江西省吉安市2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题（含答案）

吉安市高二下学期期末教学质量检测2021.6

数学(理科)试题

(测试时间：120分钟卷面总分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后､将答题卡交回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知复数满足，则（    ）

A.1    B.    C.2    D.

2.在极坐标系下，方程表示的是（    ）

.平行于轴的直线    B.平行于轴的直线

C.不平行于坐标轴的直线    D.圆

3.已知随机变量，则（    ）

(参考数据：)

A.    B.    C.    D.

4.曲线在处的切线方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

5.2021年全国两会于3月份在北京召开，3月6日代表小组审议政府工作报告，某媒体5名记者到甲､乙､丙3个小组进行宣传报道，每名记者只去1个小组，每个小组最多两名记者，则不同的安排方法共有（    ）

A.90种    B.60种    C.30种    D.15种

6.函数的图象如图所示，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.曲线的参数方程为为参数，为常数，则曲线表示的曲线是（    ）

A.直线    B.圆    C.椭圆    D.双曲线

8.已知为常数，若展开式中的系数为，则（    ）

A.    B.    C.1    D.2   

9.（    ）

A.    B.    C.    D.

10.在平面直角坐标系中，经讨伸缩变换后，圆变成曲线（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知，若不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A.    B.

C.    D.

12.甲，乙､丙､丁四人去四个小区进行垃圾分类宣传，每个人只去一个小区，记事件“四个人去的小区不相同”，事件“甲独自去一个小区”，则（    ）

A.    B.    C.    D.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.__________.

14.__________.

15.曲线的参数方程为为参数，则曲线的普通方程为__________.

16.若，则__________.

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(本小题满分12分)

“抖音”是人们休闲娱乐和交流的一种新的工具，在“抖音”上人们不仅可以获取知识，还可以进行商品交易.某机构对人们是否玩“抖音”进行了调查，随机抽取了100人，他们年龄(单位：岁)的频数分布及玩“抖音”的人数如下表：

若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并通过计算判断是否有以上的把握认为是否玩“抖音”的人与年龄有关”？

附

18.(本小题满分12分)

机动车排气污染已经成为我国影响城市大气环境质量的主要因素，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市2021年5月份内连续七天的车流量与PM2.5的数据如下表所示.

（1）由散点图知与具有线性相关关系，求与的线性回归方程，并预测该市车流量为9万辆时PM2.5的浓度；

（2）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在内时，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在内时，空气质量等级为良.为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？

参考数据：

参考公式：回归直线的方程是，其中

19.(本小题满分12分)

（1）求证：；

（2）若关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值范围.

20.(本小题满分12分)

2021年3月中美高层战略对话中国代表的表现令国人振奋，印有杨洁篪“中国人不吃这一套”金句的“T恤衫”成为热销产品，某商场规定顾客购5件这种“T恤衫”即可抽奖，最多有三次机会.每次抽中，可依次分别获得1件，2件和3件“T恤衫”的奖品，若没有抽中，不可继续抽奖､顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖品，结束抽奖；也可以选择继续抽奖，若有任何一次没有抽中，则连同前面所得奖品也全部归零，结束抽奖，小张购买了5件“T恤衫”并参与了抽奖活动，已知他第一次､第二次､第三次抽中的概率分别为，选择继续抽奖的概率均为，且每次是否抽中互不影响.

（1）求小张第一次抽中，但所得奖品归零的概率；

（2）设小张所得奖品“T血衫”的总件数为，求随机变量的分布列和数学期望.

21.(本小题满分12分)

已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）设射线与直线交于点，点在曲线上，且，求.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围.

吉安市高二下学期期末教学质量检测2021.6

数学(理科)试题参考答案

1.【答案】D

【解析】

故选D.

2.【答案】B

【解析】方程，即，表示平行于轴的直线.故选B.

3.【答案】C

【解析】已知，则

(0..故选.

4.【答案】C

【解析】

曲线在处的切线方程为，

即.故选.

5.【答案】A

【解析】5名记者按分组，再分配到各小组，

不同的安排方法共有种.故选.

6.【答案】C

【解析】对于选项A，，不符合

对于选项，，不符合

对于选项D，，图象为双曲线，不合；

对于选项C，定义域为，

当时，；

当时，在上单调递减，在上单调递增，符合.

故选.

7.【答案】A

【解析】为参数，为常数，消去参数，得

不同时为方程表示一条直线.故

选A.

8.【答案】B

【解析】，由，得，得

故选B.

9.【答案】D

【解析】

故选D

10.【答案】C

【解析】依题意，将代入圆方程，得

故选.

11.【答案】B

【解析】恒成立，等价于

又.

故选B.

12.【答案】B

【解析】

故选

13.【答案】

【解析】

14.【答案】

【解析】

15.【答案】

【解析】消去，得.

16.【答案】1

【解析】令，得

令，得

17.【解析】

根据列联表中的数据得到的观测值

能有以上的把握认为玩“抖音”的人与年龄有关.

18.【解析】（1）由数据可得

故关于的线性回归方程为.

当时，.

故车流量为9万辆时，的浓度为70微克/立方米.

（2）根据题意，得，即，

故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在14万辆以内.

19.【解析】

（1）证明：

（2），即

当时，不等式的解集是空集，

不等式的解集不是空集时，

的取值范围为.

20.【解析】（1）设小张“第一次抽中，但所得奖品归零为事件，“第一次抽中，第二次没抽中”为事件，“前两次抽中，第三次没抽中”为事件，则互斥，

，

，

（2）随机变量的所有可能值为.

.

随机变量的分布列为

的数学期望

21.【解析】（1）当时，

令，得.

当变化时，与的变化情况如下表：

，无极小值.

（2），

（i）当时，在上递减，由，得；

（ii）当时，由，得.

①若，当恒成立，

在上递增，，不符合

②若，由，得1，或；由，得

在上递减，在上递增，无论1比大或小，当时，为中的较大者，要对，

恒成立，只需

解得.

综上，的取值范围为.

22.【解析】

（1）曲线的普通方程，

极坐标方程为.

直线的直角坐标方程为.

（2）由得

射线的极坐标方程为，即.

由得，

为等边三角形，

23.【解析】（1），即

①当时，不等式化为，无解；

③当时，不等式化为，解得

③当时，不等式化为，解得.综上，不等式的解集为.

（2）当时，.不等式在上恒成立，

等价于当时，，

即恒成立，

令，要使在上恒成立，

只要

故的取值范围为.