数学第二十二章 四边形综合与测试精品习题

八年级数学下册第二十二章四边形综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(       )

A．测量对角线是否互相平分 B．测量一组对角是否都为直角

C．测量对角线长是否相等 D．测量3个角是否为直角

2、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）

A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变

3、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（       ）

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定

4、如图，五边形中，，CP，DP分别平分，，则（　　　）

A．60° B．72° C．70° D．78°

5、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）

A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°

6、如图，已知长方形，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点不动时，那么下列结论成立的是（     ）

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少

C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小

7、如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（       ）

A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小

8、如图，在正方形ABCD中，，点E在对角线AC上，若，则CDE的面积为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

9、若n边形每个内角都为156°，那么n等于（       ）

A．8 B．12 C．15 D．16

10、如图，在中，DE平分，，则（       ）

A．30° B．45° C．60° D．80°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______．

2、如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．

3、如图，点M，N分别是的边AB，AC的中点，若，，则______．

4、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，与AD交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为 ___．

5、如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：________，可使它成为正方形．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．

(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；

(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．

2、如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠C=75°，∠ADE为四边形ABCD的一个外角，且∠ADE＝125°,试求出∠B的度数.

3、已知正多边形的内角和比外角和大720°，求该正多边形所有对角线的条数．

4、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．

①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为      ；

②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为      ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式      ．

（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?

①方法1：一路往下数，不回头数．

以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；

以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；

以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；

以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；

则图中锐角的总个数是      ；

②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是      ；

用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式      ．

（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．

①计算：19782＋20222；

②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有      条对角线，n边形共有      条对角线．

5、如图，在中，，，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分．

(1)如图1，若，，求CD的长；

(2)如图2，若G为EF上一点，且，求证：．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．

【详解】

解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；

B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；

C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；

D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

连接AE，根据，推出，由此得到答案．

【详解】

解：连接AE，

∵，

∴，

故选：D．

．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE是解题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．

【详解】

解：连接AR．

因为E、F分别是AP、RP的中点，

则EF为的中位线，

所以，为定值．

所以线段的长不改变．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．

4、C

【解析】

【分析】

根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数．

【详解】

解：五边形的内角和等于，，

，

、的平分线在五边形内相交于点，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．

5、A

【解析】

【分析】

利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AD，∠DBC=45°，

∵BE=AD，

∴BE=BC，

∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，

∵AC⊥BD，

∴∠COE=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，

故选：A．

【点睛】

本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．

【详解】

解：连接．

、分别是、的中点，

为的中位线，

，为定值．

线段的长不改变．

故选：．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．

7、A

【解析】

【分析】

根据题意，作交的延长线于，证明是的角平分线即可解决问题．

【详解】

解：作交的延长线于，

 ∵四边形 是正方形，

 ∴，

，

 ∵，

 ∴，，

 ∴，

 ∴，

 ∴，

 ∵四边形是平行四边形，

 ∴，，

 ∵， ，

 ∴，

 ∵，．

 ∴，

 ∴，，

 ∴，

 ∴，

 ∵，

∴，

 ∴是的角平分线，

 ∴点的运动轨迹是的角平分线，

∵，

由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小，

故选：A ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

8、A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．

【详解】

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠BAC=DAC，

∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE，

∴=5，同理△CBE≌△CDE，

∴，

∵，

∴CDE的面积为： =3，

故选A．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答．

9、C

【解析】

【分析】

首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．

【详解】

解：由题意可知：n边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，

则n=360°÷24°=15．

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．

10、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质得，故，由DE平分得，即可计算．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴，

∵DE平分，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

二、填空题

1、（，0）

【解析】

【分析】

利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．

【详解】

由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，

∵OB＝＝＝，

∴OP＝，

∴点P的坐标为（，0）．

故答案为：（，0）．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．

2、11

【解析】

【分析】

作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而 CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．

