高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.7(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.7(教师版)，共12页。

A级
一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝eq \f(1,3).故选C.
2．若某一随机变量X的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－eq \f(n,2)的值为( )
A．－0.2 B．0.2 C．0.1 D．－0.1
答案 B
解析 由m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，可得m＝n＝0.4，m－eq \f(n,2)＝0.2.故选B.
3．袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( )
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7
C．1,2，…，11 D．1,2,3，…
答案 B
解析 除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B.
4．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
则q等于( )
A．1 B．1±eq \f(\r(2),2) C．1－eq \f(\r(2),2) D．1＋eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 由分布列的性质得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤1－2q<1，,0≤q2<1，,0.5＋1－2q＋q2＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(05．已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X)＝6.9，则a的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 因为在分布列中，各变量的概率之和为1，所以m＝1－(0.2＋0.5)＝0.3，由数学期望的计算公式，可得4×0.3＋a×0.2＋9×0.5＝6.9，a＝6，故选B.
6．已知离散型随机变量X的分布列为
则P(eq \r(X)∈Z)＝( )
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6
答案 A
解析 由分布列性质得0.5＋1－2q＋eq \f(1,3)q＝1，解得q＝0.3，
∴P(eq \r(X)∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.
7．(2017·泰安模拟)若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
答案 B
解析 显然P(X＞x2)＝β，P(Xx2)－P(X8．若随机变量X的分布列为
则当P(XA．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2)
答案 C
解析 由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X9．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))的是( )
A．P(ξ＝3) B．P(ξ≥2) C．P(ξ≤3) D．P(ξ＝2)
答案 D
解析 依题意知，eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))是取了3次，所以取出白球应为2个．故选D.
10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E(η)＝1，则a的值为( )
A．2 B．－2 C．1.5 D．3
答案 A
解析 由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,4，则ξ的分布列为
∴E(ξ)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝eq \f(3,2)，∵η＝aξ－2，E(η)＝1，∴aE(ξ)－2＝1，∴eq \f(3,2)a－2＝1，解得a＝2.故选A.
二、填空题
11．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.
答案 10
解析 由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n.所以取到每个数的概率均为eq \f(1,n).
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(3,n)＝0.3，∴n＝10.
12．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________．
答案
解析 X的取值为3,4,5.又P(X＝3)＝eq \f(1,C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(X＝5)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).
∴随机变量X的分布列为
13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
答案 eq \f(3,10)
解析 ξ可能取的值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,4),C\\al(2,4)C\\al(2,6))＝eq \f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,4)＋C\\al(2,3)C\\al(1,2)C\\al(1,4),C\\al(2,4)C\\al(2,6))＝eq \f(7,15)，
又P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(2,4)C\\al(2,6))＝eq \f(1,30)，
∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(7,15)－eq \f(1,30)＝eq \f(3,10).
14．如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.
答案 eq \f(4,5)
解析 解法一：由已知，ξ的取值为7,8,9,10，
∵P(ξ＝7)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,5)，P(ξ＝8)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,1)＋C\\al(1,2)C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(ξ＝9)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,2)C\\al(1,1),C\\al(3,5))＝eq \f(2,5)，P(ξ＝10)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,1),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
∴ξ的概率分布列为
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝eq \f(3,10)＋eq \f(2,5)＋eq \f(1,10)＝eq \f(4,5).
解法二：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝eq \f(4,5).
B级
三、解答题
15．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．
(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得的代金券总和X(单位：元)的分布列与数学期望．
解 (1)由题意可知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋0.015，,0.01＋0.015×2＋b＋a×10＝1，))
解得a＝0.035，b＝0.025.
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．
从该10人中抽取3人，此3人所获得的代金券的总和为X(单位：元)，
则X的所有可能取值为150,200,250,300.
P(X＝150)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,6)，P(X＝200)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(1,4),C\\al(3,10))＝eq \f(1,2)，
P(X＝250)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(2,4),C\\al(3,10))＝eq \f(3,10)，P(X＝300)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,10))＝eq \f(1,30).
