2022版高考辅导重难突破微专题(一) 三角函数及解三角形与其他知识的交汇问题

      重难突破微专题(一)三角函数及解三角形与其他知识的交汇问题一、解三角形与数列问题的交汇【典例1】在△ABC中，若，，依次成等差数列，则(　　)A．a，b，c依次成等差数列B．，，依次成等比数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a2，b2，c2依次成等比数列【思维通关】关键点正弦定理及余弦定理的应用障碍点应用正弦定理及余弦定理把三角形中的角关系转化为边关系易错点三角形中的三角恒等变换容易出错【解析】选C.由，，依次成等差数列可得＋＝，即＋＝，＝＝＝，所以sin2 B＝2cos B sin A sin C.由正弦定理和余弦定理可得b2＝2ac·，即2b2＝a2＋c2，所以a2，b2，c2依次成等差数列．解三角形与数列问题的交汇问题，要充分利用三角形中的边角关系及正、余弦定理解题；三角函数与数列问题的交汇问题，要结合三角函数的有界性和周期性给予解答．　设an＝sin ，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)A．25    B．50    C．75    D．100【解析】选D.当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn>0.二、三角函数与方程的交汇【典例2】已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝cos x，如果关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为(　　)A．π    B．π    C．π    D．3π【思维通关】关键点正确画出函数y＝f(x)在区间上的图象障碍点根据数形结合的思想将方程f(x)＝a有解转化为两个函数图象的交点问题易错点画函数y＝f(x)在区间上的图象出现错误【解析】选A.依题意作出函数f(x)在区间[0，]上的简图，当直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点时，方程f(x)＝a有解，所以－1≤a≤0.①当－＜a≤0时，f(x)＝a有2个解，此时S＝.②当a＝－时，f(x)＝a有3个解，此时S＝＋＝.③当－1＜a＜－时，f(x)＝a有4个解，此时S＝2×＝3π.④当a＝－1时，f(x)＝a有2个解，此时S＝.　三角函数与方程的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质，利用数形结合思想求解．　设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)A．(0，1)    B．[1，2]C．(0，1]    D．(1，2)【解析】选A.画出函数f(x)在[0，2π]上的图象，如图所示：若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f(x)和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0<m<1.三、解三角形与不等式的交汇【典例3】(1)(2021·柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2c cos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为(　　)A．2＋      B．2＋C．3        D．3＋【解析】选A.方法一：由题意可得，sin B＋2sin C cos A＝0，即sin (A＋C)＋2sin C cos A＝0，得sin A cos C＝－3sin C cos A，即tan A＝－3tan C．又cos A＝－<0，所以A为钝角，于是tan C>0.从而tan B＝－tan (A＋C)＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tan C≥2＝2，当且仅当tan C＝时等号成立，此时角B取得最大值，且tan B＝tan C＝，tan A＝－，即b＝c，A＝120°，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.方法二：由已知b＋2c cos A＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.(2)(2021·呼和浩特一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为______．【解析】因为＝，所以＝(2c－b)，由正弦定理得sin B sin A cos B＝(2sin C－sin B)sin B cos A，又sin B≠0，所以sin A cos B＝(2sin C－sin B)cos A，所以sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos A，sin (A＋B)＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，又sin C≠0，所以cos A＝，sin A＝.设外接圆的半径为r，则r＝1，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.当且仅当b＝c时，等号成立，又因为a＝2r sin A＝，所以bc≤3，所以S△ABC＝bc sin A＝bc≤.答案：【思维通关】关键点三角恒等变换、正弦定理的应用障碍点应用正弦定理把边关系化为角关系得tan A＝－3tan C，再由tan B＝－tan (A＋C)转化为关于tan C的式子，再利用基本不等式求解易错点不会利用cos A＝－<0判断tan C>0.解三角形与不等式的交汇问题，要充分利用正、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的有关知识求解．　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，若b＝，________．