【详解】

如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB

由对称的性质得：PC=PG，GD=CD

∵GP+PM+BM≥BG

∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM

则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM

∵四边形ABCD是矩形

∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°  

∴CG=2CD=12

∵M为线段EF的中点，且EF=4

∴

在Rt△BCG中，由勾股定理得：

∴GM=BG－BM=13－2=11

即CP+PM的最小值为11．

【点睛】

本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．

3、45°##45度

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理得出，进而利用平行线的性质解答即可．

【详解】

解：、分别是的边、的中点，

，

，

，，

，

，

故答案是：．

【点睛】

本题考查三角形中位线定理，解题的关键是根据三角形中位线定理得出．

4、3

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得，，结合图形，利用线段间的数量关系可得，由平行线及角平分线可得，，得出，根据等角对等边即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，，

∵，

∴，

∵，BE平分，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：3．

【点睛】

题目主要考查平行四边形的性质，利用角平分线计算及平行线的性质，等角对等边求边长等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．

5、

【解析】

【分析】

根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．

【详解】

解：由于四边形 是菱形，

如果 ，

那么四边形是正方形．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．

三、解答题

1、 (1)

(2)，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;

（2）方法同（1）．

(1)

解：如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点, ，，

,，

，，

,，

，

在中，，

(2)

，理由如下，

如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点,，

,，

，

,，

，

在中，，

即

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．

2、150°

【解析】

【分析】

先根据邻补角的定义求出∠ADC的度数，再根据四边形的内角和求出∠B的度数．

【详解】

解：∵∠ADE为四边形ABCD的一个外角，且∠ADE＝125°，

∴∠ADC=180°-∠ADE＝55°，

∵∠A+∠B+∠C+∠ADE＝360°，

∴∠B=360°-∠A-∠C-∠ADE＝360°-80°-75°-55°=150°．

【点睛】

此题考查了多边形外角定义，多边形的内角和，熟记多边形的内角和进行计算是解题的关键．

3、20条

【解析】

【分析】

多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，根据正多边形内角和与外角和的差等于720°，列方程求出正多边形的边数．然后根据n边形共有条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．

【详解】

解：设此正多边形为正n边形．

由题意得：，

解得n＝8，

∴此正多边形所有的对角线条数为：＝20．

答：这个正多边形的所有对角线有20条．

【点睛】

此题考查多边形的边数与对角线条数,一元一次方程，解题关键在于掌握多边形内角和公式和外角和，以及对角线条数计算公式.．

4、（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)

【解析】

【分析】

（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可；

②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；

（2）①根据题中的数据求和即可；

②根据题意求解即可；

（3）①利用（1）的规律求解即可；

②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案．

【详解】

解：（1）①大正方形的面积为；

②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为；

可以得到等式：=；

故答案为：①；②；=；

（2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；

②锐角的总个数是n（n－1）；

可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；

故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；

（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2

＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22

＝2×（20002＋222）

＝2×[4000000＋（20＋2）2]

＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；

②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2；

一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5；

一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9；

……，

一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线；

一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．

故答案为：119，n(n-3)．

【点睛】

本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．

5、 (1)7

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，可得∠EBF=∠CFB，再由∵FB平分，可得∠EFB=∠EBF，从而得到BE=EF=5，即可求解；

（2）再CF上截取FN=FG，可得，从而得到∠BGF=∠BNF，再由∠GBF=∠EFD，可得到∠BFD=∠BNC，再根据BC⊥BD，∠BCD=45°，可得BC=BD，从而证得△BDF≌△BCN，进而得到NC=FD，即可求证．

(1)

解：在中，AB∥CD，AB=CD，

∴∠EBF=∠CFB，

∵FB平分，

∴∠EFB=∠CFB，

∴∠EFB=∠EBF，

∴BE=EF=5，

∵AE=2，

∴CD=AB=AE+BE=7；

(2)

证明：如图，再CF上截取FN=FG，

∵，

∴ ，

∴∠BGF=∠BNF，

∵ ，∠BFG+∠BGF+∠GBF=180°，∠GBF=∠EFD，

∴∠BGF=∠BFN，

∴∠BFN=∠BNF，

∴∠BFD=∠BNC，

∵BC⊥BD，

∴∠CBD=90°，

∵∠BCD=45°，

∴∠BDC=∠BCD=45°，

∴BC=BD，

∴△BDF≌△BCN（AAS），

∴NC=FD，

∴CD=DF+FN+CN=2FD+FG，

∵AB=CD，

∴FG+2FD=AB．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．