2021年山东省滨州市滨城区中考数学二模试卷及答案

这是一份2021年山东省滨州市滨城区中考数学二模试卷及答案，共26页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省滨州市滨城区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分36分.
1．下列各数中，负数是（　　）
A．﹣（﹣3） B．（﹣3）0 C．（﹣3）﹣2 D．（﹣3）3
2．如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（　　）

A．160° B．110° C．100° D．70°
3．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 B．2a+3a＝5a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a2•a3＝a6
4．点P1（a﹣1，2）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（　　）
A．﹣32021 B．1 C．32021 D．52021
5．如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，E为格点．⊙O为大正方形的内切圆，BC交⊙O于点D，则cos∠AED＝（　　）

A． B． C． D．
6．以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（　　）
A．（cosα，1） B．（1，sinα）
C．（sinα，cosα） D．（cosα，sinα）
7．某青年排球队12名队员的年龄情况如表：
年龄
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和中位数是（　　）
A．19，20.5 B．19，19 C．19，20 D．20，19
8．某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h，则列方程是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
9．二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
10．下列命题：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是3；④对于任意实数m，关于x的方程x2+（m+3）x+m+2＝0有两个不相等的实数根．其中正确的命题个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，若∠MON＝54°，则∠APB的度数为（　　）

A．153° B．144° C．163° D．162°
12．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EP相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G；P为线段BM上一动点，有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM＝1；③△BMG是等边三角形；④QN＝BG；⑤若H是BN的中点，则PN+PH的最小值是，其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③④⑤ B．①②③ C．②③④ D．①③④⑤
二.填空题（共8小题，满分40分，每小题5分）
13．（5分）在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝20°，则∠A＝　 　度．
14．（5分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　 　．
15．（5分）分式方程：的解是x＝　 　．
16．（5分）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA的值是　 　．

17．（5分）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为　 　．
18．（5分）一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字﹣3，1，，2，它们除所标数字外完全相同，摇匀后从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之积是正数的概率为　 　．
19．（5分）有一组单项式：a2，﹣，，﹣，…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第2n个单项式为　 　．
20．（5分）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线y＝kx﹣1（k≠0，x＞0）与边AB、BC分别交于点N、F，连接ON、OF、NF．若∠NOF＝45°，NF＝2，则点C的坐标为　 　．

三.解答题：（本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程.）
21．（12分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解．
22．（12分）如图，反比例函数（k≠0）与一次函数y2＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出满足y1≤y2的取值范围；
（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．

23．（12分）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．

24．（12分）为方便教师利用多媒体进行教学，某学校计划采购A，B两种类型的激光翻页笔．已知购买2支A型激光翻页笔和4支B型激光翻页笔共需180元；购买4支A型激光翻页笔和2支B型激光翻页笔共需210元．
（1）求A，B两种类型激光翻页笔的单价．
（2）学校准备采购A，B两种类型的激光翻页笔共60支，且A型激光翻页笔的数量不少于B型激光翻页笔数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
25．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求dh的值．

26．（14分）如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限；
①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年山东省滨州市滨城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分36分.
1．下列各数中，负数是（　　）
A．﹣（﹣3） B．（﹣3）0 C．（﹣3）﹣2 D．（﹣3）3
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A．﹣（﹣3）＝3，故此选项不合题意；
B．（﹣3）0＝1，故此选项不合题意；
C．（﹣3）﹣2＝，故此选项不合题意；
D．（﹣3）3＝﹣27，故此选项符合题意．
故选：D．
2．如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（　　）

A．160° B．110° C．100° D．70°
【分析】利用三角形的内角和定理，由AD⊥EF，∠A＝20°可得∠ABD＝70°，由平行线的性质定理可得∠ACH，易得∠ACG．
【解答】解：∵AD⊥EF，∠A＝20°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∵EF∥GH，
∴∠ACH＝∠ABD＝70°，
∴∠ACG＝180°﹣∠ACH＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
3．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 B．2a+3a＝5a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a2•a3＝a6
【分析】分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故本选项符合题意；
B、2a+3a＝5a，故本选项不合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
故选：A．
4．点P1（a﹣1，2）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（　　）
A．﹣32021 B．1 C．32021 D．52021
【分析】先根据关于x轴对称得出a﹣1＝3且b﹣1＝﹣2，求出a、b的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵点P1（a﹣1，2）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝3且b﹣1＝﹣2，
解得：a＝4，b＝﹣1，
∴（a+b）2021＝（4﹣1）2021＝32021，
故选：C．
5．如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，E为格点．⊙O为大正方形的内切圆，BC交⊙O于点D，则cos∠AED＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】证明∠AED＝∠ABC，求出cos∠ABC即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝1，AB＝2，
∴BC＝＝＝，
∴cos∠ABC＝＝＝，
∵∠AED＝∠ABC，
∴cos∠AED＝cos∠ABC＝，
故选：B．
6．以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（　　）
A．（cosα，1） B．（1，sinα）
C．（sinα，cosα） D．（cosα，sinα）
【分析】作PA⊥x轴于点A．那么OA是α的邻边，是点P的横坐标，为cosα；PA是α的对边，是点P的纵坐标，为sinα．
【解答】解：作PA⊥x轴于点A，则∠POA＝α，
sinα＝，
∴PA＝OP•sinα，
∵cosα＝，
∴OA＝OP•cosα．
∵OP＝1，
∴PA＝sinα，OA＝cosα．
∴P点的坐标为（cosα，sinα）
故选：D．

