数学第26章 概率初步综合与测试课时训练

沪科版九年级数学下册第26章概率初步专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、不透明的布袋内装有形状、大小、质地完全相同的1个白球，2个红球，3个黑球，若随机摸出一个球恰是黑球的概率为（      ）

A． B． C． D．

2、如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（    ）

A． B． C． D．

3、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率是（    ）

A． B． C． D．

4、做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：

下面有3个推断：

①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；

③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是（   ）

A．② B．①③ C．②③ D．①②③

5、从分别标有号数1到10的10张除标号外完全一样的卡片中，随意抽取一张，其号数为3的倍数的概率是（    ）

A． B． C． D．

6、下列说法中正确的是（    ）

A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件

B．某次抽奖活动中奖的概率为，说明每买100张奖券，一定有一次中奖

C．想了解某市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查

D．我区未来三天内肯定下雪

7、以下事件为随机事件的是（    ）

A．通常加热到100℃时，水沸腾

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C．任意画一个三角形，其内角和是360°

D．半径为2的圆的周长是

8、将7个分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的小球放到一个不透明的袋子里，它们大小相同，随机摸取一个小球将其标记的数字记为m，则使得二次函数y＝﹣x2﹣3x+m﹣2与x轴有交点，且关于x的分式方程有解的概率是（　　）

A． B． C． D．

9、下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（    ）

A． B． C． D．1

10、下列说法正确的有（    ）

①等边三角形、菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．

②无理数在和之间．

③从，，，，这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是．

④一元二次方程有两个不相等的实数根．

⑤若边形的内角和是外角和的倍，则它是八边形．

A．个 B．个 C．个 D．个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是________．

2、如图，在3×3正方形网格中，A、B在格点上，在网格的其它格点上任取一点C，能使△ABC为等腰三角形的概率是_____．

3、一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，两个都是黑球的概率_______．

4、在0，1，2，3，4，5这六个数中，随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程有实数解的概率是______．

5、学校决定从甲、乙、丙三名学生中随机抽取两名介绍学习经验，则同时抽到乙、丙两名同学的概率为_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、甲、乙两个家庭有各自的生育规划，假定生男生女的概率一样．

（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第2个孩子是女孩的概率是          ；

（2）乙家庭没有孩子，准备生2个孩子，用列表或画树状图的方法求至少有一个孩子是女孩的概率．

2、新冠病毒在全球肆虐，疫情防控刻不容缓．某校为了解学生对新冠疫情防控知识的了解程度，组织七、八年级学生开展新冠疫情防控知识测试（满分为10分）．学校学生处从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了统计．下面提供了部分信息．

抽取的20名七年级学生的成绩（单位：分）为：10，10，9，9，9，9，9，9，8，8，8，8，8，8，8，7，7，6，5，5．

抽取的40名学生成绩分析表：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上表中a，b的值；

（2）该校七、八年级共有学生2000人，估计此次测试成绩不低于9分的学生有多少人？

（3）在所抽取的七年级与八年级得10分的学生中，随机抽取2名学生在全校学生大会上进行新冠疫情防控知识宣讲，求所抽取的2名学生恰好是1名七年级学生和1名八年级学生的概率．

3、不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，标号分别为1, 2，3， 4．

（1）从盒子中随机摸出一个小球，标号是奇数的概率是       ；

（2）先从盒子中随机摸出一个小球，放回后摇匀，再随机摸出一个小球，记两次摸出球的标号之和为m，则m可能取2~8中的任何一个整数，分析哪个整数出现的可能性最大．

4、如图是甲、乙两个可以自由转动且质地均匀的转盘，甲转盘被分成三个大小相同的扇形，分别标有1，2，3；乙转盘被分成四个大小相同的扇形，分别标有1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘直至它自动停止（若指针正好指向扇形的边界，则重新旋转转盘，直至指针指向扇形内部）．

（1）转动甲转盘，指针指向3的概率是        ；

（2）利用列表或画树状图的方法求转动两个转盘指针指向的两个数字和是5的概率．

5、某智力竞答节目共有10道选择题，每道题有且只有一个选项是正确的；小明已答对前7题，答对最后3题就能顺利通关，其中第8题有A，B两个选项，第9题和第10题都有A，B，C三个选项，假设这3道题小明都不会，只能从所有选项中随机选择一个，不过小明还有两次“求助”没有用（使用一次“求助”可以让主持人在该题的选项中去掉一个错误选项，每道题最多只能使用一次“求助”）

（1）若小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”，求小明能顺利通关的概率；

（2）从概率的角度分析，如何使用两次“求助”，竞答通关的可能性更大

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，3个黑球，利用概率公式直接求解即可求得答案．

【详解】

解：∵在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，3个黑球，

∴从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

2、B

【分析】

直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案．

【详解】

解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色的为棱长为3的正方体顶点处的8个小正方体；

故取得的小正方体恰有三个面被涂色．的概率为．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面被涂色．小立方体的个数是解题关键．

