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考点18 尺规作图与定义、命题、定理（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）
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这是一份考点18 尺规作图与定义、命题、定理（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版），共21页。试卷主要包含了尺规作图，尺规作图的方法，定义与命题，公理与定理，互逆命题，反证法等内容，欢迎下载使用。
考点18 尺规作图与定义、命题、定理
考点总结
一、尺规作图
1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；2）作三角形的内切圆．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．
6．作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
二、尺规作图的方法
1．尺规作图的关键
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．
2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．
三、定义与命题
1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
二、真命题、假命题
1．正确的命题叫做真命题．
2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
三、逆命题
1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
四、公理与定理
1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
五、互逆命题
1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
六、反证法
1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•高阳县模拟）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6．依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．33 D．6
【分析】证明△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：由题意，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
故选：B．
2．（2021•开平区一模）用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线CD即为所求．
乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线．
下面说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．乙对甲不对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【分析】根据过一点作已知直线的垂线和作已知线段的垂直平分线的方法即可判断．
【解答】解：根据过一点作已知直线的垂线的方法可知：甲正确；
根据作已知线段的垂直平分线的方法可知：乙正确．
所以甲乙都对．
故选：C．
3．（2021•桥东区二模）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．则下列说法不正确的是（ ）
A．AH是△ABC中BC边上的高
B．AH＝DH
C．AC平分∠BAD
D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：如图，连接CD，BD．
由作图可知，CD＝CA，BD＝BA，
∴BC垂直平分线段AD，
∴AH＝DH，AH是△ABC的高，
依据是：两点确定一条直线．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
故A，B，D正确，
故选：C．
4．（2021•唐山一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，分别以A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点D、E．作直线DE，交BC于点M；同理作直线FG交BC于点N，若AB=6，则MN的长为（ ）
A．1 B．3 C．3 D．23
【分析】连接AM，AN，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，由作图可知，DE垂直平分线段AB，FG垂直平分线段AC，得到MA＝MB，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到∠BAM＝∠B＝45°，∠CAN＝∠C＝30°，推出△AMB是等腰直角三角形，于是得到答案．
【解答】解：连接AM，AN，
∵∠B＝45°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，
由作图可知，DE垂直平分线段AB，FG垂直平分线段AC，
∴MA＝MB，NA＝NC，
∴∠BAM＝∠B＝45°，∠CAN＝∠C＝30°，
∴∠AMB＝90°，∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝30°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM＝BM=22AB，
∵AB=6，
∴MA=3，
∴MN=33AM＝1，
