03基本不等式 高考数学高频考点题型含解析

这是一份03基本不等式 高考数学高频考点题型含解析，共22页。试卷主要包含了关键能力，教学建议，自主先学，高频考点+重点题型，基本不等式功能，比较式的大小等内容，欢迎下载使用。

探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大(小)值问题，利用不等式求最值的方法较多，要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择合适大的运算方法，设计合理运算程序，并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果，培养学生的数学运算能力．
二、教学建议
基本不等式是解决问题的基本工具。强化推理证明和不等式的应用意识．从新高考的命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
三、自主先学
1．基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：．
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数的几何平均数．
若时, ,当且仅当时等号成
2．几个重要的不等式
(1)重要不等式：．当且仅当时取等号．
(2，当且仅当时取等号．
(3，当且仅当时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知，则
(1)如果积是定值，那么当且仅当时， 有最小值是 (简记：积定和最小)．
(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是 (简记：和定积最大)．
四、高频考点+重点题型
考点一、基本不等式求最值（消元法）
1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知，，则的（ ）
A．最大值是B．最大值是
C．最小值是D．最小值是
【答案】B
【详解】
因为，所以，
所以，等号成立当且仅当.
故选：B.
2．（2021·浙江宁波市·高三二模）已知正数，满足，当______时，取到最大值为______．
【答案】
【详解】
,当且仅当时取等号，
∴当且仅当时，取到最大值，
故答案为：；.
3.设为正实数，满足，则的最小值是
答案：3
解析：消
考点二、基本不等式求最值（“1”的活用）
1．（2021·重庆高三其他模拟）已知，，，则的最小值为（ ）
A．9B．5C．D．
【答案】C
【详解】
，所以.
2．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学高三其他模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．25B．18C．16D．8
【答案】C
【详解】
，则，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
3．（多选）（2021·福建三明市·高三三模）已知，，且，则可能取的值有（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】BCD
解：因为，，且，
所以
，当且仅当，即取等号，
故选：BCD
4．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知正数a，b满足，则的最小值是___________.
【答案】3
解：因为正数a，b满足，
则，
当且仅当且即时取等号，
此时的最小值3.
故答案为：3.
5．（2021·上海嘉定区·高三二模）已知正数满足，则的最小值为___________．
【答案】
【详解】
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，且，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】
，，且，
当且仅当，且，
即，时取等号，
的最小值为.
故答案为:.
考点三、基本不等式求最值（配凑积、和）
1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】CD
【详解】
由xy﹣2x＝y，知，
则
当且仅当，时，等号成立，
从选项可知，CD满足条件，
故选：CD
2．（2021·宁波中学高三其他模拟）若实数、满足，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】
，即，
则
，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为，
故答案为：.
3．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数满足，则的最小值是________．
【答案】
【详解】
由已知得，，则，，
因为，所以，，
因此，
当且仅当，即，即时，等号成立；
所以的最小值是.
故答案为：.
4．（2021·天津高三二模）已知，且，则的最小值是___________.
【答案】4
【详解】
解：，
，又
（当且仅当时等号成立）.
的最小值为4.
故答案为：4.
考点四、多次使用基本不等式
1．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知都为正实数，则的最小值为___________．
【答案】
【详解】
，因为都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当时，取最小值为.
故答案为：
3．（2021·天津和平区·耀华中学高三二模）设，那么的最小值是___________.
【答案】8
【详解】因为，则.
所以，当且仅当，即时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立.
故当时，有最小值8.
故答案为：8.
4．（2021·全国高三其他模拟）已知，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】
因为，所以，，

