2021－2022学年九年级数学中考总复习 第二十四章 圆 24.1.2垂直于弦的直径（解析版）

参  考  答  案

1.【答案】 B  

【解析】解：如图所示，CD⊥AB于点P.

根据题意，得

AB=10cm，CD=6cm.

∴OC=5，CP=3

∵CD⊥AB，

∴CP= CD=3cm.

根据勾股定理，得OP= =4cm.

故答案为：B.

2.【答案】 B  

【解析】解：连接OD，如图所示：

设⊙O的半径为R，

∵弦CD⊥AB于点E.CD=6，

∴DE=CE= CD=3，∠OED=90°，

∴在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2  ， 即32+（R-2）2=R2  ，

解得：R= ，即OB的长为 ，

故答案为：B.

3.【答案】 D  

【解析】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=48cm，

∴BD= AB= ×48=24（cm），

∵⊙O的直径为52cm，

∴OB=OC=26cm，

在Rt△OBD中， （cm），

∴CD=OC-OD=26-10=16（cm），

故答案为：D.

4.【答案】 C  

【解析】∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE＝DE，B正确；∠COE＝∠DOE，A正确；因为A正确，所以 ，D正确；故答案为：C.
5.【答案】 C  

【解析】解：连接OC，

∵AB=12

∴OB=   

又BP=2

∴OP=OB-PB=6-2=4

在Rt△OPC中， ，

∵OB过圆心，OB⊥CD

∴CD=2PC=2×

故答案为：C.

6.【答案】 D  

【解析】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：

小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；

故答案为：D.

7.【答案】D

【解析】∵OD⊥AC  ， OD为圆O的半径，

∴E是AC的中点，

∵O是AB的中点，

∴OE是 的中位线，

∴ ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ；

故答案为：D．

8.【答案】 C  

【解析】解：连接 ，

，

，

∵AB＝8cm，

，

设圆的半径为 ，

在 中， ，

根据勾股定理得： ，即 ，

解得： ，

故答案为：C．

9.【答案】 A  

【解析】解：①当AB、CD在圆心两侧时；

过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：

∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，

∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，

∴EF为AB、CD之间的距离

在Rt△OEC中，由勾股定理可得：

OE2＝OC2﹣CE2

∴OE 3，

在Rt△OFA中，由勾股定理可得：

OF2＝OA2﹣AF2

∴OF 4，

∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，

AB与CD的距离为7；

②当AB、CD在圆心同侧时；

同①可得：OE＝3，OF＝4；

则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；

综上所述：AB与CD间的距离为1或7.

故答案为：C.

10.【答案】 B  

【解析】解：连接AC，AO，

∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，

∴AM＝ AB＝ ×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），

如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，

∴OM＝ ＝ ＝14（cm），

∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），

∴AC＝ ＝ ＝80（cm）；

如图2，同理可得，OM＝14cm，

∵OC＝50cm，

∴MC＝ ＝36（cm），

在Rt△AMC中，AC＝ ＝60（cm）；

综上所述，AC的长为80cm或60cm，

故答案为：B.

11.【答案】 B  

【解析】解：连接AO，

∵ 是直径， 是弦， 于点M，

∴ ，

在 中， ， ， ，

根据勾股定理可得 ，

∴ ，

故答案为：B.

12.【答案】 C  

【解析】解：∵AB=10，

∵OB=OA=OC=5，

过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，

∵OB⊥CD，

∴∠CEO=90°，

由勾股定理得：CE= = =3，

∵OE⊥CD，OE过O，

∴CD=2CE=6，

∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，

∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，

答案为：C．

13.【答案】 1cm或7cm  

【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1

∵AB＝8cm，CD＝6cm，

∴AE＝4cm，CF＝3cm，

∵OA＝OC＝5cm，

∴EO＝3cm，OF＝4cm，

∴EF＝4−3＝1cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，

∵AB＝8cm，CD＝6cm，

∴AE＝4cm，CF＝3cm，

∵OA＝OC＝5cm，

∴EO＝3cm，OF＝4cm，

∴EF＝OF＋OE＝7cm．

∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．

故填1cm或7cm．

14.【答案】 0.8或0.2.  

【解析】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，

根据题意，得   AO=0.5，AE=0.4，

根据勾股定理，得OE= = =0.3，

∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）

或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），

∴水深为0.2米或0.8米.

故答案为：0.2米或0.8.

15.【答案】 3  

【解析】解：根据垂线段最短知，当OP⊥AB时，OP的长度最小，

此时由垂径定理知，点P是AB的中点，BP＝ AB＝4，

连接OB， OP＝ ，

故答案为：3.

16.【答案】   

【解析】解：根据题意得，圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心 ，过点A作 垂足为C，

，由勾股定理得

解得

故答案为： .

17.【答案】 解：连接OC，如图， 

∵CD⊥AB，

∴CE＝DE，

∵EB＝9，AE＝1，

∴AB＝10，OC＝OA＝5，

∴OE＝4，

在Rt△OCE中，CE＝ ，

∴CD＝2CE＝6.

【解析】根据垂径定理得到CE=ED，连接OC，再根据已知条件得到OE和OC的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长.

18.【答案】 证明：过O作OE⊥AB于E，则AE=BE． 

∵AC=BD，∴CE=DE．

∴OE是CD的中垂线，∴OC=OD．

【解析】过O作OE⊥AB于E，则AE=BE，再结合题意证出OE是CD的中垂线，利用中垂线的性质求解即可。

19.【答案】 解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C． 

∵OC⊥AB于点D

∴BD＝ AB＝ ×60＝30cm，

∵⊙O的直径为68cm

∴OB=OC＝34cm

∵在Rt△ODB中，OD= （cm），

∴DC＝OC﹣OD＝34﹣16＝18（cm）；

答：油的最大深度为18cm．

【解析】连接OB  ， 过点O作OC⊥AB于点D  ， 交⊙O于点C  ， 先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．

20.【答案】 解：如图：过 点作半径 于

在 中，

水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为

【解析】先过  点作半径  于  ，由垂径定理得到AE=4，再由勾股定理得到OE=3，由ED=OD-OE求出ED即可.