高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.4(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.4(教师版)，共12页。

一、选择题
1．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么( )
A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离
答案 C
解析 ∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2eq \f(r2,r)＝r，∴m∥l，l与圆相离．故选C.
2．已知向量a＝(2csα，2sinα)，b＝(3csβ，3sinβ)，若a与b的夹角为120°，则直线6xcsα－6ysinα＋1＝0与圆(x－csβ)2＋(y＋sinβ)2＝1的位置关系是( )
A．相交且不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
答案 A
解析 由题意可得a·b＝6csαcsβ＋6sinαsinβ＝|a|·|b|cs120°
＝2×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－3，
所以圆心(csβ，－sinβ)到直线6xcsα－6ysinα＋1＝0的距离
d＝eq \f(|6csαcsβ＋6sinαsinβ＋1|,6)＝eq \f(|－3＋1|,6)＝eq \f(1,3)<1，
故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心，故选A.
3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4eq \r(2)
C．6 D．2eq \r(10)
答案 C
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为C(2,1)，半径r＝2，由直线l是圆C的对称轴，知直线l过圆心C，所以2＋a×1－1＝0，a＝－1，所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝eq \r(|AC|2－22)＝eq \r(40－4)＝6.故选C.
4．直线l：x＋4y＝2与圆C：x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则csα＋csβ＝( )
A.eq \f(18,17) B．－eq \f(12,17)
C．－eq \f(4,17) D.eq \f(4,17)
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由三角函数的定义得csα＋csβ＝x1＋x2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4y＝2，,x2＋y2＝1，))消去y，得17x2－4x－12＝0，则x1＋x2＝eq \f(4,17)，
即csα＋csβ＝eq \f(4,17).故选D.
5．已知圆O：x2＋y2＝4，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)，\f(8,9))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,9)，\f(4,9)))
C．(2,0) D．(9,0)
答案 A
解析 因为P是直线x＋2y－9＝0上的动点，所以设P(9－2m，m)，
因为圆x2＋y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A，B在以OP为直径的圆上，
设其圆心为C，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9－2m,2)，\f(m,2)))，
且半径的平方是r2＝eq \f(9－2m2＋m2,4)，
所以圆C的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9－2m,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(m,2)))2＝eq \f(9－2m2＋m2,4)，①
又x2＋y2＝4，②
②－①得，(2m－9)x－my＋4＝0，即公共弦AB所在的直线方程是
(2m－9)x－my＋4＝0，即m(2x－y)＋(－9x＋4)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,－9x＋4＝0，))得x＝eq \f(4,9)，y＝eq \f(8,9)，
所以直线AB恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)，\f(8,9)))，故选A.
6．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
答案 B
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，
即kx－y＋4k＝0.则有eq \f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，∴k＝－eq \f(5,12).
此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.故选B.
7．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案 C
解析 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为eq \r(2).因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，所以点(a，b)到圆心的距离d＝eq \r(a＋12＋b－22)＝eq \r(a＋12＋a－3－22)
＝eq \r(2a2－8a＋26)＝eq \r(2a－22＋18).所以当a＝2时，d取最小值eq \r(18)＝3eq \r(2)，此时切线长最小，为eq \r(3\r(2)2－\r(2)2)＝eq \r(16)＝4，故选C.
8．已知a，b是实数，若圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与直线(a＋1)x＋(b＋1)y－2＝0相切，则a＋b的取值范围是( )
A．[2－2eq \r(2)，2＋eq \r(2)]
B．(－∞，2－2eq \r(2)]∪[2＋2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－2eq \r(2)]∪[2eq \r(2)，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2＋2eq \r(2)，＋∞)
答案 B
解析 ∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与直线(a＋1)x＋(b＋1)y－2＝0相切，
∴圆心到直线的距离d＝eq \f(|a＋b|,\r(a＋12＋b＋12))＝1，即ab＝a＋b＋1，
∴a＋b＋1≤eq \f(a＋b2,4)，∴a＋b≤2－2eq \r(2)或a＋b≥2＋2eq \r(2)，故选B.
9．曲线y＝1＋eq \r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,12))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4)))
答案 D
解析 根据题意画出图形，如图所示．
由题意可得，直线l过A(2,4)，B(－2,1)，
又曲线y＝1＋eq \r(4－x2)图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，
即eq \f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(5,12)；
当直线l过B点时，直线l的斜率为eq \f(4－1,2－－2)＝eq \f(3,4)，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，
实数k的范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4))).故选D.
10．若圆C1：(x－m)2＋(y－2n)2＝m2＋4n2＋10(mn>0)始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2的周长，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为( )
A.eq \f(9,2) B．9
C．6 D．3
答案 D
解析 把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为
(m＋1)x＋(2n＋1)y＋5＝0，
由题意知直线l经过圆C2的圆心(－1，－1)，因而m＋2n＝3.
∴eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋2n)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2n,m)＋\f(2m,n)))≥eq \f(1,3)(5＋4)＝3，m＝n时取等号．∴eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为3，故选D.
二、填空题
11．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为________．
答案 －3或7
解析 由题意可知，将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度后，所得直线l的方程为2(x＋1)－y＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O(－1,2)，半径为eq \r(5).
