第二篇专题一第1课时三角函数的图象与性质 2022版高考数学复习讲义

  2课时突破　三角函数及解三角形高考小题第1课时　三角函数的图象与性质三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系式1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在(　　)A．第一象限    B．第二象限C．第三象限    D．第四象限【解析】选B.由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，又sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知a＝tan (－)，b＝cos ()，c＝sin (－)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>b>c    B．b>a>cC．b>c>a    D．a>c>b【解析】选B.由已知，得a＝tan (－π－)＝－tan ＝－，b＝cos (6π－)＝cos ＝，c＝sin (－8π－)＝－sin ＝－，因而b>a>c.3.(2021·成都二模)设点O为坐标原点，角θ1，θ2，θ3，…，θ60的始边与x轴非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边上分别有一点P1，P2，P3，…，P60，若OPk＝(sin(30°－k°)，sin(60°＋k°))(1≤k≤60，k∈N*)，则cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ60＝(　　)A．－    B．－    C．    D．【思维通关】关键点利用三角函数的诱导公式化简sin(60°＋k°)障碍点利用三角函数的定义对cos θk＝sin(30°－k°)进行转化易错点诱导公式应用错误【解析】选A.因为＝(sin(30°－k°)，sin(60°＋k°))(1≤k≤60，k∈N*)，所以Pk(sin(30°－k°)，sin(60°＋k°))是射线OPk上的点，sin (60°＋k°)＝sin [90°－(30°－k°)]＝cos(30°－k°)，sin2(30°－k°)＋cos2(30°－k°)＝1，所以cosθk＝sin(30°－k°)，所以cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ60＝sin 29°＋sin 28°＋…＋sin 0°＋sin(－1°)＋…＋sin(－30°)＝sin 29°＋sin 28°＋…＋sin 1°＋0－sin 1°－…－sin 29°－sin 30°＝－.4．已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈(，π)，则tan α＝________．【解析】因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈(，π)，所以＋8＝0，整理可得3 cos2α－8cosα－3＝0，解得cos α＝－或cos α＝3(舍去).所以sin α＝＝.所以tan α＝＝－2.答案：－2若本题的条件改为“＝2，α∈(，π)”，则tan α＝________．【解析】因为＝2，所以sin α＝2＋2cos α.两边平方，得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α，即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α，整理得，5cos2α＋8cos α＋3＝0，解得cos α＝－1或cos α＝－.当cos α＝－1时，1＋cos α＝0，无意义；当cos α＝－时，sin α＝，所以tan α＝＝－.答案：－　利用诱导公式进行化简求值的步骤利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．提醒：“奇变偶不变，符号看象限”．三角函数的图象1．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图象，则f(x)＝(　　)A．sin     B．sin C．sin     D．sin 【解析】选B.逆向：y＝sin y＝sin y＝sin .2．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)A．3π和    B．3π和2C．6π和    D．6π和2【解析】选C.由f(x)＝sin ＋cos 可得f(x)＝sin ，故周期为T＝＝＝6π，最大值为.3.(多选题)(2020·新高考全国Ⅱ卷)下图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图像，则sin (ωx＋φ)＝(　　)A．sin (x＋)B．sin (－2x)C．cos (2x＋)D．cos (－2x)【思维通关】关键点根据图象上的特殊点求出函数解析式障碍点确定ω和φ的值易错点求φ值容易出错【解析】选BC.由函数图象可知：＝π－＝，则ω＝＝＝2，所以不选A，当x＝＝时，y＝－1所以2×＋φ＝＋2kπ，解得：φ＝2kπ＋π，即函数的解析式为：y＝sin ＝sin (2x＋＋)＝cos ＝sin .而cos ＝－cos (－2x).4．将函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为(　　)A．y＝2sin (2x＋)B．y＝2sin (2x＋)C．y＝2sin (2x－)D．y＝2sin (2x－)【解析】选D.由函数f(x)＝2sin (2x＋)得周期T＝＝π.将函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象向右平移个周期，即将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得y＝f(x－)＝2sin [2(x－)＋]＝2sin (2x－).本题条件不变，将函数f(x)的图象平移后所得图象再向右平移θ(θ＞0)个单位长度，可得函数g(x)的图象．若y＝g(x)的图象关于y轴对称，则θ的最小值为________．【解析】由y＝2sin (2x－)得g(x)＝2sin (2x－2θ－).又y＝g(x)的图象关于y轴对称，则－2θ－＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝－－.又θ＞0，所以k＜－，即当k＝－1时，θmin＝.答案：1．由“图”定“式”找“对应”的方法由三角函数的图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．2．关于三角函数的图象变换的方法 沿x轴沿y轴平移变换由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移伸缩变换由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍三角函数的性质　1.(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)A．       B．C．       D．【思维通关】关键点根据函数解析式研究函数的性质，熟悉一些常见三角曲线的性质障碍点利用整体思想研究三角函数的单调性和赋值法易错点三角函数单调性的范围出现错误【解析】选A.当x－∈时，函数单调递增，即x∈，k∈Z，故A正确．2.已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点(，0)对称，且f(x)在上为增函数，则ω＝(　　)A．    B．3    C．    D．6【思维通关】关键点解答本题需要熟悉正弦函数的性质障碍点根据函数f(x)＝sin ωx的图象关于点(，0)对称，不能正确列出π＝kπ(k∈Z)易错点f(x)在上为增函数，根据性质不能列出关于ω的不等式关系【解析】选A.因为函数f(x)＝sin ωx的图象关于(，0)对称，所以π＝kπ(k∈Z)，即ω＝k(k∈Z).①又函数f(x)＝sin ωx在区间上是增函数，所以≤且ω>0，所以0<ω≤2.②由①②得ω＝.3．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)A．    B．    C．    D．π【解析】选C.方法一：因为f(x)＝cos x－sin x＝－sin ，所以当x－∈，即x∈[－，]时，y＝sin (x－)单调递增，f(x)＝－sin (x－)单调递减，所以是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆，所以a≤，即amax＝.方法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin (x＋).于是，由题设得f′(x)≤0，即sin (x＋)≥0在区间[0，a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋∈(，a＋)，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.1．求三角函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．1．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4【解析】选B.因为f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，所以f(x)的最小正周期为π，最大值为4.2．若函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于(，0)中心对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)A．－1    B．－    C．－    D．－【解析】选B.f(x)＝2sin (2x＋θ＋)，又图象关于(，0)中心对称，所以2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，所以θ＝kπ－(k∈Z)，又0<θ<π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，因为x∈，所以2x∈，f(x)∈[－，2]，所以f(x)的最小值是－.3．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)A．f(x)在(0，)上单调递减B．f(x)在(，)上单调递增C．f(x)在(0，)上单调递增D．f(x)在(，)上单调递减【解析】选D.因为f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)＝2sin (ωx＋φ＋)的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝2.因为f(－x)＝f(x)，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以2×＋φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin (2x＋).当x∈(0，)时，2x＋∈(，)，f(x)先增后减，当x∈(，)时，2x＋∈(，)，f(x)单调递减．