7．某青年排球队12名队员的年龄情况如表：
年龄
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和中位数是（　　）
A．19，20.5 B．19，19 C．19，20 D．20，19
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：排球队12名队员的年龄出现次数最多的是19岁，共有4人，因此年龄的众数是19，
将排球队12名队员的年龄从小到大排列处在中间位置的两个数都是20岁，因此中位数是20，
故选：C．
8．某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h，则列方程是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】首先根据行程问题中速度、时间、路程的关系：时间＝路程÷速度，用列车提速前行驶的路程除以提速前的速度，求出列车提速前行驶skm用的时间是多少；然后用列车提速后行驶的路程除以提速后的速度，求出列车提速后行驶s+50km用的时间是多少；最后根据列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，列出方程即可．
【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是＝．
故选：A．
9．二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【分析】把二次函数y＝x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y＝x2的图象平移而得到．
【解答】解：根据题意y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．
故选：B．
10．下列命题：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是3；④对于任意实数m，关于x的方程x2+（m+3）x+m+2＝0有两个不相等的实数根．其中正确的命题个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用中点四边形的判定、平行四边形的对称性、算术平方根的定义及一元二次方程的根的情况进行判断后即可确定正确的答案．
【解答】解：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，正确，符合题意；
②平行四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；
③的算术平方根是，故原命题错误，不符合题意；
④∵对于任意实数m，关于x的方程x2+（m+3）x+m+2＝0的△＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m﹣1）2≥0，∴有两个实数根，故原命题错误，不符合题意，
正确的有1个，
故选：A．
11．如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，若∠MON＝54°，则∠APB的度数为（　　）

A．153° B．144° C．163° D．162°
【分析】通过证明△AOP∽△POB可得∠OAP＝∠OPB，即可解决问题．
【解答】解：∵OP平分∠MON，
∴∠AOP＝∠BOP＝27°，
∵OA•OB＝OP2，即，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，
∴∠OAP+∠APO＝153°，
∴∠OPB+∠APO＝153°，即∠APB＝153°，
故选：A．
12．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EP相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G；P为线段BM上一动点，有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM＝1；③△BMG是等边三角形；④QN＝BG；⑤若H是BN的中点，则PN+PH的最小值是，其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③④⑤ B．①②③ C．②③④ D．①③④⑤
【分析】先证明BN＝2BE，推出∠ENB＝30°，再利用翻折不变性以及直角三角形、等边三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：在Rt△BEN中，∵BN＝AB＝2BE，
∴∠ENB＝30°，
∴∠ABN＝60°，故①正确，
∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBG＝30°，
∴AM＝AB•tan30°＝，故②错误，
∵∠AMB＝∠BMN＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠GBM＝∠AMB＝60°，
∴∠MBG＝∠BMG＝∠BGM＝60°，
∴△BMG为等边三角形，故③正确．
∴BG＝BM＝2AM＝，
∵EF∥BC∥AD，AE＝BE，
∴BQ＝QM，MN＝NG，
∴QN是△BMG的中位线，
∴QN＝BG，故④正确．
连接PE．
∵BH＝BE＝1，∠MBH＝∠MBE，
∴E、H关于BM对称，
∴PE＝PH，
∴PH+PN＝PE+PN，
∴E、P、N共线时，PH+PN的值最小，最小值＝EN＝，故⑤正确，
故选：D．

二.填空题（共8小题，满分40分，每小题5分）
13．（5分）在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝20°，则∠A＝　100　度．
【分析】根据三角形的内角和定理可得．
【解答】解：∠A＝180°﹣60°﹣20°＝100°．
故填100．
14．（5分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　（，2）或（﹣，﹣2）　．
【分析】根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，点A的坐标为（2，3），
∴点A1的坐标为（2×，3×）或（2×（﹣），3×（﹣）），
即（，2）或（﹣，﹣2），
故答案为：（，2）或（﹣，﹣2）．
15．（5分）分式方程：的解是x＝　﹣1　．
【分析】本题考查解分式方程的能力，观察分母，可得最简公分母为x（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣1），得
2x﹣（x﹣1）＝0，
解得x＝﹣1．
经检验x＝﹣1是原方程的解．
16．（5分）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA的值是　　．