3、C

【分析】

根据骰子各面上的数字得到向上一面的点数可能是3或4，利用概率公式计算即可．

【详解】

解：一枚质地均匀的骰子共有六个面，点数分别为1,2,3,4,5,6，

∴点数大于2且小于5的有3或4，

∴向上一面的点数大于2且小于5的概率是=，

故选：C．

【点睛】

此题考查了求简单事件的概率，正确掌握概率的计算公式是解题的关键．

4、C

【分析】

根据概率公式和图表给出的数据对各项进行判断，即可得出答案．

【详解】

解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在什么数值附近摆动，才能用频率估计概率，故错误；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；正确；

③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．正确；

故选：C．

【点睛】

本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．

5、C

【分析】

用3的倍数的个数除以数的总数即为所求的概率．

【详解】

解：∵1到10的数字中是3的倍数的有3，6，9共3个，

∴卡片上的数字是3的倍数的概率是．

故选：C．

【点睛】

本题考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

6、C

【分析】

根据必然事件，随机事件的定义，判断全面调查与抽样调查，逐项分析判断即可，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．

【详解】

A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；

B. 某次抽奖活动中奖的概率为，说明每买100张奖券，不一定有一次中奖，故该选项不正确，不符合题意；

C. 想了解某市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查，故该选项正确，符合题意；

D. 我区未来三天内不一定下雪，故该选项不正确，不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查了必然事件，随机事件，判断全面调查与抽样调查，掌握以上知识是解题的关键．

7、B

【分析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【详解】

解：A．通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件；

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件；

C．任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件；

D．半径为2的圆的周长是是必然事件；

故选：B．

【点睛】

考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

8、B

【分析】

根据抛物线与x轴有交点，计算出，根据分式方程有解，计算出，再在中找出满足的数，利用概率公式求解．

【详解】

解：与x轴有交点，

则，

解得：，

有解，

则，

即，

在中，满足且有：，

共5个，

有概率公式知概率为：，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴交点的问题、分式方程、概率，解题的关键是求出的取值范围后，确定满足条件的个数．

9、C

【分析】

根据中心对称图形的定义，即把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称和概率公式计算即可；

【详解】

根据已知图形可得，中心对称图形是

，，，

共有3个，

∴抽到的图案是中心对称图形的概率是．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了概率公式应用和中心对称图形的识别，准确分析计算是解题的关键．

10、A

【分析】

根据概率公式、无理数的定义、轴对称图形、中心对称图形、根的判别式以及多边形的内角和计算公式和外角的关系，对每一项进行分析即可得出答案．

【详解】

解：菱形，正方形，圆既是轴对称图形又是中心对称图形，等边三角形是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；

无理数在和之间，正确，故本选项符合题意；

在，，，，这五个数中，无理数有，，共个，则抽到无理数的概率是，故本选项错误，不符合题意；

因为，则一元二次方程有两个相等的实数根，故本选项错误，不符合题意；

若边形的内角和是外角和的倍，则它是八边形，正确，故本选项符合题意；

正确的有个；

故选：．

【点睛】

此题考查了概率公式、无理数、轴对称图形、中心对称图形、根的判别式以及多边形的内角与外角，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到两人同坐2号车的结果数，再依据概率公式求解即可．

【详解】

解：列树状图如下：

由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1种，

∴两人同坐2号车的概率，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，熟知树状图或列表法求解概率是解题的关键．

2、

【分析】

分三种情况：①点A为顶点；②点B为顶点；③点C为顶点；得到能使△ABC为等腰三角形的点C的个数，再根据概率公式计算即可求解．

【详解】

如图，∵AB＝，

∴①若AB＝AC，符合要求的有3个点；

②若AB＝BC，符合要求的有2个点；

③若AC＝BC，不存在这样格点．

∴这样的C点有5个．

∴能使△ABC为等腰三角形的概率是．

故答案为：．

【点睛】

此题考查等腰三角形的判定和概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

3、

【分析】

利用树状图法列出所有的等可能性的结果数，然后找到摸到两个黑球的结果数，最后根据概率公式求解即可．

【详解】

解：列树状图如下所示：

由树状图可知，一共有20种等可能性的结果数，其中摸到两个黑球的结果数有6种，

∴P摸到两个都是黑球，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了用树状图或列表法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握树状图法或列表法求解概率．

4、

【分析】

根据题意，分，时，进而求得一元二次方程根的判别式不小于0的情形数量，即可求得概率．

【详解】

解：当时，该方程不是一元二次方程，

当时，

解得

时，关于x的一元二次方程有实数解

随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程有实数解的概率是

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用概率公式计算概率，一元二次方程根的判别式判断根的情况，一元二次方程的定义，掌握以上知识是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

