2022届四川省广元高三一诊数学试卷及答案

这是一份2022届四川省广元高三一诊数学试卷及答案，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022届四川省广元高三一诊数学试卷及答案
一、单选题
1．设集合，则等于（       ）
A． B．
C． D．
2．i为虚数单位，若是实数，则实数b的值为（       ）
A．3 B． C． D．
3．某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（       ）

A．32 B．45 C．64 D．90
4．下列函数中为奇函数且在单调递增的是（       ）
A． B．
C． D．
5．在的展开式中，x的系数为（       ）
A．160 B．80 C． D．
6．执行如图所示的程序框图，输出（       ）


A．19 B．24 C．26 D．33
7．若，，则的值为（       ）
A． B． C．0 D．
8．已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点.且是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
9．当某种药物的浓度大于100mg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L（安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（       ）
（参考数据：，，）
A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．12小时
10．如图，在正方体中，点P是线段上的一个动点，有下列三个结论：
①面；
②；
③面面．
其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
11．已知F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线交于点M，若，则（       ）
A． B． C． D．3
12．已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知实数，满足约束条件则的最小值为______.
14．早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”，如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上任意一点，则的值为__________．

15．定义运算“★”：．设函数，给出下列四个结论：①是的最小正周期；②在有2个零点；③在上是单调递增函数；④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是__________．
16．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，，三棱锥P-ABC体积的最大值为，则当△PBC的面积最大时，线段AC的长度为__________．

三、解答题
17．第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查．某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：

入户登记
自主填报
合计
户主45岁以上

200

户主45岁及以下
240

640
合计


1000

(1)将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？
(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户．若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为，求的分布列和数学期望．
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

其中，．
18．如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.

(1)当时，求线段的值；
(2)若为正三角形，求四边形面积的最大值.
19．设，有以下三个条件：
①是2与的等差中项；②，；③为正项等比数列，，．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答（如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
若数列的前n项和为，且 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前n项和．
20．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，底面ABCD为梯形，，且，．作交AD于点H，连结AC，BD交于点F．

(1)设G是线段PH上的点，试探究：当G在什么位置时，有平面PAB；
(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值．
21．已知函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)若，求证：．
22．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，将射线绕极点逆时针旋转后得到射线.设与曲线相交于点，与曲线交于点.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若，求的值.
23．已知函数.
(1)解不等式；
(2)设的最小值为，正实数，，满足，求证：.

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
求解一元二次不等式解得集合，再求交集即可.
【详解】
因为，
又，
故可得.
故选：B.
2．A
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则对进行化简，根据其为实数，列出等量关系，即可求得结果.
【详解】
因为，
又其为实数，故可得，解得.
故选：.
3．D
【解析】
【分析】
根据近视率求出三个年级的近视的人数，结合抽样比例可得答案.
【详解】
近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，
由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
由函数的解析式对选项进行逐一判断是否为奇函数，利用导数判断其单调性可得答案.
【详解】
选项A. 函数为偶函数，故不满足题意.
选项B. 由
当时，，函数单调递减，不满足题意.
选项C. 函数为奇函数，且在上恒成立，
所以函数在上单调递增，满足题意.
选项D. ,当时，，故函数不为奇函数，不满足题意.
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
先得出其展开式的通项公式，再令的指数为1，从而得出答案.
【详解】
的展开式的通项为
令，解得
所以的展开式中，x的系数为
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
按照程序框图的流程计算出结果.
【详解】
程序运行第1次，；第2次，；
第3次，；……；
第7次，.
此时，输出，则.
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求.
【详解】
因为，，所以且，
解得，所以.
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
根据是顶角为120°的等腰三角形，建立等式，解方程可得结果.
【详解】
如图，设直线与轴的交点为，由是顶角为120°的等腰三角形，知，.

于是，在中.
而，故.
结合得，即，解得.
故选：C.
9．D
【解析】
【分析】
设小时后药物浓度为，由题意可得，两边取常用对数求解即可.
【详解】
设小时后药物浓度为
若小时后药物浓度小于100mg/L，则需再服药.
由题意可得，即
所以，则
所以
所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适
故选：D
10．A
【解析】
【分析】
对于①. 先证明平面平面即可判断；对于②.先证明平面即可判断；对于③.由②有平面从而可判断.
【详解】
对于①. 在正方体连结
可得，又平面,平面, 所以平面
,又平面,平面, 所以平面
又，所以平面平面
又平面，所以面，故①正确.

