2022届山西省晋中市高三3月普通高等学校招生模拟考试（二模）数学试题含答案

绝密★启用前

试卷类型：A

晋中市2022年3月普通高等学校招生模拟考试

数学试题（理科）

（时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校，姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应的位置.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.记全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是

A.   B.   C.   D.

2.设复数，则复数的共轭复数等于

A.   B.   C.   D.

3.志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者全面上岗服务，现有5名志愿者要安排到4个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有

A.90种   B.120种   C.180种   D.240种

4.已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是

A.   B.   C.   D.

5.设随机变量服从正态分布，若，则等于

A.1   B.2   C.3   D.4

6.函数的图象大致是

A.   B.

C.   D.

7.已知，，则等于

A.1   B.   C.   D.2或6

8.某班同学在一次化学实验中发现，某化学固体溶于水时，水中未溶解固体的质量M（单位：克）与放入水中的时间t（单位：分钟）满足以下关系：（为常数），若把9克的该化学固体放入水中t分钟后变成3克，则t约为（取，）

A.6分钟   B.5分钟   C.4分钟   D.3分钟

9.已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为

A.   B.   C.   D.

10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，平面内一点满足，的面积为，点为线段的中点，直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为

A.   B.或   C.   D.2

11.已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度﹐所得的图象关于轴对称，则的值可能为

A.   B.   C.   D.

12.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是

A.   B.    C.    D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________.

14.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________.

15.在平行四边形中，已知，，，，，则__________.

16.如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为夹角为120°的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客上、下点M，N，从观景台Р到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为_____________千米.

三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题是必考题，每个考生都必须作答.第22、23题是选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）·

已知等比数列是各项均为正数的递增数列，，，成等差数列，且满足；

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，，，为的中点.

（1）求证：，并且求三棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

某工厂生产一种产品，由第一、第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：

表一

表二

（1）用（万元）表示一件产品的利润，求的分布列和均值；

（2）工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少工万元）时，第二工序加工结果为A级的概率增加.问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响?并说明理由.

20.（本小题满分12分）

已知：的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且，是否存在定圆E，使得直线与圆E相切?若不存在，说明理由，若存在，求出圆E的方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）设.

①当时，讨论函数在上的单调性；

②在其定义域内有两个不同的极值点，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标万程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）直线与曲线交于，两点，设点，求的值.

23.[选修4—5：不等式选讲]

已知函数.

（1）求的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围.

晋中市2022年3月普通高等学校招生模拟考试

数学答案（理科）

1.D[由题图知，阴影部分所表示的集合是，∵，，∴，故，故选D.]

2.A[因为，所以，故选A.]

3.D[由题意可知，其中有两位志愿者要被安排到同一服务站点，先选出2名志愿者作为一个整体，然后看作4个不同的元素安排到4个服务站点，即，故选D.]

4.D[因为是的充分不必要条件，所以，即，故选D.]

5.A[根据正态分布密度函数的图形特征，其图象关于直线对称，又因为，所以有，解得，故选A.]

6.B[由题意可知，因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，可排除C，D选项，又恒成立，可排除A选项.故选B.]

7.C[因为，所以，解得，又因为，所以.故选C.]

8.B[由题意，当时，，因为，所以，.故选B.]

9.C[由题意，设球的半径为，底面三角形边长为，因为侧棱长与底面边长之比为3：2，所以侧棱长为，因为三棱柱的侧面积为162，即满足，解得，可知侧棱长为9，底面边长为6，如图所示，设N，M分别是上、下底面的中心，MN的中点O是三棱柱外接球的球心，则，，，所以.故选C.]

10.B[由题意，可得图象如图所示，因为，为的中点，为的中点，所以，所以，因为焦点到渐近线的距离，所以，又因为，，所以，所以，，所以，所以，所以，解得或，故或，故选B.]

11.A[由题意可知，

，

将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象，然后再向左平移个单位长度，可得的图象，因为所得的图象关于轴对称，可得，则，取，得.故选A.]

12.B[设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，对于，，所以与曲线相切的切线方程为，即，对于，，所以与曲线，相切的切线方程为，即，所以有，即，令，，令，得到，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故，即，故选B.]

13.80

解析  二项式系数之和为32，即，解得，

所以展开式的通项为，

令，得，

所以展开式中的系数为.

14.

解析  因为对任意，恒成立，只需满足，因为，所以，当且仅当，即时取等号.故实数的取值范围是.

15.34

解析  由题意可知，，，，

所以.

又因为，

，

所以

.

16.14

解析  在中，由余弦定理得，

，

所以千米.设，

因为，所以，，

在中，由正弦定理得，，

所以，，

因此

，

因为，

所以.

所以当，即时，取到最大值14千米.

17.解（1）设等比数列的公比为，且，由条件，，成等差数列，

可得，即，

可得，解得或（舍去），

又因为，即，即.

所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，

所以.

（2）因为，

所以，

数列的前项和

.

18.解（1）因为为的中点，，所以，

因为平面平面，

且平面平面，

所以平面，

又因为平面，所以.

根据条件，，，

可知，，

又因为，所以为正三角形，

故，

因为平面，

所以.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立

如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则即取，

又因为，

设直线与平面所成角为，

则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

19.解（1）由题意可知，的可能取值为50，20，10，

产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48，

产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44，

产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08，

所以的分布列为

.

（2）改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：

由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加万元时，第二工序加工结果为级的概率增加，

设改良后一件产品的利润为，则可能的取值为，，，

所以一等品的概率为，

二等品的概率为，

三等品的概率为，

所以

，

因为在上单调递增，故当时，取到最大值为40，

又因为，

所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.

20.解（1）∵点在椭圆上，∴，

∵椭圆的离心率，∴，

即，

代入，得到，，

∴椭圆的方程为.

（2）假设存在.∵，∴

得到，

①当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得，

不妨令，，

由，得，解得，

此时，与圆相切.

②当直线的斜率存在时，设：，，，

联立得，

则，

由根与系数的关系得，，

则，

由，即可得，

整理得，满足，

∴，即原点到直线的距离为，

∴直线与圆相切.

综上所述，存在定圆，使得直线与圆E相切，这时定圆的方程为.

21.解（1）由条件，得到，

所以，，

所以在点处的切线方程为，即，

故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

（2），

得到，令，故，

①当时，，函数单调递增，当时，，即，在上单调递增.

②由题意可知，分别是方程的两个根，即的两个根，即，，

原式等价于，

因为，，所以原式等价于，又由于，，

作差得，，即，

所以原式等价于，

因为，所以原式恒成立，即恒成立，

令，，则不等式

在上恒成立，

令，

又因为，

当时，可得时，，

所以在上单调递增，又因为，

所以在上恒成立，符合题意.

当时，可得时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，

所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.

综上所述，若不等式恒成立，

只需满足，由于，所以的取值范围为.

22.解（1）由（为参数），消去参数得直线的普通方程为，

由曲线的极坐标方程为及

得曲线的直角坐标方程为.

（2）把（为参数）代入得到，

设，对应的参数分别为，，

则，，所以，异号，

故，

所以的值为.

23.解（1）当时，，解得；

当时，，

解得；

当时，，

解得；

故的解集为.

（2）由于，

所以，

即，

因为，

故，即.

故的取值范围为.