故选：A．
5．（2021•平泉市一模）如图，已知直线AB和AB外一点C，用尺规过点C作AB的垂线．步骤如下：
第一步：任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
第二步：以C为圆心，以a为半径画弧，交直线AB于点D，E；
第三步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧交于点F；
第四步：画直线CF．直线CF即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＝CK，b＞12DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥CK，b＜12DE的长
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，判断即可．
【解答】解：由作图可知，a＝CK，b＞12DE的长，
故选：B．
6．（2021•河北一模）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m＝p＞0 B．n＝p＞0 C．p=12n＞0 D．m＝n＞0
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则m＝n＞0．
故选：D．
7．（2021•路南区三模）下面是教师出示的作图题．
已知：线段a，h，小明用如图所示的方法作△ABC，使AB＝a，AB上的高CP＝h．
作法：
①作射线AM，以点A为圆心、※为半径画弧，交射线AM于点B；
②分别以点A，B为圆心、△为半径画弧，两弧交于点D，E；
③作直线DE，交AB于点P；
④以点P为圆心、⊕为半径在AM上方画弧，交直线DE于点C，连接AC，BC．
对于横线上符号代表的内容，下列说法不正确的是（ ）
A．※代表“线段a的长” B．△代表“任意长”
C．△代表“大于12a的长” D．⊕代表“线段h的长”
【分析】根据基本作图方法即可完成填空．
【解答】解：作法：
①作射线AM，以点A为圆心、“线段a的长”为半径画弧，交射线AM于点B；
②分别以点A，B为圆心、“大于二分之一AB的长”为半径画弧，两弧交于点D，E；
③作直线DE，交AB于点P；
④以点P为圆心、“线段h的长”为半径在AM上方画弧，交直线DE于点C，连接AC，BC．
所以说法不正确的是B．
故选：B．
8．（2018•高碑店市一模）对于命题“若m＜n，则m2＜n2”，下列m，n的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．m＝1，n＝2 B．m＝0，n＝2 C．m＝﹣1，n＝2 D．m＝﹣2，n＝2
【分析】说明命题为假命题，即m，n的值满足m＜n，但m2＜n2不成立，把四个选项中的m，n的值分别代入验证即可．
【解答】解：
在A中，m2＝1，n2＝4，且4＞1，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故A选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在B中，m2＝0，n2＝4，且0＜4，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故B选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在C中，m2＝1，n2＝4，且2＞﹣1，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故C选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在D中，m2＝4，n2＝4，且﹣2＜2，此时满足m＜n，但不能满足m2＜n2，即意味着命题“若m＜n，则m2＜n2”不能成立，故D选项中m，n的值能说明命题为假命题；
故选：D．
9．（2021•定兴县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是（ ）
A．7 B．30 C．14 D．60
【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC＝DH＝2，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝2，
∴S△ABD=12×7×2＝7，
故选：A．
10．（2021•河北）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF＝∠AOB时，S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一，可知（Ⅱ）错误．
【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O的直径，
∴OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当∠MOF＝∠AOB，
∴S扇形FOM＝S扇形AOB，
观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•河北一模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，M点是四边形CDEF内的一个动点，若∠CFM＝∠MCD．
（1）∠FMC＝ 120° ；
（2）动点M所经过的路线长是 893π ．
【分析】（1）由正六边形的性质可知，CF∥DE，∠FCD＝∠EFC＝60°，再由等量代换可求∠FCM+∠CFM＝60°，则可求∠CMF的度数；
（2）连接AC，作CF的中垂线ON交AC于点O，M点在以O为圆心，CO为半径的圆上运动，M的运动轨迹为弧CF，分别求出⊙O的半径为CO=433，弧CF所对的圆心角为120°，再由弧长公式即可求解．
【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠D＝∠E＝∠A＝∠B＝∠C＝∠F＝120°，