请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答．条件：①a sin ＝b sin A，②b sin A＝a cos ，③a2＋c2－b2＝ab cos A＋a2cos B.结论：①求△ABC的周长的取值范围．②求△ABC的面积的最大值．【解析】选条件①，则由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.由A＋B＋C＝π，可得sin ＝cos ，故cos ＝sin B＝2sin cos .因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝.选择条件②，则在△ABC中，由正弦定理＝，可得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos ，所以a sin B＝a cos ，即sin B＝cos ，所以sin B＝cos B＋sin B，可得tan B＝.又B∈(0，π)，所以B＝.选择条件③，因为a2＋c2－b2＝ab cos A＋a2cos B，所以由余弦定理，得2ac cos B＝ab cos A＋a2cos B，又a≠0，所以2c cos B＝b cos A＋a cos B.由正弦定理得2sin C cos B＝sin B cos A＋sin A cos B＝sin (A＋B)＝sin C，又C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以cos B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.选择结论①，因为b＝，所以由余弦定理得13＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝13＋3ac≤13＋3，解得a＋c≤2(当且仅当a＝c＝时，等号成立).又a＋c＞b＝，所以2＜a＋c＋b≤3，故△ABC的周长的取值范围为(2，3].选择结论②，因为b＝，所以由余弦定理得13＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝时，等号成立).所以△ABC的面积S＝ac sin B≤×＝，即△ABC的面积的最大值为.四、解三角形与平面向量的交汇【典例4】(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝(a，cos )，n＝(b，cos )，p＝(c，cos )共线，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解析】选A.因为向量m＝(a，cos )，n＝(b，cos )共线，所以a cos ＝b cos .由正弦定理得sin A cos ＝sin B cos .所以2sin cos cos ＝2sin cos cos .则sin ＝sin .因为0<<，0<<，所以＝，即A＝B.同理可得B＝C.所以△ABC的形状为等边三角形．(2)若△ABC的面积为，·＝2，则△ABC外接圆面积的最小值为(　　)A．π　　　B．　　　C．2π　　　D．【解析】选B.设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由题意可得bc sin A＝，bc cos A＝2，所以tan A＝.又A∈(0，π)，所以A＝.所以bc cos ＝2，即bc＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc≥bc＝4，即a≥2.又由正弦定理得＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，所以2R sin A＝a≥2，即R≥2，所以R2≥，所以三角形外接圆面积的最小值为.平面向量的数量积运算涉及向量的模和夹角，其与三角形中的面积公式、余弦定理交汇，求解此类问题的关键是熟知其内在的联系，同时借助同角三角函数的关系这一媒介解题．　在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若|－|＝3，·＝6，则△ABC面积的最大值为________．【解析】因为|－|＝3，所以|AB|＝3，又因为·＝6，所以ab cos C＝6，所以cos C＝，由余弦定理得9＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－12≥2ab－12.所以ab≤.所以S＝ab sin C＝ab＝ab＝＝≤＝.故面积的最大值为.答案：五、解三角形与平面几何交汇【典例5】(2021·拉萨二模)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝，∠ABC＝，∠ACD＝.(1)求sin ∠BAC；(2)求DC的长．【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝BC2＋BA2－2BC·BA cos B，即BC2＋BC－6＝0，解得BC＝2或BC＝－3(舍)，由正弦定理得：＝⇒sin ∠BAC＝＝.(2)由(1)有：cos ∠CAD＝sin ∠BAC＝，sin ∠CAD＝＝，所以sin D＝sin (∠CAD＋)＝×＋×＝.由正弦定理得：＝⇒DC＝＝＝.求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．　(2021·大连二模)如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则四边形ABCD的面积为________．【解析】如图所示，连接BD，因为ABCD为圆内接四边形，所以A＋C＝180°，则cos A＝－cos C，利用余弦定理得cos A＝，cos C＝，解得BD2＝，所以cos C＝－.由sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝，因为A＋C＝180°，所以sin A＝sin C＝，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×5×6×＋×3×4×＝6.答案：6