对于②. 连结
在正方体中，平面，则
又,且，所以平面
而平面,所以
又, 平面,平面,则
由，所以平面
而平面，所以,有
所以平面,平面,所以，故②正确.

对于③. 由②可知平面，又平面
所以面面，即面面，故③正确.
故选：A

11．B
【解析】
【分析】
过点作准线的垂线交于点，则，过点作准线的垂线交于点，则，利用三角形相似即可求解．
【详解】
解：如图，过点作准线的垂线交于点，由抛物线的定义有，过点作准线的垂线交于点，则，
，，
根据，可得，
．，即，
，

故选：B．
12．A
【解析】
【分析】
利用导数分段画出函数的大致图象，将函数
与的图象恰有5个不同公共点的问题转化为方程有5个不同的根的问题，然后采用换元法将问题变为讨论在给定区间上有解的问题.
【详解】
当 时， ，，
当时，，当时，，
故时， ；
当时， ，
当时，有极大值，当时，，
作出的大致图象如图：

函数与的图象恰有5个不同公共点，
即方程有5个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论有解情况如下：
令,
(1当 在和上各有一个解时，
即 ，解得 ，
（2）当在和上各有一个解时，
，解得，
（3）当有一个根为6时，解得，此时另一个根为 ，不合题意；
（4）当有一个根为1时，解得，此时另一个根也为1，不合题意，
综上可知：，
故选：A
13．
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，结合的几何意义可求最值.
【详解】
根据约束条件的不等式组，作出可行域是以，，三点为顶点的三角形及其内部，如图：

将目标函数转化为，
当直线过点时，取得最小值，最小值为-4.
故答案为：
14．16
【解析】
【分析】
根据数量积的几何意义，即可求得结果.
【详解】
因为.
故答案为：16.
15．①②
【解析】
【分析】
①：先化简得到，故由求出最小正周期；②：求出时或；③：整体法求解函数单调区间，进而作出判断；④：根据左加右减求出解析式，作出判断.
【详解】
，故是的最小正周期，①正确；
，，故在或时，即或时，故在有2个零点，②正确；
，，此时在上单调递增，在上单调递减，故③错误；
的图象向右平移个单位长度得到，故④错误.
故选：①②
16．
【解析】
【分析】
根据题意，设，则，可知当面积最大，即时，三棱锥体积的最大值为，根据三棱锥的体积公式进行计算求出，由圆的性质可知，由线面垂直的性质得出，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而有，根据勾股定理求出，再由三角形面积和基本不等式得出，即得出的面积最大值，当且仅当时等号成立，从而可求出此时线段的长度.
【详解】
解：设，则，，由平面，，
，则当面积最大时，三棱锥体积最大
由圆的性质可知当时，的面积最大，此时三棱锥体积的最大值为，
所以，解得：，
由是的直径知，即，
而平面，平面,所以
又，所以平面，平面, 所以，
则，
故，
当且仅当时等号成立，
此时，.
故答案为：.

17．(1)表格见解析，有；
(2)分布列见解析，2.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，补充列联表，根据参考公式求得，即可判断；
（2）求出随机变量的取值，以及对应的概率，写出分布列，再求数学期望即可.
(1)
补充后的列联表为：

入户登记
自主填报
合计
户主45岁以上
160
200
360
户主45岁及以下
240
400
640
合计
400
600
1000

，
因此，有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系．
(2)
这6户中户主45岁以上2户，45岁及以下4户，则的可能值为1，2，3，
则，，．
的分布列为

1
2
3
P




所以，的数学期望．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据条件利用余弦定理可得答案；
（2）设，用表示出四边形的面积，结合三角函数知识化简求解最值.
(1)
在中，由余弦定理得：