∴CF∥DE，
∴∠FCD＝∠EFC＝60°，
∵∠CFM＝∠MCD，
∴∠CFM+∠EFM＝∠MCD+∠FCM＝60°，
∴∠FCM+∠CFM＝60°，
∴∠CMF＝120°，
故答案为：120°；
（2）连接AC，作CF的中垂线ON交AC于点O，
∵正六边形的边长为2，
∴CF＝4，
∵∠FMC＝120°，
∴M点在以O为圆心，CO为半径的圆上运动，
∵M点在四边形CDEF内，
∴M点在弧CF上运动，
∵ON⊥CF，∠BCA＝30°，
∴∠OCN＝30°，
∴∠CON＝60°，
∵CN＝2，
∴CO=433，
∴CF=120π×433180=893π，
故答案为：893π．
12．（2021•玉田县二模）如图，∠MON＝90°，点P为射线OM上一定点，且OP＝23，点Q是射线ON上一动点，且点Q以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t．连接PQ，以PQ为一条边向右侧作等边△PQH．
（1）若HQ⊥ON，则t＝ 6 ；
（2）若t的取值范围是0≤t≤3，则点H的运动路径长为 6 ．
【分析】（1）解直角三角形求出OQ即可解决问题．
（2）如图2中，作等边△POE，连接HE．证明△OPQ≌△EPH（SAS），推出∠POQ＝∠PEH＝90°，EH＝OQ，推出点H的运动轨迹是线段EH．
【解答】解：（1）如图1中，
∵HQ⊥ON，
∴∠OQN＝90°，
∵△PQH是等边三角形，
∴∠PQH＝60°，
∴∠PQO＝30°，
∵∠POQ＝90°，OP＝23，
∴OQ=OPtan30°=6，
∴t＝6÷2＝3，
故答案为3．
（2）如图2中，作等边△POE，连接HE．
∵PO＝PE，PQ＝PH，∠OPE＝∠QPH＝60°，
∴∠OPQ＝∠EPH，
∴△OPQ≌△EPH（SAS），
∴∠POQ＝∠PEH＝90°，EH＝OQ，
∴点H的运动轨迹是线段EH，
当0≤t≤3时，OQ＝6，
∴EH＝OQ＝6．
故答案为6．
13．（2021•河北模拟）如图，已知∠ABC，
步骤1：在射线BC上任取一点O，以点O为圆心，OB长为半径画半圆，分别交AB、BC于点D、E；
步骤2：连接DE，在DE异于点O的一侧任取一点F，以点O为圆心，OF长为半径画弧，交DE于点M、N；
步骤3：分别以点M、N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧相交于点P；
步骤4：连接OP并延长，交半圆O于点Q，连接BQ交DE于点G．
（1）OP与AB的位置关系为 OP∥AB ；
（2）若∠BED＝α，则∠BGD＝ 45°+12α .（用含α的代数式表示）
【分析】（1）结论：OP∥AB．证明OP⊥DE，AB⊥DE即可．
（2）利用垂径定理，三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）结论：OP∥AB．
理由：由作图可知，BE是⊙O的直径，OQ垂直平分线段DE，
∴∠EDB＝∠90°，
∴OP⊥DE，AB⊥DE，
∴OP∥AB．
故答案为：OP∥AB．
（2）∵BE是直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣α，
∵OQ⊥DE，
∴EQ=DQ，
∴∠EBQ＝∠ABQ=12（90°﹣α）＝45°−12α．
∴∠BGD＝90°﹣∠DBG＝90°﹣（45°−12α）＝45°+12α．
故答案为：45°+12α．
14．（2020•邯山区一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝112°，点E是AD的中点，由作图痕迹可得∠ABE＝ 34° ，若AD＝8，则CD＝ 4 ．
【分析】由作图可知，BE平分∠ABC，利用平行线的性质求出∠ABC，即可求出∠ABE，再证明AB＝AE＝4，即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠C＝112°，
∴∠ABC＝180°﹣112°＝68°，
∴∠ABE=12∠ABC＝34°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝ED＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝4，
∴CD＝AB＝4，
故答案为34°，4．
15．（2020•河北模拟）如图，观察图中的尺规作图痕迹，若∠FMO＝50°，则∠FOE的度数为 20° ．
【分析】弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，根据垂径定理即可得到∠MOE＝∠BOE=12∠AOB，进而得出∠FOE的度数．
【解答】解：由作图痕迹可知，PQ垂直平分FM，
∴点E是FM的中点，
∴FE=EM，
∴∠MOE＝∠BOE=12∠AOB，
又∵∠FMO＝50°，∠OFM＝90°，
∴∠AOB＝40°，
∴∠FOE＝20°，
故答案为：20°．
三．解答题（共3小题）
16．（2020•张家口二模）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：如图2，
（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；
（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．
请回答：该尺规作图的依据是 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线 ．
【分析】利用作法和线段垂直平分线定理的逆定理可得到BC垂直平分AE，然后根据三角形高的定义得到AD为高．
【解答】解：由作法得BC垂直平分AE，
所以该尺规作图的依据为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．
故答案为：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．
