25二元一次方程组解法（一）--代入法(提高) 知识讲解练习题

二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解

【学习目标】

1. 理解消元的思想；

2. 会用代入法解二元一次方程组.

【要点梳理】

要点一、消元法

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知数由多变少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

要点二、代入消元法

    通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．

要点诠释：

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；

(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．

【典型例题】

类型一、用代入法解二元一次方程组

1．用代入法解方程组：

【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．

【答案与解析】

解：由①得    ③

将③代入②  ，解得．

将代入③，得x＝3

所以原方程组的解为．

【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．

举一反三：

【变式】m 取什么数值时，方程组的解

   （1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.

【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；

（2）m=-3，-2，0，.

2.（2016春•九台市期末）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：

解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．

把x=1代入②得，y=0．

所以方程组的解为

请用同样的方法解方程组：．

【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．

【答案与解析】

解：由①得，2x﹣y=2③，

把③代入②得，1+2y=9，

解得：y=4，

把y=4代入③得，x=3，

则方程组的解为

【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．

举一反三：

【变式1】解方程组

【答案】

解：

将①代入②：，

            得 y=4，

将y=4代入①：2x－12=2

            得 x=7，

∴原方程组的解是.

（2）

解：由②，设x=4，y=3

    代入①：4－4·3=5

            4－12=5

               －8=5

∴，，

∴原方程组的解为.

类型二、方程组解的应用

3.（2015春•临清市期末）如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．

【答案】B．

【解析】

解：，

由①得y=3-x ③

将③代入②得：6x=12，

解得：x=2，

将x=2代入②得：10﹣y=9，

解得：y=1，

将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，

解得：m=2．

【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

4.已知和方程组的解相同，求的值．

【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．

【答案与解析】

解：依题意联立方程组

①+③得5x＝10，解得x＝2．

把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以，

又联立方程组，则有，

解得．

    所以(2a+b)2011＝-1．

【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.

举一反三：

【变式】（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．

【答案】

解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，

解得：c=﹣5，

把与分别代入ax+by=2，得，

解得：，

则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．