浙江省宁波市奉化区2020-2021学年高二下学期期末统考数学试题（含答案）

区2020学年第一学期高二数学期末联考试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页；满分150分，考试时间120分钟.

选择题部分 (共40分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．1.直线的倾斜角是（   ）

A.          B.          C.    D.

2．已知命题：“若，则”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（  ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 4

3．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，，则

4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．2

5．已知直线：，：，则 “”是 “”的（    ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件

C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件

6﹒在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ）

A．     B．      C．         D．

7．过点的直线交抛物线于两点，且，则

△(为坐标原点)的面积是（    ）

A． B. C. D.

8．正方体中，二面角的大小是（    ）

A． B． C． D．

9.已知是双曲线的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线上任意一点Q，都有，则此双曲线的离心率为 

A． B． C．2 D．

10．在矩形中，，，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为，则（  ）

A． B．

C． D．

二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．已知平行直线，则的距离________；

点到直线的距离            ．

12．双曲线的焦距是      ，

渐近线方程是        ．

13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的

体积为        ，表面积为       

14．已知圆C的圆心，点在圆C上，则圆C的方程是     ；以A为切点的圆C的切线方程是      ．

15．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)， 

 设a＝，b＝. 则向量a与向量b的夹角的余弦值.         ．

16．已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，PA⊥平面ABCD，

若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是　        　．

17．已知长方体，，，点是面上异于 的一动点，则异面直线与所成最小角的正弦值为         ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本题满分14分）已知方程（）表示双曲线。

(Ⅰ)求实数的取值集合；

(Ⅱ)关于x不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。

19．（本小题15分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m=0（m∈R）．

（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；

（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

20．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，分别为的中点.

(Ⅰ)求证：；

 (Ⅱ)求与平面所成的角的正弦值.

21．（本小题15分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2,0），过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，

（1）求抛物线方程；

（2）若，求的值；

（3）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值.

22．（本小题15分）已知椭圆 过点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

区2020学年第一学期高二数学期末试题评分参考

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

9已知是双曲线的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线上任意一点Q，都有，则此双曲线的离心率为 

A． B． C．2 D．

【答案】D【解析】

解法一：由题意知渐近线是线段的垂直平分线，令，

由垂直平分线的定义和双曲线的定义知，，

，双曲线的离心率为；

解法二：由题意知渐近线是线段的垂直平分线，

且直线的方程为；则由，解得，

即直线与渐近线的交点为；

由题意知，利用中点坐标公式求得点P的坐标为；

又点P在双曲线上，，化简得，解得，故选：D．

10在矩形中，，，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A【解析】如图所示，在矩形中，过作交于点，将沿直线BE折成，则点在面内的射影在线段上，

设到平面上的距离为，则，

由二面角、线面角的定义得：，，，

显然，所以最大，所以最大，

当与重合时，，，因为，所以，则，所以，所以，故选A

二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

  11．   ；                 12．  ,；

  13．；                 14．，；

15．－.；        16．；      17．．

如图所示：当时候，所成角就是

最小

所以

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本题满分14分）

解：(Ⅰ)由题意：…………………（分）

可得集合…………………（分）

(Ⅱ) 由题意：…………………（分）

∵是的充分不必要条件，∴或

∴实数的取值范围：或…………………（分）

19【解答】解：（Ⅰ）圆C方程标准化为：x2+（y+2）2=4﹣m       分

∴圆心C的坐标为（0，﹣2）                                分

直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，

故此时l的方程为：，                     分

整理得：5x+3y+6=0；                                       分

（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点， 

则点M在圆上或圆内，                                      分

∴（﹣3）2+32+4×3+m≤0，                                  分

得m≤﹣30．                                               分

20．（本小题15分）如图，（I）因为是的中点，，

所以.                            分

因为平面，所以，    分

从而平面.                   分

因为平面，所以.    分

（II）取的中点，连结、，，  分[来源:学科网]                所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.  

 因为平面，

所以是与平面所成的角.      分

在中，.故所成的角的正弦值.           分 

21．（本题满分15分）

（1）                                      分

（2）如图，若不妨设QF=，则PF=2

在中，PM=,PQ=3,得QM=        分

，同理时，

所以                                       分

（其他方法酌情给分）

（3）根据题意得斜率存在[来源:学科网ZXXK]故设，

由                              分

∴

同理可得                                      分

所以，

∴

当且仅当时，面积取到最小值16. 

                              15分  

22 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【详解】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：

，解得：，故椭圆方程为：.        分

(2)设，，直线的方程为：，

与椭圆方程联立可得：，即：，                         分

则：.                            分

直线MA的方程为：，                        分

令可得：，

同理可得：.                          分

很明显，且：，注意到：                      

，

而：

，分

故.从而.