17．（2021•滦州市一模）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO=63，以点O为圆心，以2为半径作优弧DME，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧DME上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM．
（1）当AM与优弧DME相切时，求线段AM的长；
（2）当MO∥AB时，求点M在优弧DME上移动的路线长及线段AM的长．
【分析】（1）在Rt△AMO 中，利用勾股定理直接计算即可：
（2）分MO在直线AO的左侧和MO在直线AO的右侧，分别画出图形，可求出点M运动的路径长和AM的长．
【解答】解：（1）∵AM与优弧DME相切，
∴∠AMO＝90°，
在Rt△AMO 中，由勾股定理得：
AM=62−22=42；
（2）在Rt△AOB中，
∵AO＝6，BO=63，
∴∠BOA＝60°∠OBA＝30°，
当MO∥AB时，
第一种情况：如图所示，
当MO在直线AO的左侧时，∠AOM＝60°，
lDM=60π×2180=23π，
过点M作MG⊥AO于点G，
在Rt△MOG中，sin60°=MGMO=32，且OM＝2，
∴MG=3，OG＝1，AG＝5，
在Rt△AMG中，据勾股定理可知，AM=AG2+MG2=52+(3)2=27；
第二种情况：如图所示，当MO在直线AO的右侧时，连接AM，
lDM=240π×2180=83π，
∵MO∥AB，
∴△OMH∽△BAH，
在Rt△AOH中，据勾股定理得：AH=6527=12137，
∴AM=76AH=52=213．
综上所述，点M运动的路径长为2π3，AM＝27或点M的运动路径长为8π3，AM＝213．
18．（2021•路南区一模）已知，∠PBC的边PB上有一点A、E，过点E作EF∥BC．
（1）用尺规作∠PBC的平分线，交EF于点D；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）的前提下，连接AD并延长交BC于G．
①求证：BE＝ED；
②如果点E是AB的中点，直接写出△ABD和△ABG的形状．
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠PBC的平分线；
（2）①根据角平分线定义和平行线的性质可得∠ABD＝∠EDB，进而可得结论；
②结合①根据点E是AB的中点，即可得△ABD是直角三角形，△ABG是等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，BD即为∠PBC的平分线；
（2）①证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED；
②△ABD是直角三角形，△ABG是等腰三角形．
∵点E是AB的中点，
∴BE＝AE，
∵BE＝ED，
∴AE＝BE＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，∠EAD＝∠EDA，
∵∠EBD+∠EDB+∠EAD+∠EDA＝180°，
∴∠EDB+∠EDA＝90°，
∴△ABD是直角三角形；
∵ED∥BG，E是AB的中点，
∴D是AG的中点，
∵∠BDA＝90°，
∴BA＝BG，
∴△ABG是等腰三角形．
考点18 尺规作图与定义、命题、定理
考点总结
一、尺规作图
1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；2）作三角形的内切圆．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．
6．作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
二、尺规作图的方法
1．尺规作图的关键
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．
2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．
三、定义与命题
1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
二、真命题、假命题
1．正确的命题叫做真命题．
2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
三、逆命题
1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
四、公理与定理
1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
五、互逆命题
1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
六、反证法
1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•高阳县模拟）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6．依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．33 D．6
【分析】证明△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：由题意，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
故选：B．
2．（2021•开平区一模）用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线CD即为所求．
乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线．
下面说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．乙对甲不对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【分析】根据过一点作已知直线的垂线和作已知线段的垂直平分线的方法即可判断．
