河北省2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题（含答案与解析）

21届河北省高二年级11月份期中考试

数学

本试卷主要考试内容：人教A版选修2—1．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题p：，x＞lgx，则p的否定是

A．，x0≤lgx0    B．，x≤lgx

C．，x0＞lgx0    D．，x＜lgx

2．已知向量，，且，则m＋n＝

A．-4    B．-6    C．4    D．6

3．若直线y＝x＋3经过抛物线y2＝mx的焦点，则m＝

A．6    B．12    C．-6    D．-12

4．在四面体ABCD中，E是棱BC的中点，且，则

A．x＋y＋z＝1    B．    C．x＝y＋z     D．x2＝y2＋z2

5．若双曲线C：（a＞0，b＞0）与双曲线D：有相同的渐近线，且C经过点（2，6），则C的实轴长为

A．4    B．    C．12    D．

6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC，CC1的中点，则异面直线MN与AB1所成角的大小为

A．    B．    C．    D．

7．若曲线C的方程是，则C的形状是

A．抛物线    B．圆    C．双曲线    D．椭圆

8．如图，F为椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点，A，B两点关于C的中心O对称，且A，B在C上，若|AB|＝2|OF|，tan∠ABF＞4，则C的离心率的取值范围是

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．

9．在三棱锥P-ABC中，A（0，1，0），B（3，1，0），C（0，3，0），P（0，1，2），则

A．    B．    C．    D．

10．若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点（6，m）到焦点的距离为m，则

A．p＝12    B．p＝24    C．m＝12    D．p＝2m

11．已知2a＋a＝5，则

A．“x＞a”是“x＞3’’的充要条件

B．“x＞a”是“x＞2’’的必要不充分条件

C．“x＞a”是“x＞1’’的充分不必要条件

D．“x＜a”是“x＜3’’的充分不必要条件

12．已知点F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交双曲线于A，B两点（点A在点B的上方），且AF1⊥AB，|AF1|︰|AB|＝3︰4，则该双曲线的离心率可能为

A．    B．2    C．    D．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡中的横线上．

13．抛物线的准线方程为________．

14．在空间直角坐标系O-xyz中，给出以下结论：

①点A（-2，1，3）关于z轴的对称点的坐标是（2，-1，3）；

②点B（4，-2，5）关于yOz平面对称的点的坐标是（4，2，-5）；

③若，，则．

其中所有正确结论的序号是________．

15．已知椭圆C：（a＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（0，6），椭圆C短轴的一个端点恰为△AF1F2的重心，则椭圆C的长轴长为________．

16．在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3．当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________．

四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．

问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz．已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，________，试问是否存在点E，F满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．已知直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且点（2，-4）在C上．

（1）求C的方程；

（2）若1的斜率为3，且过点（1，1），求|AB|．

19．如图，在三棱锥D-ABC中，DA⊥平面ABC，AB⊥BC且BC＝2，AB＝3，AD＝4．

（1）证明：△BCD为直角三角形．

（2）以A为圆心，在平面DAB中作四分之一个圆，如图所示，E为圆弧上一点，且AE＝2，∠EAD＝45°，求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

20．已知P是椭圆C：上的动点．

（1）若A是C上一点，且线段PA的中点为，求直线PA的斜率；

（2）若Q是圆D：上的动点，求|PQ|的最小值．

21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB︰BC︰CD＝3︰2︰2，，∠ABC＝60°，点E是线段AB上靠近点A的一个三等分点，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点A1的位置，且A1C＝BC＝2．

（1）证明：平面A1DE⊥平面BCD．

（2）求平面A1BE与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．

22．已知圆O：x2＋y2＝12，P为圆O上的动点，点M在x轴上，且M与P的横坐标相等，且，点N的轨迹记为C．

（1）求C的方程．

（2）设A（2，2），B（4，0），过B的直线（斜率不为±1）与C交于D，E两点，试问直线AD与AE的斜率之和∑是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求∑的取值范围．