解法一：直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离等于圆的半径，即eq \f(|2×－1＋1－2＋λ|,\r(5))＝eq \r(5)，解得λ＝－3或λ＝7.
解法二：设直线l与圆相切的切点为C(x，y)，由直线与圆相切，可知CO⊥l，所以eq \f(y－2,x＋1)×2＝－1.又C(x，y)在圆上，满足方程x2＋y2＋2x－4y＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C(x，y)在直线2(x＋1)－y＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.
12．过点(eq \r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 曲线y＝eq \r(1－x2)的图象如图所示．
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k<0，
设l：y＝k(x－eq \r(2))，则点O到l的距离d＝eq \f(－\r(2)k,\r(k2＋1))，
又S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(1－d2)·d＝eq \r(1－d2·d2)≤eq \f(1－d2＋d2,2)＝eq \f(1,2)，
当且仅当1－d2＝d2，即d2＝eq \f(1,2)时，S△AOB取得最大值．
所以eq \f(2k2,k2＋1)＝eq \f(1,2).∴k2＝eq \f(1,3)，∴k＝－eq \f(\r(3),3).
13．在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
答案 [－5eq \r(2)，1]
解析 设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－12－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，6－y)．
∵eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，
整理得：x2＋y2＋12x－6y－20≤0，
即(x＋6)2＋(y－3)2≤65.
∴点P在以(－6,3)为圆心，eq \r(65)为半径的圆面上(包括边界)，
又∵点P在圆O：x2＋y2＝50上，
∴点P的横坐标的取值范围为[－5eq \r(2)，5eq \r(2)]．
当x＝－5eq \r(2)时，y＝0满足(x＋6)2＋(y－3)2≤65，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋12x－6y－20＝0 ①，,x2＋y2＝50 ②，))
得：2x－y＋5＝0.
代入②得x2＋4x－5＝0，
x1＝－5，x2＝1，
∴点P的横坐标的取值范围为[－5eq \r(2)，1]．
14．已知圆C1：(x－2csθ)2＋(y－2sinθ)2＝1与圆C2：x2＋y2＝1，给出下列说法：
①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；
②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；
③当θ＝eq \f(π,6)时，圆C1被直线l：eq \r(3)x－y－1＝0截得的弦长为eq \r(3)；
④若P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4.
其中正确说法的序号为________．(填上所有正确说法的序号)
答案 ①③④
解析 对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和(此时两圆半径相等，排除内切的可能)，由题意知圆C1的半径为1，圆心为(2csθ，2sinθ)，圆C2的半径为1，圆心为(0,0)，所以两个圆的圆心距为eq \r(2csθ－02＋2sinθ－02)＝eq \r(4cs2θ＋4sin2θ)＝2，又两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意的θ，圆C1和圆C2始终相切，所以①正确；对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，当θ＝eq \f(π,6)时，圆C1的方程为(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1，则圆C1的圆心为(eq \r(3)，1)，设其被直线l所截弦为CD，易知圆心到直线l的距离为eq \f(|\r(3)×\r(3)－1－1|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq \f(1,2)，又圆C1的半径为1，所以弦CD的长为2eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \r(3)，所以③正确；对于④，由①知两圆相切(外切)，所以两圆上点的最大距离就是两圆的直径之和，又圆C1的直径为2，圆C2的直径也为2，所以|PQ|的最大值为2＋2＝4，所以④正确．
三、解答题
15．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心C(a,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>－\f(5,2)))，则eq \f(|4a＋10|,5)＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝4，,y＝kx－1，))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq \f(k2－4,k2＋1).
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒eq \f(y1,x1－t)＋eq \f(y2,x2－t)＝0⇒eq \f(kx1－1,x1－t)＋eq \f(kx2－1,x2－t)＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒eq \f(2k2－4,k2＋1)－eq \f(2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
16．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)因为圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx，M(x0，y0)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－6x＋5＝0，,y＝mx，))得(1＋m2)x2－6x＋5＝0，
则Δ＝36－20(1＋m2)>0，
解得－eq \f(2\r(5),5)故x0＝eq \f(3,1＋m2)，且eq \f(5,3)因为m＝eq \f(y0,x0)，所以x0＝eq \f(3,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0)))2)，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,2)))2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(9,4).
所以M的轨迹C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)(3)存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点．
由(2)得M的轨迹C为一段圆弧，其两个端点为
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(2\r(5),3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－\f(2\r(5),3)))，
直线L：y＝k(x－4)过定点E(4,0)，
①kPE＝eq \f(\f(2\r(5),3),\f(5,3)－4)＝－eq \f(2\r(5),7)，kQE＝eq \f(－\f(2\r(5),3),\f(5,3)－4)＝eq \f(2\r(5),7)，
当－eq \f(2\r(5),7)≤k≤eq \f(2\r(5),7)时，直线L与曲线C只有一个交点．
②当直线L与曲线C相切时，L的方程可化为kx－y－4k＝0，
则eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)k－4k)),\r(k2＋1))＝eq \f(3,2)，解得k＝±eq \f(3,4).
综上所述，当－eq \f(2\r(5),7)≤k≤eq \f(2\r(5),7)或k＝±eq \f(3,4)时，直线L与曲线C只有一个交点．