专题02 常用逻辑用语-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

高一上学期数学期末试卷

2022-03-26 17:11
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专题02 常用逻辑用语-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

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这是一份专题02 常用逻辑用语-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案，文件包含专题02常用逻辑用语解析版docx、专题02常用逻辑用语原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页，欢迎下载使用。

题型一：充分条件的判断
例1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(2)已知x，y∈R，p：x＝3，q：(x－3)·(x－4)＝0；
(3)已知x∈R，p：x>5，q：x>6.
变式 “a2+b2=0”是“a+b=0”的________条件．
题型二：必要条件的判断
例2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：两三角形全等，q：两三角形相似；
(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；
(3)p：a>b，q：ac2>bc2
变式指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B；
(2)p：x2>16，q：x>4.
题型三：充分条件与必要条件的应用
例3 已知M＝{x|a－1变式已知P＝{x|a－4考点1练习：
基础达标
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断
2．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．使x＞1成立的一个必要条件是( )
A．x＞0 B．x＞3 C．x＞2 D．x＜2
4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
5．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
6．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．(填“充分”或“必要”)
7．若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是__________.
8．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的________条件．(填：充分不必要、必要不充分、既充分又必要、既不充分又不必要)
9．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由．
10．分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．
(1)p：a是整数，q：a是自然数；(2)p：a是素数，q：a不是偶数．
11．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．－2＜m＜2
12．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
13．设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“eq \f(x,y)＞1”的________条件(填“充分”“必要”)．
考点2：充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
题型一：充分、必要、充要条件的的判断
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．
(1)p：x＝1，q：x－1＝eq \r(x－1)；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数．
变式指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
题型二：充分、必要、充要条件的的判断
例2 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
变式求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三：充要条件的应用
例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
变式已知当a<0时，设p：3a考点2练习：
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知p：－2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.使“x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥3或x≤－\f(1,2)))”成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤－eq \f(1,2)或x≥3
5.“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为( )
A.a＝eq \f(1,2) B.aC.a<1 D.a≥1
二、填空题
6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的________条件.
7.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的充要条件是________.
8.“a>1”是“eq \f(1,a)<1”的________条件.
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
10.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的值.
考点3：全称量词与存在量词
题型一: 全称量词命题与存在量词命题的识别
例1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
变式判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
题型二: 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
例2 判断下列命题的真假．
(1)∃x∈Z，x3<1；
(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(3)∀x∈N，x2>0.
变式试判断下列命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
题型三: 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
变式若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围．
考点3练习：
一、选择题
1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何正方形都是平行四边形.
其中全称量词命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1
C.2 D.3
3.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.04
C.a<0 D.a≥4
4.下列四个命题：
①一切实数均有相反数；②∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题
6.给出下列三个命题：
①∀x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③∃x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称量词命题是________(填序号).
7.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.
8.试判断下列全称量词命题的真假：
①∀x∈R，x2＋2>0；
②∀x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
其中真命题的个数为________.
三、解答题
9.试判断下列全称量词命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)每个二次函数都有最小值.
10.判断下列存在量词命题的真假：
(1)∃x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定
题型一: 全称量词命题的否定
例1 写出下列命题的否定．
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.
变式写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有自然数的平方都是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)对任意实数x，x2＋1≥0.
题型二: 存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；
(3)∃x，y∈Z，使得eq \r(2)x＋y＝3.
变式写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有的素数是偶数；
(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0.
题型三:全称量词命题与存在量词命题的综合应用
例3 已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．
变式已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．
考点4练习：
一、选择题
1.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A.∀x∈R，|x|＋x2<0 B.∀x∈R，|x|＋x2≤0
C.∃x∈R，|x|＋x2<0 D.∃x∈R，|x|＋x2≥0
2.下列命题中，为真命题的全称量词命题是( )
A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.∃x∈R，eq \r(x2)＝x
D.一次函数y＝kx＋b(k>0)，y随x的增大而增大
3.命题“∃x>0，x2＝x－1”的否定是( )
A.∀x>0，x2≠x－1
B.∀x≤0，x2＝x－1
C.∃x>0，x2≠x－1
D.∃x≤0，x2＝x－1
4.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在实数a，b，使ab＝0
B.有些实数x，使得|x＋1|<1
C.有些直角三角形，其中一条直角边长度是斜边长度的一半
D.有些实数x，使得x2<0
5.下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R，|x|＋1>0 B.∀x∈N*，(x－1)2>0
C.∃x∈R，|x|<1 D.∃x∈R，eq \f(1,|x|)＋1＝2
二、填空题
6.命题“任意x∈R，3x≥0”的否定是________.
解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故“任意x∈R，3x≥0”的否定是“存在x∈R，3x<0”.
答案存在x∈R，3x<0
7.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_______________________.
8.命题“每个函数都有最大值”的否定是______________.
三、解答题
9.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：∀x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：2的平方是正数；
(2)p：实数的平方都是正数；
(3)p：eq \r(a2－2a＋1)<0.
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个
存在一个、至少有一个
符号
∀
∃
命题
含有全称量词的命题是全称量词命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式
“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”
p
¬p
结论
全称量词命题∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题