专题19 函数的单调性、奇偶性、最值问题-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题19 函数的单调性、奇偶性、最值问题

1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（　　）

A.f（－5）>f（3）

B.f（－5）<f（3）

C.f（－3）>f（－5）

D.f（－3）<f（－5）

2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（　　）

A.f（－x1）>f（－x2）

B.f（－x1）＝f（－x2）

C.f（－x1）<f（－x2）

D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定

3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（　　）

A.10

B.－6

C.8

D.9

4.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f（x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是（　　）

A.1

B.2

C.3

D.4

5.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.

（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________.

（2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.

6.设定义在（－1,1）上的奇函数f（x）在[0,1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.

7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.

（1）求函数f（x）在R上的解析式；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

8.定义在R上的函数y＝f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）f（b）.

（1）求证：f（0）＝1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；

（3）求证：f（x）是R上的增函数.

9.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f（）＝f（x）－f（y）.

（1）求f（1）的值；

（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.

10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0.

（1）求f（1）的值；

（2）求证f＝f（m）－f（n）；

（3）求证f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（4）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2；

（5）比较f的大小.

11.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立.

（1）试判断f（x）的奇偶性；

（2）若f（8）＝4，求f（－）的值.

12.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）.

（1）求f（0），f（1）的值；

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论.

13.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，又f（1）＝－2.

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）求证：f（x）是R上的减函数；

（3）求f（x）在区间[－3,3]上的值域；

（4）若对任意x∈R，不等式f（ax2）－2f（x）<f（x）＋4恒成立，求a的取值范围.

14.设f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.

（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；

（2）解不等式f（x－）<f（x－）；

（3）如果g（x）＝f（x－c）和h（x）＝f（x－c2）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围.

15.已知函数f（x）是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]有>0.

（1）判断函数的单调性（不要求证明）；

（2）解不等式f<f（1－x）；

（3）若f（x）≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围.

16.已知函数f（x）＝x－.

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；

（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数；

（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围.

17.已知函数f（x）＝x2＋2.

（1）求函数f（x）的定义域和值域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；

（3）求函数f（x）在区间（－1,2]上的最大值和最小值.

18.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b均为实数），x∈R，F（x）＝

（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的解析式；

（2）在（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于零，并说明理由.

19.已知函数f（x）＝－（常数a>0）.

（1）设m·n>0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；

（2）设0<m<n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值.

20.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.

（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；

（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，

①求a的取值范围；

②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围.

21.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；

（3）在区间[－1,1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.

22.已知f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立.

（1）判断f（x）在[－1,1]上的单调性；

（2）解不等式f（x＋）<f（）；

（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.