2020届山东省日照高三二模数学试卷及答案

数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推.例如3266用算筹表示就是则7239用算筹可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

4．设m，n为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

5．设是等差数列.下列结论中正确的是（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

6．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（    ）

A．1 B． C．4 D．16

【答案】C

7．已知函数，若恒成立，则实数m的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

8．已知函数，若方程的解为，（），则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

二、多选题

9．某商场一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

B．支出最高值与支出最低值的比是

C．第三季度平均收入为60万元

D．利润最高的月份是2月份

【答案】AB

10．如图，在长方体中，，，M，N分别为棱，的中点，则（    ）

A．A、M、N、B四点共面

B．平面平面

C．直线与所成角的为60°

D．平面

【答案】BC

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是周期为的奇函数 B．在上为增函数

C．在内有21个极值点 D．在上恒成立的充要条件是

【答案】BD

12．若实数x，y满足则下列关系式中可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

三、填空题

13．过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为_________.

【答案】

14．某学校在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师各至少一名，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）.

【答案】

15．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为______________.

【答案】

四、双空题

16．设函数，点（），为坐标原点，设向量，若向量，且是与的夹角，记为数列的前n项和，则_________，__________.

【答案】       

五、解答题

17．已知数列满足，，设.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【详解】

方法一：（1）因为且，

所以，

又因为，

所以是以2为首项，以2为公差的等差数列.

所以.

（2）由（1）及题设得，，

所以数列的前项和

.

方法二：（1）因为，所以，

又因为，

所以，

即，

又因为，

所以是以2为首项，以2为公差的等差数列.

所以.

（2）略，同方法一.

18．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_________，，.

（1）求角B；

（2）求的面积.

【答案】（1）（2）

【详解】

若选择①，

（1）由余弦定理

因为，所以

（2）由正弦定理得，

因为，所以

所以，

所以.

若选择②

（1）由正弦定理得

因为，所以，

因为，所以；

（2）同上

若选择③

（1）由和角公式得，所以.

因为，所以,

所以，所以；

（2）同上.

19．如图所示的四棱锥中，底面为矩形，平面，，M，N分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【详解】

（1）证明：取中点E，连接，，

因为M，N，E分别为，，的中点，

，，

所以是平行四边形，故，

因为，所以

又因为，，

，所以平面.

因为，E为中点，所以，

所以，

所以；.

（2）因为，所以为在平面内的射影，

所以即为直线与平面所成的角，

则，即，   

因为，，

分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，则，，

设平面的法向量，

则，即，取，则，，即，

取平面的法向量，   

所以，

由图可知，二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

20．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如下表

（1）观察数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）；

（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年6月份的市场占有率；

（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车投入市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲、乙两款车型，报废年限不相同.考虑到公司的经济效益，该公司决定先对这两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命统计如下表：

经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？

参考数据：，，，.

参考公式，相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】（1）见解析（2）；2（3）选择乙款车型

【详解】

（1）由参考数据可得，接近1，

∴y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合：

（2）∵，，

，，

∴y关于x的线性回归方程为.   

2020年6月份代码，代入线性回归方程得，于是2020年6月份的市场占有率预报值为2

（3）用频率估计概率，甲款单车的利润X的分布列为

（元）.   

乙款单车的利润Y的分布列为

（元），

以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型.

21．在平面直角坐标系中，抛物线C：（）的焦点为

（1）动直线l过F点且与抛物线C交于M，N两点，点M在y轴的左侧，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为M1，点E在上，且满足连接并延长交y轴于点D，的面积为，求抛物线C的方程及D点的纵坐标；

（2）点H为抛物线C准线上任一点，过H作抛物线C的两条切线,，切点为A，B，证明直线过定点，并求面积的最小值.

【答案】（1）；（0，4）（2）证明见解析，面积最小值为4

【详解】

（1）因为，所以抛物线C：，

设，

因为，，，

所以，，

又因为，，推出，

M在抛物线C上，，

解得，故 D（0,4）

（2）设点，，.

由C：，

即，得，

所以抛物线C：在点处的切线的方程为，

即，

因为，，

因为在切线上，

所以①

同理②；

综合①②得，点，的坐标满足方程，

即直线恒过抛物线焦点.   

当时，此时，可知，

当时，此时直线的斜率为，得，

于是，而，

把直线代入C：中，消去x得，，

即，

当时，最小，且最小值为4.

22．已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若，对恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，设.若正实数，满足，，，证明：.

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）证明见解析

【详解】

（1）由题意知：定义域为，，

令，则，

①当时，，即恒成立，

函数的单调递增区间为；无单调递减区间；

②当时，令，

解得：，，可知，

当和时，，即；

当时，，即；

的单调递增区间为，；单调递减区间为；

综上所述：①当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

②当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（2）对恒成立，即为对任意的，都有，

设，则，

令，则，

∴在上单调递减，又，

∴当时，，即，单调递增；

当，，即，单调递减，

∴，

∴实数的取值范围为.

（3）证明：当时，，

不妨设，以为变量，令，

则

且，

，即，又为增函数，

；

，，在上单调递增，

，，

即.