【分析】作OM⊥AB于M，由垂径定理得出AM＝BM＝AB＝4cm，由勾股定理求出OM，再由三角函数的定义即可得出结果．
【解答】解：作OM⊥AB于M，如图所示：
则AM＝BM＝AB＝4cm，
∴OM＝＝＝2（cm），
∵PM＝PB+BM＝6cm，
∴tan∠OPA＝＝＝；
故答案为：．

17．（5分）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为　10人　．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
依题意得：（1+x）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
故答案为：10人．
18．（5分）一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字﹣3，1，，2，它们除所标数字外完全相同，摇匀后从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之积是正数的概率为　　．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两球上所标数字之积是正数的情况，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：

1
2

﹣3
1
﹣﹣﹣
（2，1）
（，1）
（﹣3，1）
2
（1，3）
﹣﹣﹣
（，2）
（﹣3，2）

（1，）
（2，）
﹣﹣﹣
（﹣3，）
﹣3
（1，﹣3）
（2，﹣3）
（，﹣3）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两球上所标数字之积是正数的情况有6种，
则两球所标数字之积是正数的概率为＝，
故答案为：．
19．（5分）有一组单项式：a2，﹣，，﹣，…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第2n个单项式为　（﹣1）2n+1•　．
【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数的变化特点和字母指数的变化特点，然后即可写出第n个单项式，从而可以写出第2n个单项式．
【解答】解：∵有一组单项式：a2，﹣，，﹣，…，
∴第n个单项式为：（﹣1）n+1•，
∴第2n个单项式为：（﹣1）2n+1•，
故答案为：（﹣1）2n+1•．
20．（5分）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线y＝kx﹣1（k≠0，x＞0）与边AB、BC分别交于点N、F，连接ON、OF、NF．若∠NOF＝45°，NF＝2，则点C的坐标为　（0，+1）　．

【分析】将△OAN绕点O逆时针旋转90°，点N对应N′，点A对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C重合，以及F、C、N′共线，通过角的计算即可得出∠N'OF＝∠NOF＝45°，结合ON′＝ON、OF＝OF即可证出△N'OF≌△NOF（SAS），由此即可得出N′M＝NF＝2，再由（1）△OCF≌△OAN即可得出CF＝AN，通过边与边之间的关系即可得出BN＝BF，利用勾股定理即可得出BN＝BF＝，设OC＝a，则N′F＝2CF＝2（a﹣），由此即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出点C的坐标．
【解答】解：将△OAN绕点O逆时针旋转90°，点N对应N′，点A对应A′，如图所示．

∵OA＝OC，
∴OA′与OC重合，点A′与点C重合．
∵∠OCN′+∠OCF＝180°，
∴F、C、N′共线．
∵∠COA＝90°，∠FON＝45°，
∴∠COF+∠NOA＝45°．
∵△OAN旋转得到△OCN′，
∴∠NOA＝∠N′OC，
∴∠COF+∠CON'＝45°，
∴∠N'OF＝∠NOF＝45°．
在△N'OF与△NOF中，
．
∴△N′OF≌△NOF（SAS）．
∴NF＝N'F＝2．
∵△OCF≌△OAN，
∴CF＝AN．
又∵BC＝BA，
∴BF＝BN．
又∠B＝90°，
∴BF2+BN2＝NF2．
∴BF＝BN＝．
设OC＝a，则CF＝AN＝a﹣．
∵△OAN旋转得到△OCN′，
∴AN＝CN'＝a﹣．
∴N'F＝2（a﹣）．
又∵N'F＝2，
∴2（a﹣）＝2．
解得：a＝+1．
∴C（0，+1）．
故答案是：（0，+1）．
三.解答题：（本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程.）
21．（12分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解．
【分析】（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解，继而代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3×﹣2+1
＝﹣1+﹣2+1
＝0；

（2）原式＝（+）÷
＝÷
＝•
＝，
解不等式组得＜a＜3，
∴不等式组的整数解为a＝2，
则原式＝＝．
22．（12分）如图，反比例函数（k≠0）与一次函数y2＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出满足y1≤y2的取值范围；
（3）若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）作A关于y轴的对称点A′，连接A′B，与y轴的交点即为Q点，此时AQ+BQ的和最小，根据待定系数法求得直线A′B的解析式，进而即可求得Q的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数（k≠0）与一次函数y2＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
∴3＝，3＝﹣1+b，
∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；
（2）由图象可得：满足y1≤y2的取值范围是1≤x≤3或x＜0．
（3）∵A（1，3），
∴A关于y轴的对称点A′的坐标为（﹣1，3），
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，则y＝，
∴Q（0，）．