【解答】解：根据过一点作已知直线的垂线的方法可知：甲正确；
根据作已知线段的垂直平分线的方法可知：乙正确．
所以甲乙都对．
故选：C．
3．（2021•桥东区二模）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．则下列说法不正确的是（ ）
A．AH是△ABC中BC边上的高
B．AH＝DH
C．AC平分∠BAD
D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：如图，连接CD，BD．
由作图可知，CD＝CA，BD＝BA，
∴BC垂直平分线段AD，
∴AH＝DH，AH是△ABC的高，
依据是：两点确定一条直线．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
故A，B，D正确，
故选：C．
4．（2021•唐山一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，分别以A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点D、E．作直线DE，交BC于点M；同理作直线FG交BC于点N，若AB=6，则MN的长为（ ）
A．1 B．3 C．3 D．23
【分析】连接AM，AN，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，由作图可知，DE垂直平分线段AB，FG垂直平分线段AC，得到MA＝MB，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到∠BAM＝∠B＝45°，∠CAN＝∠C＝30°，推出△AMB是等腰直角三角形，于是得到答案．
【解答】解：连接AM，AN，
∵∠B＝45°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，
由作图可知，DE垂直平分线段AB，FG垂直平分线段AC，
∴MA＝MB，NA＝NC，
∴∠BAM＝∠B＝45°，∠CAN＝∠C＝30°，
∴∠AMB＝90°，∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝30°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM＝BM=22AB，
∵AB=6，
∴MA=3，
∴MN=33AM＝1，
故选：A．
5．（2021•平泉市一模）如图，已知直线AB和AB外一点C，用尺规过点C作AB的垂线．步骤如下：
第一步：任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
第二步：以C为圆心，以a为半径画弧，交直线AB于点D，E；
第三步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧交于点F；
第四步：画直线CF．直线CF即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＝CK，b＞12DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥CK，b＜12DE的长
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，判断即可．
【解答】解：由作图可知，a＝CK，b＞12DE的长，
故选：B．
6．（2021•河北一模）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m＝p＞0 B．n＝p＞0 C．p=12n＞0 D．m＝n＞0
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则m＝n＞0．
故选：D．
7．（2021•路南区三模）下面是教师出示的作图题．
已知：线段a，h，小明用如图所示的方法作△ABC，使AB＝a，AB上的高CP＝h．
作法：
①作射线AM，以点A为圆心、※为半径画弧，交射线AM于点B；
②分别以点A，B为圆心、△为半径画弧，两弧交于点D，E；
③作直线DE，交AB于点P；
④以点P为圆心、⊕为半径在AM上方画弧，交直线DE于点C，连接AC，BC．
对于横线上符号代表的内容，下列说法不正确的是（ ）
A．※代表“线段a的长” B．△代表“任意长”
C．△代表“大于12a的长” D．⊕代表“线段h的长”
【分析】根据基本作图方法即可完成填空．
【解答】解：作法：
①作射线AM，以点A为圆心、“线段a的长”为半径画弧，交射线AM于点B；
②分别以点A，B为圆心、“大于二分之一AB的长”为半径画弧，两弧交于点D，E；
③作直线DE，交AB于点P；
④以点P为圆心、“线段h的长”为半径在AM上方画弧，交直线DE于点C，连接AC，BC．
所以说法不正确的是B．
故选：B．
8．（2018•高碑店市一模）对于命题“若m＜n，则m2＜n2”，下列m，n的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．m＝1，n＝2 B．m＝0，n＝2 C．m＝﹣1，n＝2 D．m＝﹣2，n＝2
【分析】说明命题为假命题，即m，n的值满足m＜n，但m2＜n2不成立，把四个选项中的m，n的值分别代入验证即可．
【解答】解：
在A中，m2＝1，n2＝4，且4＞1，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故A选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在B中，m2＝0，n2＝4，且0＜4，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故B选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在C中，m2＝1，n2＝4，且2＞﹣1，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故C选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在D中，m2＝4，n2＝4，且﹣2＜2，此时满足m＜n，但不能满足m2＜n2，即意味着命题“若m＜n，则m2＜n2”不能成立，故D选项中m，n的值能说明命题为假命题；