X的分布列为
E(X)＝150×eq \f(1,6)＋200×eq \f(1,2)＋250×eq \f(3,10)＋300×eq \f(1,30)＝210.
16．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为eq \f(1,2)，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝eq \f(4,16)×eq \f(1,16)＋eq \f(1,16)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,64).
(2)X可能的取值为400,500,800，并且
P(X＝400)＝1－eq \f(4,16)－eq \f(1,16)＝eq \f(11,16)，P(X＝500)＝eq \f(1,16)，P(X＝800)＝eq \f(1,4).
所以X的分布列为
E(X)＝400×eq \f(11,16)＋500×eq \f(1,16)＋800×eq \f(1,4)＝506.25.
17．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：
①若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01)；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程y＝eq \(b,\s\up16(^))x＋eq \(a,\s\up16(^))，
其中eq \(b,\s\up16(^))＝eq \f(\(∑,\s\up16(n),\s\d10(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up16(n),\s\d10(i＝1)) xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up16(^))＝eq \(y,\s\up16(－))－eq \(b,\s\up16(^))eq \x\t(x).
解 (1)依据分层抽样的方法，
24名女同学中应抽取的人数为eq \f(7,42)×24＝4名，
18名男同学中应抽取的人数为eq \f(7,42)×18＝3名，
故不同的样本的个数为Ceq \\al(4,24)Ceq \\al(3,18).
(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴ξ的取值为0,1,2,3.
∴P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35).
∴ξ的分布列为
∴E(ξ)＝0×eq \f(4,35)＋1×eq \f(18,35)＋2×eq \f(12,35)＋3×eq \f(1,35)＝eq \f(9,7).
②∵eq \(b,\s\up16(^))＝eq \f(526,812)≈0.65，eq \(a,\s\up16(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up16(^))eq \x\t(x)＝83－0.65×76＝33.60.
∴线性回归方程为y＝0.65x＋33.60.
当x＝96时，y＝0.65×96＋33.60＝96.
可预测该同学的物理成绩为96分．
18．某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式．参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分．已知小明三科考试都达到优秀的概率为eq \f(1,24)，至少一科考试优秀的概率为eq \f(3,4)，数学考试达到优秀的概率为eq \f(1,3)，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立．
(1)求小明语文考试达到优秀的概率；
(2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望．
解 (1)依题意，设小明语文考试达到优秀的概率为p1，科学考试达到优秀的概率为p2，且p1>p2，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)p1p2＝\f(1,24)，,1－1－p1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))1－p2＝\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p1＝\f(1,2)，,p2＝\f(1,4)，))
则小明语文考试达到优秀的概率为eq \f(1,2).
(2)记小明三科的总得分为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X＝0)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,8)，P(X＝3)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(5,24)，
P(X＝4)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12)，P(X＝5)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24)，
P(X＝6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24).
则X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,8)＋3×eq \f(5,24)＋4×eq \f(1,12)＋5×eq \f(1,24)＋6×eq \f(1,24)＝eq \f(23,12).
X
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
X
－1
0
1
P
0.5
1－2q
q2
X
4
a
9
P
m
0.2
0.5
X
0
1
2
P
0.5
1－2q
eq \f(1,3)q
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,20)
eq \f(1,10)
eq \f(3,20)
eq \f(1,5)
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
ξ
7
8
9
10
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,10)
eq \f(2,5)
eq \f(1,10)
X
150
200
250
300
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
400
500
800
P
eq \f(11,16)
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
学生序号i
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩xi
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩yi
70
77
80
85
90
86
93
eq \x\t(x)
eq \x\t(y)
eq \(∑,\s\up16(7),\s\d10(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))2
eq \(∑,\s\up16(7),\s\d10(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))
76
83
812
526
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
X
0
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,8)
eq \f(5,24)
eq \f(1,12)
eq \f(1,24)
eq \f(1,24)