2021年辽宁省丹东市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2021年辽宁省丹东市中考数学试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021年辽宁省丹东市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）的相反数是A.  B.  C.  D. 下列运算正确的是A.  B.
C.  D. 如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是A.
B.
C.
D. 若一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的中位数和众数分别是A. ， B. ， C. ， D. ，若实数、是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到，交于点，恰好平分，若，则点到的距离为A.
B.
C.
D. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是，则的值
A.  B.  C.  D. 已知抛物线，且，判断下列结论：；；抛物线与轴正半轴必有一个交点；当时，；该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）按照现行贫困标准计算，中国村贫困人口摆脱贫困，将数据用科学记数法表示为______ ．在函数中，自变量的取值范围______ ．分解因式：______．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．不等式组无解，则的取值范围______ ．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，点是的中点，连接、，若，，则的周长为______ ．
  如图，在矩形中，连接，过点作平分线的垂线，垂足为点，且交于点；过点作平分线的垂线，垂足为点，且交于点，连接，若，，则线段的长度为______ ．
已知：到三角形个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果是锐角或直角三角形，则其费马点是三角形内一点，且满足例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点．
若，，为的费马点，则 ______ ；
若，，，为的费马点，则 ______ ． 三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）先化简，再求代数式的值：，其中．






 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
若，判断四边形的形状，并说明理由．







 某中学为了增强学生体质，计划开设：跳绳，：毽球，：篮球，：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查每人只能选择一种体育活动，并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

求这次抽样调查的学生有多少人？
求出所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
若该校有名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢的人数．






 一个不透明的袋子中装有个只有颜色不同的小球，其中个红球，个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．






 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造米，甲队改造米的道路与乙队改造米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？






 如图，是的外接圆，点是的中点，过点作分别交、的延长线于点和点，连接、，的平分线交于点．
求证：是的切线；
若：：，，求线段的长．







 如图，一架无人机在空中处观测到山顶的仰角为，山顶在水中的倒影的俯角为，此时无人机距水面的距离米，求点到水面距离的高度．
参考数据：，，，，，







 某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本．
求该商品每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式；不需要求自变量取值范围
若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？






 已知，在正方形中，点、为对角线上的两个动点，且，过点、分别作、的垂线相交于点，垂足分别为、，设的面积为，的面积为，的面积为．

如图，当四边形为正方形时，
求证：≌；
求证：．
如图，当四边形为矩形时，写出，，三者之间的数量关系，并说明理由；
在的条件下，若：：，请直接写出：的值．






 如图，已知点，点，直线过点交轴于点，交轴于点，抛物线经过点、、，连接、．

求抛物线的表达式；
判断的形状，并说明理由；
为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标；
为线段上的动点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点，又以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，当点运动到点后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点的坐标．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 2.【答案】
 【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握整式的乘法公式、幂的运算法则是解决本题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：从上面看该组合体看到是两列，每列由个正方形，看到的图形如下：

故选：．
从上面看该组合体，所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的俯视图，理解视图的意义，画出从上面看所得到的图形是正确判断的前提．
 4.【答案】
 【解析】解：数据，，，，的平均数为，
，
解得
则这组数据从小到大排列为，，，，
这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
先根据算术平均数的概念求出的值，再将数据重新排列，继而利用众数和中位数的概念求解可得．
本题主要考查众数和中位数及平均数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 5.【答案】
 【解析】解：实数、是一元二次方程的两个根，且，
，，
函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：．
通过解一元二次方程可得出，的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：如图，作于点，则为点到的距离．
四边形为矩形，
，
将沿对角线折叠得到，
，
平分，
，，
，
，
，
，
故选：．
如图，作于点，则为点到的距离，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，由角平分线定义可得，即可得出，根据角平分线的性质可得，利用的正切值求出的值即可得到答案．
本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
 7.【答案】
 【解析】解：如图，连接，，与轴交于点，

轴，点在双曲线上，点在双曲线上，
，，
，
，
．
故选：．
根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解答．
此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比例函数面积与的关系是解本题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：，，
两式相减得，两式相加得，
，
，，，
，故正确；
，故正确；
当时，则，当时，则有，
当时，则方程的两个根一个小于，一个根大于，
抛物线与轴必有一个交点，故正确；
由题意知抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，有最小值，即为，故正确；
联立抛物线及直线可得：，整理得：，
，
该抛物线与直线有两个交点，故正确；
正确的个数有个；
故选：．
由题意易知，，则有，进而可判定；当时，则，当时，则有，然后可判定；由题意可知抛物线的对称轴为直线，则有当时，随的增大而增大，故可得；联立抛物线及直线解析式即可判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数与轴的交点情况，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等知识点，综合性较强，需灵活运用二次函数的以上相关知识点．
 9.【答案】
 【解析】解：数字用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值以及的值是解题的关键．
 10.【答案】
 【解析】解：根据题意得：且，
解得
自变量的取值范围是．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 11.【答案】
 【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 12.【答案】且
 【解析】解：由已知得：，
即，
解得：且．
故答案为：且．
由方程有两个不等实数根可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式或不等式组是关键．
 13.【答案】
 【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式，
不等式组无解
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于的不等式，求出不等式的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于的不等式是解题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，，
又，
在中，，，
解得：，
又点是的中点，
，
的周长．
故答案为：．
根据垂直平分线的性质求得的度数，然后根据勾股定理求出长度，即可求出的周长．
此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
 15.【答案】
 【解析】解：平分，
，
，
，
又，
≌，
，，
同理：，，
是的中位线，
，
在矩形中，，，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
先证明≌，可得，，同理：，，从而得，再利用勾股定理得，进而即可求解．
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出是的中位线是解题的关键．
 16.【答案】，
 【解析】解：如图，过作，垂足为，
过，分别作，则，为的费马点，
，，
，
，
，
，
，