当且仅当 即，时等号成立，
故答案为：
考点五、基本不等式功能：创建不等关系
1．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数，满足，则的最大值等于______．
【答案】1
【详解】
正实数，满足，即，
∴（当且仅当时，取等号），
∴，即，
则的最大值等于1，
故答案为：1．
2.已知，则的取值范围是
答案：
解析：变
3.已知实数满足，则的最大值为
答案：4
解析：移项，平方，变
4.已知，则的取值范围是
答案：
解析：利用与不等关系，创建的不等式
考点六、比较式的大小
1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知，，，且，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】BCD
【详解】
对于A，当时不成立；
对于B，由得，所以，故B正确；
对于C，，当且仅当，即，时等号成立，
故C正确；
对于D，因为，所以，所以，
故D正确．
故选：BCD．
2．（多选）（2021·全国高三二模）已知正数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】
因为正数，满足，所以，且，，
所以，对于A选项，又可得，
所以，即，故B正确；当时，
，故C错误；因为，所以，
所以，故D正确，所以选ABD.
3．（多选）（2021·江苏南通市·高三其他模拟）若非负实数、满足，则下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】
对于A选项，利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，
所以，，当且仅当时，等号成立，B选项正确；
对于C选项，，即，
当且仅当时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，，由可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：ABD.
4．（多选）（2021·江苏南通市·高三一模）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】
对于A，因为，所以，
从而，正确.
对于B，因为，所以，解得，
所以，正确.
对于C，令()，，在为增函数，
所以在上单调递增，从而，即，错误.
对于D，因为，所以，正确.
故选：ABD
5．（多选）（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知，，且，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】ACD
【详解】对A，由，，且可得，
则，
，，又，，即，故A正确；
对B，令，则，故B错误；
对C，，当且仅当时等号成立，故C正确；
对D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：ACD.
6．（多选）（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三其他模拟）已知，且，则下列不等式正确的（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】因为，
，当且仅当时等号成立，所以，A正确；
由得，，同理，
，当且仅当，即时等号成立，B正确；
满足题意，但，C错；
由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．
故选：ABD
达标测试
一、单项选择题
1．不等式x2＋xA．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2,1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
答案：C
解析：根据题意，由于不等式x2＋x2．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
答案：B
解析：因为a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2.又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥2eq \r(2xy)，当且仅当x＝eq \f(1,2)，y＝1时等号成立，即2eq \r(2xy)≤2，所以xy≤eq \f(1,2)，所以当且仅当x＝eq \f(1,2)，y＝1时，xy取到最大值，最大值为eq \f(1,2).故选B.
3．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则eq \f(xy,2x＋y)的最大值为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,5)
C．eq \f(1,9) D．eq \f(1,12)
答案：C
解析：eq \f(2x＋y,xy)＝eq \f(2,y)＋eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,y)＋\f(1,x)))(x＋2y)＝5＋eq \f(2y,x)＋eq \f(2x,y)≥5＋2eq \r(\f(2y,x)·\f(2x,y))＝9，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2y,x)＝\f(2x,y)，,x＋2y＝1，))即x＝y＝eq \f(1,3)时取等号，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xy,2x＋y)))max＝eq \f(1,9).
4．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知，，，，且，则下列不等式中，成立的个数有①，②，③，④（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】因，，，，且，于是有：
，当且仅当时取“=”，①正确；
，当且仅当时取“=”，②正确；
时成立，而，③不正确；
，当且仅当时取“=”，而，④正确，
综上得：①②④共三个正确.
故选：C
二、多项选择题
5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）当，时，下列不等式中恒成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】对于A，当且仅当时取等号，正确.
对于B，，当且仅当时取等号，正确.
对于C，，当且仅当时取等号，错误.
对于D，，当且仅当时取等号，正确.
故选：ABD
三、填空题
6．若正数满足，则的最大值是________．
答案：
解析：由，得 (当且仅当时等号成立)，∴，即，∴的最大值为．
7．已知，若实数满足，则的最小值是 ．
答案： 7
解析：由已知条件可得 ．
法一：由得,则
．
当且仅当，即时，等号成立．
法二：注意到与待求式之间的关系，
有，
当且仅当，
即，时，等号成立．
四、解答题
8．运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时元．
(1)求这次行车总费用关于的表达式；
(2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解析： (1)设所用时间为，
．
所以，这次行车总费用关于的表达式是．
(或)．
(2) ，
当且仅当，
即，等号成立．
故当千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．