福建省龙海市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案与解析）

龙海二中2020-2021学年上学期期中考

高二数学试卷

(考试时间：120分钟  总分：150分)

一、单选题(共40分)

1．(本题5分)命题“，”的否定是　　

A．， B．，

C．， D．，

2．(本题5分)椭圆上一点与两焦点组成一个直角三角形，则点到轴的距离是（   ）

A． B． C． D．或

3．(本题5分)某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为（  ）

A．15.5 B．15.6 C．15.7 D．16

4．(本题5分)点关于直线对称的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．(本题5分)已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（    ）

A． B． C．2 D．

6．向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．(本题5分)过圆C1：x2＋y2＝1上的点P作圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4切线，切点为Q，则切线段PQ长的最大值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

8．(本题5分)已知，命题函数是的增函数，命题：的值域为，且是假命题，是真命题，则实数的范围是（   ）

A． B． C． D．

二、多选题(共20分)

9．(本题5分)已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为

C．到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．的面积为1

10．(本题5分)设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则的一个充分条件是（    ）

A．存在一条直线，，     

 B．存在一条直线，，

C．存在一个平面，满足，

D．存在两条异面直线，，，，，

11．(本题5分)给出下列四个结论中，正确的有（    ）

A．若命题， 则；

B．“”是“”的充分而不必要条件；

C．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；

D．“若， 则”的逆命题为真命题．

12．(本题5分)以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C．曲线与曲线恰有三条公切线，则

D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点

三、填空题(共20分)

13．(本题5分)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为，第二次向上的点数记为，在直角坐标系中，以为坐标的点落在直线上的概率为__________.

14．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为_______．

15．(本题5分)为支援意大利的新冠抗疫，四川华西医院职工踊跃报名，其中报名的医生18人，护士12人，医技6人，根据国家卫健委安排，要从该医院抽取个人参加支援队.若采用系统抽样和分层抽样，均不用剔除人员.当抽取个人时，若采用系统抽样，则需要剔除1个报名人员，则______.

16．(本题5分)已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，的面积为6，则 ______．

四、解答题(共70分)

17．(10分)已知p：方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线；

q：a≤m≤a＋2．

（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；

（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

18．(本题12分)第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：

（1）求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；

（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.

19．(12分)某研究机构对高一学生的记忆力和判断力进行了统计分析，得出如下数据：

（1）画出上表数据的散点图；

（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为的同学的判断力.

参考公式：,

20．(本题12分)已知直线：，圆：，点.

（1）求圆上一点到直线的距离的最大值；

（2）从点发出的一条光线经直线反射后与圆有交点，求反射光线的斜率的取值范围.

21．(12分)直线： 与双曲线： 相交于不同的、两点．

（1）求AB的长度；

（2）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，写出理由．

22．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为，，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8.

（1）求的标准方程.

（2）过上的动点作的切线，过原点作于点.问：是否存在直线，使得的面积为1？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.

龙海二中2020-2021学年上学期期中考

高二数学答案

1．C

2．D      解：a＝5，b，c＝4，

第一种情况，两焦点连线段为直角边，则P点横坐标为±4，代入方程得纵坐标为±，则P到x轴距离为；

第二种情况，两焦点连线为斜边，设P（x，y），则|PF2|＝，|PF1|＝

∵||＝8，∴（）2+（）2＝64，∴P点横坐标为±，代入方程得纵坐标为±，则P到x轴距离为；故选D．

3．B

由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为：，

频数为：

则平均值为：

4．D

设点关于直线对称的点坐标为，

可得

5．A

设，则，

所以，，

所以，得，所以，

所以．故选A．

6．A

满足条件的正三角形如下图所示：

其中正三角形的面积，

满足到正三角形的顶点、、的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部

分所示，则，

则使取到的点到三个顶点、、的距离都不小于2的概率是：

，

故选：．

【点睛】

7．C

因为，

，

所以，即切线段PQ长的最大值为.

8．C

【解析】

真，增函数

真，则可以取遍所有正值

又，

是假命题，是真命题，则、一真一假：

真假时，，或，解得

假真时，，解得

综上得或

9．ACD

A.代入双曲线渐近线方程得,正确.

B.由题意得，则以为直径的圆的方程

不是，错误.

C.，渐近线方程为，距离为1，正确.