；
如图：
，，，
，，
，，
，
，
将绕点逆时针旋转，
由旋转可得：≌，
，，，，
是等边三角形，
，
为的费马点，
即，，，四点共线时候，，
，
故答案为：，．
作出图形，过，分别作，勾股定理解直角三角形即可；
作出图形，将绕点逆时针旋转，为的费马点则，，，四点共线，即，再用勾股定理求得即可．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转，也可，但必须绕顶点旋转．
 17.【答案】解：



，
当时，原式．
 【解析】先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后将的值代入化简后的式子求值即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；

解：四边形是菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形．
 【解析】证≌，得到，再由，即可证得四边形是平行四边形；
由平行四边形的性质可得，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定，证明≌是解题的关键．
 19.【答案】解：由统计图可知，人，
答：这次抽样调查的学生有人；
，人，
答：所在扇形圆心角的度数为，补全条形统计图如图所示：

人，
答：估计喜欢的人数为人．
 【解析】根据的人数和所占的百分数求解即可；
根据占圆周角的的百分数求解即可；求出的人数即可补全条形统计图；
由该校人数乘以所占的百分数即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．用样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 20.【答案】解：所有可能性如下表：甲
乙红红白白红 红，红白，红白，红红红，红 白，红白，红白红，白红，白 白，白白红，白红，白白，白 总共种情况．
摸到两个小球的颜色相同有种，摸到两个小球颜色不同有种
甲获胜概率，乙获胜概率
这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．
 【解析】列表格列出所有可能性；
分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：设甲工程队每天改造的道路长度是米，
列方程得：，
解得：．
．
答：甲工程队每天改造的道路长度是米，乙工程队每天改造的道路长度是米．
 【解析】设甲工程队每天改造的道路长度是米，则乙工程队每天改造的道路长度是米，根据“甲队改造米的道路与乙队改造米的道路所用时间相同”列出方程求解即可．
此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．
 22.【答案】解：证明：连接，如图，

点是的中点，
，
，
，
，
为的切线；
设、交于点，

：：，，，
，
，
点是的中点，
，
又，
∽，
，即：，
，
的平分线交于点，
，
，即：，
．
 【解析】连接，由垂径定理得，从而得，进而即可得到结论；
由平行线分线段定理得，再证明∽，可得，最后证明，进而即可求解．
本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形是解题的关键．
 23.【答案】解：过点作交于点，由题意可得：米，
设米，则米

米，
在中，

米，
在中，，
，
解得，
即米，
答：点到水面距离的高度约为米．
 【解析】过点作交于点，由题意可得：，设，在中，，在中，，进而可根据，求出的值，即为的值．
本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．
 24.【答案】解：依题意，得：，
与的函数关系式为；
依题意得：，
即，
解得：，，
，
当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；
设每月总利润为，依题意得，
，此图象开口向下，
当时，有最大值为元，
为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元．
 【解析】明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
根据题意，按照等量关系“销售量售价成本”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
 25.【答案】解：在正方形和正方形中，
，，，，
，
即，
≌
如图，连接，则过点，且，，
由知≌，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
同理≌，
，，
，
．
，理由如下：
如图，连接交于点，
四边形是正方形，四边形为矩形，
，，，，
，，
∽，
，
同理∽，
，
，
，
，，
，
，，
．
根据题意可设，，，
，
即，
，
，
：：：．
 【解析】利用两个正方形性质易证≌；
连接，则过点，且，，由知，易证，可得，进一步证明，从而得到，同理，故；
如图，连接交于点，易证∽，进而得到，仿照上面同样的方法，可证，即，从而得到，故；
在的条件下，有，根据题意可设，，，先求出的长，进而求出的长，即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定三角形及矩形面积的求解，解题的关键是巧妙的正方形的性质构造全等三角形或相似三角形来解决问题，本题还运用到了类比探究的思想．
 26.【答案】解：直线过点，交轴于点，
，
解得：，
，
将、代入，
得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
为直角三角形，且，
理由如下：点，点，点，
，，，
，
为直角三角形，且；
由知，，
，
，
如图，延长至，使，连接，则点、关于点对称，

，
，，，
≌，
，
点为直线与抛物线的交点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：或舍去，
故点坐标为；
过作于，过作交于，连接，则，

，，
，
，又，
点运动时间，
当、、三点共线时，最小，
，，
，
，
点运动时间的最小值为，
由直线的表达式得点坐标为，
，
点与点重合，则点即为直线与直线的交点，
由点和得直线的表达式为，
由点和得直线的表达式为，
联立方程组，解得：，
此时坐标为
 【解析】由点坐标求出值，进而求得点坐标，利用待定系数法求抛物线的表达式即可；
由两点间距离公式求得、、，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形；
由中可知，延长至，使，连接，则点为直线与抛物线的交点，求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立方程组，解之即可求得点坐标；
过作于，过作交于，连接，则，求得，由点运动时间，当、、三点共线时，最小，进一步求解即可解答．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解函数解析式，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，锐角的三角函数，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算．