.
所以.
(2)
设，所以，
则

.
所以当时，四边形的面积取得最大值.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)选①由条件可得，估计可求数列的通项公式；选②由条件结合求数列的通项公式；选③根据等比数列通项公式可求数列的通项公式；(2)由(1)可得，结合已知求数列的通项公式，利用错位相减法求其前项和.
(1)
若选择①：因为是2与的等差中项，所以，
当时，解得．
当时，由，，
两式相减得，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
若选择②，由，，则，，
两式相减得，
又因为，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
若选择③，设正项等比数列的公比为，
则，
解得或（舍去）
所以数列的通项公式为．
(2)
因为是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以．
由（1）知，所以．
所以①
在①的等式两边同乘以，得
②
由①②等式两边相减，得

，
所以数列的前n项和．
20．(1)当点G是线段PH．上靠近点H的三等分点时，有平面PAB
(2)
【解析】
【分析】
（1）取线段AD靠近点A的三等分点M，取线段PD靠近点P的三等分点N，连结MN交PH于点G，根三角形相似可得以，，从而可证明平面面，从而得出答案.
(2) 由条件可得面ACD．则，，以H为坐标原点，可建立空间直角坐标系，利用向量方法可求解.
(1)
当点G是线段PH上靠近点H的三等分点时，有平面PAB．
证明：取线段AD靠近点A的三等分点M，取线段PD靠近点P的三等分点N，连结MN交PH于点G．

由底面ABCD为梯形，，，
所以△ABF∽△CDF，则．
又，所以，．
而面PAB，面PAB，
则面PAB，面PAB．
又，
所以平面面．又平面MNF，
所以平面PAB．
(2)
因为，，即△PAD为正三角形．．
又，，所以△ADC为正三角形．
所以．
由平面平面ABCD，，平面PAD，平面平面，
得面ACD．
所以，．
于是，以H为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系H-xyz．

则点H，P，C，B的坐标依次为：，，，．
所以，．
设面PBC的一个法向量为，
由,得，
令可得，，即．
面PAD的一个法向量为，
设面PAD与面PBC所成二面角的平面角为，则
，．
故平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值为．
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将问题转化为研究函数在的零点个数，根据分类讨论即可；
（2）将问题转化为，然后分别求最值，最后再作差比较即可证明.
(1)
由题意（其中），
只需考虑函数在的零点个数．
①当时，函数在内没有零点，
②当时，函数在单调递增，
取时，，时，，
此时在存在唯一个零点，且．
③当时，，则时，；时，．
所以在上单调递减，在上单调递增.
则是函数在上唯一的极小值点，且．
取时，，取时，.
因此：
若，即时，没有零点；
若，即时，有唯一个零点；
若，即时，有且仅有两个零点．
综上所述，时，有两个零点；或时，有唯一个零点；时，没有零点．
(2)
不等式即为（其中），
先证时，．
令，则，则单调递增，
所以，则．
所以，故只需证明即可．
即证明（其中），
令，，只需证明即可．
又，，则时，；时，．
所以在上单调递增，在上单调递减.
则时，取得极大值，且，也即为最大值．
由
得．
则时，；时，．
所以在上单调递减，在上单调递增.
则时，取得极小值，且，也即为最小值．
由于
，
即有，则，
所以时，不等式成立，则不等式也成立．
【关键点点睛】解决第（1）问的关键是将问题转化，然后再分类讨论；解决第（2）问的关键一是通过放缩转化问题，二是转化为研究两个函数的最值问题.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由曲线的参数方程消去得其普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式化为极坐标方程，
（2）设，，则由可得，从而可得，再利用三角函数恒等变换公式可求得答案
(1)
由曲线的参数方程消去得其普通方程为.
将，代入上述方程得，
即.
所以，曲线的极坐标方程为.
(2)
设，
由（1）可知，，，
而，即，
即.
于是，
即，变形可得.
所以，
即，，则.
又，则，所以，即.
23．(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）分类讨论的方法求绝对值不等式的解集.
（2）分类讨论求出的最小值，可得，再应用基本不等式证明不等式，注意等号成立条件.
(1)
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
综上，原不等式解集为.
(2)
由（1）知：时，；时，；
时，.
∴的最小值为，则.
，当且仅当，取等号.
∴.