故选：D．
9．（2021•定兴县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是（ ）
A．7 B．30 C．14 D．60
【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC＝DH＝2，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝2，
∴S△ABD=12×7×2＝7，
故选：A．
10．（2021•河北）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF＝∠AOB时，S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一，可知（Ⅱ）错误．
【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O的直径，
∴OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当∠MOF＝∠AOB，
∴S扇形FOM＝S扇形AOB，
观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•河北一模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，M点是四边形CDEF内的一个动点，若∠CFM＝∠MCD．
（1）∠FMC＝ 120° ；
（2）动点M所经过的路线长是 893π ．
【分析】（1）由正六边形的性质可知，CF∥DE，∠FCD＝∠EFC＝60°，再由等量代换可求∠FCM+∠CFM＝60°，则可求∠CMF的度数；
（2）连接AC，作CF的中垂线ON交AC于点O，M点在以O为圆心，CO为半径的圆上运动，M的运动轨迹为弧CF，分别求出⊙O的半径为CO=433，弧CF所对的圆心角为120°，再由弧长公式即可求解．
【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠D＝∠E＝∠A＝∠B＝∠C＝∠F＝120°，
∴CF∥DE，
∴∠FCD＝∠EFC＝60°，
∵∠CFM＝∠MCD，
∴∠CFM+∠EFM＝∠MCD+∠FCM＝60°，
∴∠FCM+∠CFM＝60°，
∴∠CMF＝120°，
故答案为：120°；
（2）连接AC，作CF的中垂线ON交AC于点O，
∵正六边形的边长为2，
∴CF＝4，
∵∠FMC＝120°，
∴M点在以O为圆心，CO为半径的圆上运动，
∵M点在四边形CDEF内，
∴M点在弧CF上运动，
∵ON⊥CF，∠BCA＝30°，
∴∠OCN＝30°，
∴∠CON＝60°，
∵CN＝2，
∴CO=433，
∴CF=120π×433180=893π，
故答案为：893π．
12．（2021•玉田县二模）如图，∠MON＝90°，点P为射线OM上一定点，且OP＝23，点Q是射线ON上一动点，且点Q以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t．连接PQ，以PQ为一条边向右侧作等边△PQH．
（1）若HQ⊥ON，则t＝ 6 ；
（2）若t的取值范围是0≤t≤3，则点H的运动路径长为 6 ．
【分析】（1）解直角三角形求出OQ即可解决问题．
（2）如图2中，作等边△POE，连接HE．证明△OPQ≌△EPH（SAS），推出∠POQ＝∠PEH＝90°，EH＝OQ，推出点H的运动轨迹是线段EH．
【解答】解：（1）如图1中，
∵HQ⊥ON，
∴∠OQN＝90°，
∵△PQH是等边三角形，
∴∠PQH＝60°，
∴∠PQO＝30°，
∵∠POQ＝90°，OP＝23，
∴OQ=OPtan30°=6，
∴t＝6÷2＝3，
故答案为3．
（2）如图2中，作等边△POE，连接HE．
∵PO＝PE，PQ＝PH，∠OPE＝∠QPH＝60°，
∴∠OPQ＝∠EPH，
∴△OPQ≌△EPH（SAS），
∴∠POQ＝∠PEH＝90°，EH＝OQ，
∴点H的运动轨迹是线段EH，
当0≤t≤3时，OQ＝6，
∴EH＝OQ＝6．
故答案为6．
13．（2021•河北模拟）如图，已知∠ABC，
步骤1：在射线BC上任取一点O，以点O为圆心，OB长为半径画半圆，分别交AB、BC于点D、E；
步骤2：连接DE，在DE异于点O的一侧任取一点F，以点O为圆心，OF长为半径画弧，交DE于点M、N；
步骤3：分别以点M、N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧相交于点P；
步骤4：连接OP并延长，交半圆O于点Q，连接BQ交DE于点G．
（1）OP与AB的位置关系为 OP∥AB ；
（2）若∠BED＝α，则∠BGD＝ 45°+12α .（用含α的代数式表示）
【分析】（1）结论：OP∥AB．证明OP⊥DE，AB⊥DE即可．
（2）利用垂径定理，三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）结论：OP∥AB．
理由：由作图可知，BE是⊙O的直径，OQ垂直平分线段DE，
∴∠EDB＝∠90°，
∴OP⊥DE，AB⊥DE，
∴OP∥AB．
故答案为：OP∥AB．
（2）∵BE是直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣α，
∵OQ⊥DE，
∴EQ=DQ，
∴∠EBQ＝∠ABQ=12（90°﹣α）＝45°−12α．
∴∠BGD＝90°﹣∠DBG＝90°﹣（45°−12α）＝45°+12α．
故答案为：45°+12α．