5、

【分析】

画树状图，共有6种等可能的结果，同时抽到乙、丙两名同学的结果有2个，再由概率公式解题．

【详解】

解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，同时抽到乙、丙两名同学的结果有2个，

∴同时抽到乙、丙两名同学的概率为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查列树状图表示概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

三、解答题

1、（1）；（2）

【分析】

（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

解：（1）第二个孩子是女孩的概率=；

故答案为：；

（2）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，

所以至少有一个孩子是女孩的概率=．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

2、

（1）

（2）

（3）

【分析】

（1）根据众数和中位数的概念求解可得；

（2）用总人数乘以样本中七、八年级不低于9分的学生人数和所占比例即可得，

（3）根据列表法求概率即可．

（1）

根据抽取的20名七年级学生的成绩找到第10个和第11个成绩都是8，则中位数为8，即，

根据条形统计图可知9分的有6人，人数最多，则众数为9，即

（2）

解：∵此次测试成绩不低于9分的七年级学生有8人，八年级学生有9人

∴此次测试成绩不低于9分的学生有（人）

（3）

解：∵七年级得10分的有2人，八年级得10分的有3人

设七年级的2人分别为，八年级的3人分别

列表如下，

根据列表可知，共有20种等可能结果，其中1名七年级学生和1名八年级学生的情形有12钟

则所抽取的2名学生恰好是1名七年级学生和1名八年级学生的概率为

【点睛】

本题考查了求中位数，众数，根据样本估计总体，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．

3、（1）；（2）出现5的可能性最大．

【分析】

（1）利用列举法求解即可；

（2）先列表找到所有的等可能性的结果数，然后找到每个整数出现的结果数，由此求解即可．

【详解】

解：（1）从四个小球中随机摸出一个球摸出的小球的编号可以为1、2、3、4一共四种等可能性的结果数，其中摸到标号为奇数的有：摸到标号为1的和摸到标号为2的一共两种，

∴从盒子中随机摸出一个小球，标号是奇数的概率是；

（2）列表如下：

由表格可知一共有16种等可能性的结果数，其中两次标号之和为2的有1种，两次标号之和为3的有2种，两次标号之和为4的有3种，两次标号之和为5的有4种，两次标号之和为6的有3种，两次标号之和为7的有2种，两次标号之和为8的有1种，

∴出现5的可能性最大．

【点睛】

本题主要考查了列举法求解概率，树状图法或列举法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

4、（1）；（2）．

【分析】

（1）利用概率公式求解指针指向3的概率即可；

（2）先列表得到所有的等可能的结果数与和为5的结果数，再利用概率公式求解即可．

【详解】

解：（1）甲转盘被分成三个大小相同的扇形，分别标有1，2，3；

所以转动甲转盘，指针指向3的概率是：

故答案为：；

（2）列表如下：

所有的等可能的结果数有12种，和为5的结果数有3种，

所以转动两个转盘指针指向的两个数字和是5的概率．

【点睛】

本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数”是解本题的关键.

5、（1）小明顺利通关的概率=；（2）从概率的角度分析，小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”或在竞答第8题和第10题时都使用了“求助”，竞答通关的可能性更大．

【分析】

（1）画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；

（2）分别计算出在第8题和第9题时都使用了“求助”，小明顺利通关的概率；第8题和第10题时都使用了“求助”小明顺利通关的概率，第9题和第10题时都使用了“求助”小明顺利通关的概率即可求得答案．

【详解】

（1）若小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”，则都去掉了一个错误选项（假设第8题去掉错误选项B，第9题去掉错误选项C），第8题只剩一个正确答案A，第9题还剩两个选项，一个正确答案，一个错误选项，

共有6种等可能的结果数，其中三题全答对的结果数为1

所以小明顺利通关的概率=

故通关的概率为

（2）若小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”（假设第8题去掉错误选项B，第9题去掉错误选项C）， 或在竞答第8题和第10题时都使用了“求助”（假设第8题去掉错误选项B，第10题去掉错误选项C），则如图所示：

或

共有6种等可能的结果数，其中三题全答对的结果数为1，

所以小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”或在竞答第8题和第10题时都使用了“求助”，顺利通关的概率=

若小明在竞答第9题和第10题时都使用了“求助”（假设第9题去掉错误选项C，第10题去掉错误选项C）

共有8种等可能的结果数，其中三题全答对的结果数为1

所以小明在竞答第9题和第10题时都使用了“求助”， 顺利通关的概率=

故从概率的角度分析，小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”或在竞答第8题和第10题时都使用了“求助”，竞答通关的可能性更大．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．