2022保定七校高三下学期3月一模联考数学试题含答案

保定市2021-2022学年下学期高中七校联合模拟第一次考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数在复平面内对应的点为，则（）

A.  B.

C D.

2. 已知集合，，则（）

A.  B.

C.  D.

3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）

A. 1∶1 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 2∶3

4. 已知角顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（）

A B.  C.  D.

5. 已知向量，，，则与的夹角为（）

A.  B.  C.  D.

6. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（）

A.  B.  C.  D. 2

7. 已知函数的图象关于点对称，则（）

A.  B.  C.  D.

8. 在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，，，则（）

A B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 正态分布的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（）.

A.  B.

C.  D.

10. 已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.

A.  B.

C D.

11. 在正方体中，点、分别是棱、的中点，则下列选项中正确的是（）.

A.

B. 平面

C. 异面直线与所成的角的余弦值为

D. 平面截正方体所得截面是五边形

12. 已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（）.

A. （）

B.

C. 若，则

D. 若数列单调递增，则取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知是奇函数，且当时，．若，则______．

14. 已知向量，，，则与的夹角为______.

15. 函数图象在点处的切线的斜率为______．

16. 若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程．

17. 已知数列是递增的等比数列，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.

（1）若，求b；

（2）若D为的中点，且，求的面积.

19.2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：

附：.

（1）根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）

（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望.

20. 如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．

（1）证明：平面平面.

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

21. 已知椭圆的焦距为，左､右焦点分别是，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.

22. 已知函数，．

（1）设函数，求的最大值；

（2）证明：．

数学答案

13. 1   14.   15.-3    16.-0.25

17.解：（1）设数列的公比为，，则.

由得，由得，

所以，解得或（舍去），

所以.

所以数列的通项公式为.

（2）由条件知，设，

则，

将以上两式相减得，

所以.

设，

则.

18.解：（1）因为，所以

在中，由正弦定理得，

即.

（2）在中，由余弦定理得……①

因为D为的中点，所以.

在中，由余弦定理得.

在中，由余弦定理得.

由得……②

联立①②可得，即，

19. 解：（1）由题得列联表如下：

没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关.

（2）解：由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.

的所有可能取值为0，1，2，3，4.

的分布列为：

.

20.（1）证明：因为圆所在的平面，即平面，

而平面，所以．

因为是圆的直径，为圆周上一点，

所以．

又，

所以平面，而平面，

则，

因为，，

所以．又，

所以，而为线段的中点，

所以．

又，

所以平面，

而平面，故平面平面．

（2）以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设，则，，，，，．

设平面的法向量为，

则令，得．

由（1）知平面的一个法向量为，

设二面角为，易知为锐角，则，

即二面角的余弦值为．

21.解：（1）由题意得，

由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上，

可知：，又，

解得：

所以椭圆的方程为：.

（2）证明：①当直线的斜率不存在时，设直线，

由题意可知，且，设，

因为直线的斜率之和为，所以，

化简得，所以直线的方程为.

②当直线的斜率存在时，

设方程为，

联立消去，化简得.

，

由题意可得，

因为直线的斜率之和为，

所以，

，

，

，

，

化简整理得，

当且仅当时，即 或且 时符合题意，

直线的方程：，即，

故直线过定点，

综上①②可得直线过定点.

22（1）解：因为，所以．

当时，；当时，．

所以在上为增函数，在上为减函数，从而．

（2）证明：原不等式等价于，

则，令，则，

所以，在上单调递增．

令，则，，

所以，存在唯一使得，即，

当时，；当时，

此时在上单调递减，在上单调递增，

要证，即要证．

于是原问题转化为证明不等式组，

由，得，代入．

对两边取对数得，代入，得．

因为，当且仅当，时，等号成立，

所以．