当且时，
②当时，，令，对求导，研究单调性，即可证得结论成立.