2022高考数学一轮复习专题26 三次函数的图像与性质（原卷）

专题26  三次函数的图像与性质

一、题型选讲

题型一 、三次函数的切线问题

     三次函数的切线问题关键就是求出切线的斜率以及切点，要注意切点的横坐标、斜率以及切线方程的密切联系。

例1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

例2、【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　　　）

A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x

题型二、 运用三次函数的图像研究零点问题

遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.

例3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是  ▲  ．

例4、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝当x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m的取值范围是________．

题型三、三次函数的单调性问题

研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。

例5、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．

例6、【吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中2020届高三（5月份）模拟】已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）若，求不等式的解集.

题型四、三次函数的极值与最值问题

①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；② 通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化.

函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试.

例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，极小值是，则(    )

A．与有关，且与有关 B．与有关，且与无关

C．与无关，且与无关 D．与无关，且与有关

例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知函数，若函数有三个互不相同的零点0，，，其中，若对任意的，都有成立，则实数的最小值为______.

例9、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．

例10、（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：；

（3）若这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．

二、达标训练

1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

2、【2014年新课标1理科11】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　　　）

A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）

3、【2013年新课标2理科10】已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　　　）

A．∃x0∈R，f（x0）＝0 

B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 

C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减 

D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0

4、【2020届百师联盟高三练习题四】若函数在上存在唯一极值点，则实数的取值范围是__________.

5、【2019届福建省宁德市高三质量检查】若函数有最小值，则实数的取值范围为______．

6、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)＝设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为________．

7、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是  ▲  ．

8、【2020年全国3卷理科21】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

9、【2019年新课标3理科20】已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．

10、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax3＋bx2－4a(a，b∈R)．

(1) 当a＝b＝1时，求f(x)的单调增区间；

(2) 当a≠0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求的值；

(3) 当a＝0时，若f(x)<lnx的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．