14．（2020•邯山区一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝112°，点E是AD的中点，由作图痕迹可得∠ABE＝ 34° ，若AD＝8，则CD＝ 4 ．
【分析】由作图可知，BE平分∠ABC，利用平行线的性质求出∠ABC，即可求出∠ABE，再证明AB＝AE＝4，即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠C＝112°，
∴∠ABC＝180°﹣112°＝68°，
∴∠ABE=12∠ABC＝34°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝ED＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝4，
∴CD＝AB＝4，
故答案为34°，4．
15．（2020•河北模拟）如图，观察图中的尺规作图痕迹，若∠FMO＝50°，则∠FOE的度数为 20° ．
【分析】弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，根据垂径定理即可得到∠MOE＝∠BOE=12∠AOB，进而得出∠FOE的度数．
【解答】解：由作图痕迹可知，PQ垂直平分FM，
∴点E是FM的中点，
∴FE=EM，
∴∠MOE＝∠BOE=12∠AOB，
又∵∠FMO＝50°，∠OFM＝90°，
∴∠AOB＝40°，
∴∠FOE＝20°，
故答案为：20°．
三．解答题（共3小题）
16．（2020•张家口二模）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：如图2，
（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；
（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．
请回答：该尺规作图的依据是 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线 ．
【分析】利用作法和线段垂直平分线定理的逆定理可得到BC垂直平分AE，然后根据三角形高的定义得到AD为高．
【解答】解：由作法得BC垂直平分AE，
所以该尺规作图的依据为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．
故答案为：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．
17．（2021•滦州市一模）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO=63，以点O为圆心，以2为半径作优弧DME，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧DME上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM．
（1）当AM与优弧DME相切时，求线段AM的长；
（2）当MO∥AB时，求点M在优弧DME上移动的路线长及线段AM的长．
【分析】（1）在Rt△AMO 中，利用勾股定理直接计算即可：
（2）分MO在直线AO的左侧和MO在直线AO的右侧，分别画出图形，可求出点M运动的路径长和AM的长．
【解答】解：（1）∵AM与优弧DME相切，
∴∠AMO＝90°，
在Rt△AMO 中，由勾股定理得：
AM=62−22=42；
（2）在Rt△AOB中，
∵AO＝6，BO=63，
∴∠BOA＝60°∠OBA＝30°，
当MO∥AB时，
第一种情况：如图所示，
当MO在直线AO的左侧时，∠AOM＝60°，
lDM=60π×2180=23π，
过点M作MG⊥AO于点G，
在Rt△MOG中，sin60°=MGMO=32，且OM＝2，
∴MG=3，OG＝1，AG＝5，
在Rt△AMG中，据勾股定理可知，AM=AG2+MG2=52+(3)2=27；
第二种情况：如图所示，当MO在直线AO的右侧时，连接AM，
lDM=240π×2180=83π，
∵MO∥AB，
∴△OMH∽△BAH，
在Rt△AOH中，据勾股定理得：AH=6527=12137，
∴AM=76AH=52=213．
综上所述，点M运动的路径长为2π3，AM＝27或点M的运动路径长为8π3，AM＝213．
18．（2021•路南区一模）已知，∠PBC的边PB上有一点A、E，过点E作EF∥BC．
（1）用尺规作∠PBC的平分线，交EF于点D；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）的前提下，连接AD并延长交BC于G．
①求证：BE＝ED；
②如果点E是AB的中点，直接写出△ABD和△ABG的形状．
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠PBC的平分线；
（2）①根据角平分线定义和平行线的性质可得∠ABD＝∠EDB，进而可得结论；
②结合①根据点E是AB的中点，即可得△ABD是直角三角形，△ABG是等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，BD即为∠PBC的平分线；
（2）①证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED；
②△ABD是直角三角形，△ABG是等腰三角形．
∵点E是AB的中点，
∴BE＝AE，
∵BE＝ED，
∴AE＝BE＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，∠EAD＝∠EDA，
∵∠EBD+∠EDB+∠EAD+∠EDA＝180°，
∴∠EDB+∠EDA＝90°，
∴△ABD是直角三角形；
∵ED∥BG，E是AB的中点，
∴D是AG的中点，
∵∠BDA＝90°，
∴BA＝BG，
∴△ABG是等腰三角形．
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