D. 由题意得,设，根

据，解得，，则

的面积为1.正确.

10．CD

对于选项A，若存在一条直线，，，则或与相交.

若，则存在一条直线，使得，，

所以选项A的内容是的一个必要条件而不是充分条件；

对于选项B，存在一条直线，，，则或与相交.

若，则存在一条直线，，，

所以，选项B的内容是的一个必要条件而不是充分条件；

对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是的一个充分条件；

对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知，，则，

所以选项D的内容是的一个充分条件.

故选：CD.

11．AC

A选项，由命题的否定可得：若命题，则，，正确；

B选项，由，反之不成立，因此“”是“”的必要非充分条件，故不正确；

C选项，由逆否命题的意义可得：命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”，因此正确；

D选项，“若，则”的逆命题为“若，则”，因为可能为0，因此不正确．

故选：AC

12．BCD

解：A.直线得，
由，得，即直线恒过定点，故A错误；

B. 圆心到直线的距离，圆的半径，故圆C上有3个点到直线的距离为1，故B正确；

C. 曲线，即，

曲线，即，

两圆心的距离为，解得，故C正确；

D. 因为点为直线上一动点，设点，

圆的圆心为，

以线段为直径的圆的方程为，

即

故直线圆与圆的公共弦方程为：，

即，此直线即为直线，经验证点在直线上，即直线经过定点，故D正确.

本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，可灵活应用以下结论解题：

（1）圆与圆的公共弦方程为：；

（2）以点的连线为直径的圆的方程为：

.

13．

【解析】

试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有种结果，满足条件的事件是为坐标的点落在直线上，当，，，；，，共有种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以为坐标的点落在直线上的概率：．故答案为.

14．13

观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是，故；

乙班学生成绩的中位数是，故.

∴．

故答案为：13

【点睛】

本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题.

15．6

解：报名人员36人，当样本容量为时，因为采用系统抽样和分层抽样，均不用剔除人员,

所以为的正约数，又因为

系统抽样间隔，分层抽样比例，抽取医技人，护士人，医生子人；

所以为6的倍数，36的约数，即，12，18，36

当抽取人时，总人数中剔除1人为35人，系统抽样间隔，所以.

故答案为：6.

16．

设，点P在椭圆上，①

又点P到原点O的距离等于半焦距，

，即②的面积为6，，

可得③

把③代入②得，把③代入①得，

，，

，故得．故答案为:．

17．（1）  （2）

解：（1）因为方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，

所以解得，所以命题为真时实数的取值范围为．。。5分

（2）因为是的必要条件，所以，所以，故．

综上，实数的取值范围为．。。。。。。。。。。。。。。。10分

18．（1），，，；（2）

（1），，，

由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：

。。。。。。。。。。。。。4分

（2）因为第3、4、5组共有50名学生，

所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生，每组分别为：

第3组：人，第4组：人，第5组：人，

所以第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人。。。。。6分

设第3组的3位同学为、，第4组的2位同学为、，

第5组的1位同学为，则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下：

，，，，，，

，，，，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法，

故所求的概率为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

19．（1）详见解析；（2）；（3）.

（1）散点图如图：

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

（2）因为，

，

，

所以，

,

故线性回归方程为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

（3）由（2）中线性回归方程可知，当

时，所以预测记忆力

为的同学的判断力约为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

20．（1）；（2）.

（1）∵圆心，半径，

圆心到直线的距离，

∴圆上一点到直线的最大距离：

.。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）设点关于直线对称的点为，

由得，∴.。。。。。。。。。。8分

∵反射光线过，

∴设反射光线：，

则圆心到反射光线：的距离

，

解得，

∴反射光线的斜率的取值范围是.。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

21．（1）；（2）.

联立方程组消去y得，因为有两个交点，所以，解得。4分

(1) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

(2)由题意得 整 理得。。。。12分

22．（1）；（2）不存在，理由见解析.

（1）设与轴的交点为，由题意可知，

则，

当过右焦点时，的周长取最大值，

所以，且，

所以椭圆的方程为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）不存在直线，使得的面积为1.理由如下.

显然直线斜率存在且不为0，设直线：，联立方程组

得，

由，得，。。。。。。。。。6分

所以，

因为直线，所以直线的方程为，

由，得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

所以.

又，

所以，

当且仅当时成立.

因此不存在直线，使得的面积为1.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分