23．（12分）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE＝CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF．
（2）利用平行四边形的性质结合平行四边形的判定与性质得出四边形DEBF为平行四边形，进而得出BF＝DC＝DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，
又∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边DC的中点，
∴BF＝DC＝DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

24．（12分）为方便教师利用多媒体进行教学，某学校计划采购A，B两种类型的激光翻页笔．已知购买2支A型激光翻页笔和4支B型激光翻页笔共需180元；购买4支A型激光翻页笔和2支B型激光翻页笔共需210元．
（1）求A，B两种类型激光翻页笔的单价．
（2）学校准备采购A，B两种类型的激光翻页笔共60支，且A型激光翻页笔的数量不少于B型激光翻页笔数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设购买一支A型激光翻页笔需要a元，购买一支B型激光翻页笔需要b元，根据“购买2支A型激光翻页笔和4支B型激光翻页笔共需180元；购买4支A型激光翻页笔和2支B型激光翻页笔共需210元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A型激光翻页笔x支，则购买B型激光翻页笔（60﹣x）支，根据“A型激光翻页笔的数量不少于B型激光翻页笔数量的2倍”列不等式求出x的取值范围；设购买两种类型的激光翻页笔的总费用为w元，根据题意得出w与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设购买一支A型激光翻页笔需要a元，购买一支B型激光翻页笔需要b元，
根据题意，得，解得，
答：购买一支A型激光翻页笔需要40元，购买一支B型激光翻页笔需要25元；
（2）设购买A型激光翻页笔x支，则购买B型激光翻页笔（60﹣x）支，设购买两种类型的激光翻页笔的总费用为w元，
根据题意，得x≥2（60﹣x），解得x≥40，
根据题意，可得w＝40x+25（60﹣x）＝15x+1500，
∵15＞0，且w是x的一次函数，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w取最小值，此时60﹣x＝20，
答：当购买A型激光翻页笔40支，则购买B型激光翻页笔20支时最省钱．
25．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求dh的值．

【分析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得＝，由等腰三角形的性质可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；
（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接OD，OB，OC，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD，
又∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，

∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB•AC＝AH•AF＝d•h，
∵AB＝4，AC＝3，
∴dh＝12．
26．（14分）如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限；
①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将C（0，﹣3）代入抛物线的解析式求得k的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接AC，过点M作MD⊥AC，交AD于点D．先求得点A、B的坐标，然后再求得直线AC的解析式，设M（x，x2+2x﹣3），则D（x，﹣x﹣3），则MD＝﹣x2﹣3x，然后依据四边形AMCB的面积＝△ABC面积+△AMC面积列出S与x的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，从而可求得点M的坐标；
（3）先求得抛物线的对称轴方程为x＝﹣1，然后过点M作MD⊥直线x＝﹣1，垂足为D，设直线x＝﹣1与x轴交于点E，先证明△APE≌△PMD，从而得到EP＝MD，AE＝PD．设点P（﹣1，a），点M（a﹣1，a﹣2）．将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M与点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝（x+1）2+k与y轴交于点C（0，﹣3）
﹣3＝1+k，得，k＝﹣4
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3．
（2）如图1所示：连接AC，过点M作MD⊥AC，交AD于点D．

令y＝0得：x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b．
∵将A（﹣3，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得k＝﹣1，b＝﹣3．
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3．
设M（x，x2+2x﹣3），则D（x，﹣x﹣3），则MD＝﹣x2﹣3x．
∵四边形AMCB的面积＝△ABC面积+△AMC面积，
∴四边形AMCB的面积＝MD•AO+AB•OC＝×（﹣x2﹣3x）×3+×4×3＝﹣x2﹣x+6＝﹣（x+）2+．
∴当x＝﹣时，S最大值为，点M的坐标为（﹣，﹣）．
（3）存在，理由如下．
∵x＝﹣＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1．
如图2所示：过点M作MD⊥直线x＝﹣1，垂足为D，设直线x＝﹣1与x轴交于点E

∵△APM为等腰直角三角形，
∴AP＝PM，∠APE+∠MPD＝90°．
∵∠MPD+∠PMD＝90°，
∴∠PMD＝∠APE．
在△APE和△PMD中，
∴△APE≌△PMD．
∴EP＝MD，AE＝PD．
设点P（﹣1，a），点M（a﹣1，a﹣2）．
将M点代入y＝x2+2x﹣3中，得（a﹣1）2+2（a﹣1）﹣3＝a﹣2，整理得：a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1，
∵点P在x轴的下方，
∴a＝﹣1．
∴P（﹣1，﹣1）、M（﹣2，﹣3）．