2021年宁夏中考数学试卷

这是一份2021年宁夏中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年宁夏中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣4
2．（3分）如图所示三棱柱的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布数据显示，与2010年第六次全国人口普查相比，增加7206万人，增长5.38%，年平均增长率为0.53%，我国人口10年来继续保持低速增长态势．7206万用科学记数法表示为（　　）
A．7.206×106 B．7.206×107 C．0.7206×108 D．72.06×106
4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
8
7
9
14
12
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（　　）
A．4.9和4.8 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.9
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
6．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：m2n﹣n3＝　 　．
10．（3分）已知直线a∥b，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝43°，则∠2＝　 　．

11．（3分）计算：|﹣3|﹣（）﹣1＝　 　．
12．（3分）某日，甲、乙两地的气温如图所示，如果将这一天甲、乙两地气温的方差分别记作S甲2，S乙2，则S甲2　 　S乙2（填“＜”、“＝”、“＜”）．

13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 　 　．

14．（3分）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是 　 　．

15．（3分）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 　 　m．（结果精确到1m）．
（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是 　 　．

三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于y轴对称，点A1（﹣2，1）是点A的对应点，点B1是点B（4，2）的对应点．
（1）画出线段AB和A1B1；
（2）画出将线段A1B1绕点A1逆时针旋转90°所得的线段A1B2，并求出点B1旋转到点B2所经过的路径长．

18．（6分）化简求值：（）÷，其中a＝+1．
19．（6分）解不等式组：．
20．（6分）学校计划购买甲、乙两种品牌的羽毛球拍若干副．已知购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元．
（1）甲、乙两种品牌球拍的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买这两种品牌球拍共100副，要求乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，那么购买多少副甲种品牌球拍最省钱？
21．（6分）如图，BD是▱ABCD的对角线，∠BAD的平分线交BD于点E，∠BCD的平分线交BD于点F．求证：AE∥CF．

22．（6分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）参加这次调查的学生总人数为 　 　人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
四、解答题（本题共4题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，点M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点F，且FA＝FM．
（1）求证：直线BF与半圆O相切；
（2）若已知AB＝3，求BD•BC的值．

24．（8分）如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，且点A的坐标为（1，3），过点C（0，2）的直线l∥x轴，分别交AO、AB于D、E两点．反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与线段AB相交于点M，将△ADE沿直线l对折后，点A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求点M的坐标．（结果保留根号）

25．（10分）阅读理解：
如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF∥BC，可以得到以下结论：＝．
拓展应用：
（1）如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排
0
1
2
3
…
隔板长度/厘米
160
　 　
　 　
　 　
…
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？


26．（10分）如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．
（1）求k的值；
（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为t秒．
①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时，S的值最大？


2021年宁夏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣4
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负实数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣4|比|﹣3|大，
∴﹣4＜﹣3，
∴﹣4＜﹣3＜﹣2＜0＜1，
∴比﹣3小的数是﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较方法是解答本题的关键．
2．（3分）如图所示三棱柱的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据三棱柱的主视图是矩形，主视图内部有竖着的实线，进行选择即可．
【解答】解：主视图为，

故选：C．

【点评】本题考查简单几何体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
3．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布数据显示，与2010年第六次全国人口普查相比，增加7206万人，增长5.38%，年平均增长率为0.53%，我国人口10年来继续保持低速增长态势．7206万用科学记数法表示为（　　）
A．7.206×106 B．7.206×107 C．0.7206×108 D．72.06×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：7206万＝72060000＝7.206×107．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
8
7
9
14
12
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（　　）
A．4.9和4.8 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.9
【分析】由统计表可知视力为4.9的有14人，人数最多，所以众数为4.9；总人数为50，得到中位数应为第25与第26个的平均数，而第25个数和第26个数都是4.9，即可确定出中位数为4.9．
【解答】解：由统计表可知众数为4.9；
共有：8+7+9+14+12＝50人，中位数应为第25与第26个的平均数，
而第25个数和第26个数都是4.9，则中位数是4.9．
故选：B．
【点评】此题考查中位数、众数的求法：
①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，然后解不等式求出m的取值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m＜2．
故实数m的取值范围为是m＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，可以得到k、b的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝kx+b经过哪几个象限．
【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，
∴k＞0，b＞0，
∴直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是求出k、b的正负．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，
由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即AG＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出AG＝BG是解题的关键．
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接AC、BC，如图，先判断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．
【解答】解：连接BC，如图，
由作法可知AC＝BC＝AB＝2，
∴△ACB为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，
∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O
＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O
＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O
＝4×﹣2××22﹣π×12
＝π﹣2．
故选：A．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：m2n﹣n3＝　n（m+n）（m﹣n）　．
【分析】先提取公因式n，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝n（m2﹣n2）＝n（m+n）（m﹣n）．
故答案是：n（m+n）（m﹣n）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．（3分）已知直线a∥b，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝43°，则∠2＝　107°　．

【分析】由平行线的性质可得∠DAB的度数，再结合已知条件，即可求∠2的度数．
【解答】解：如图所示：

由题意得∠CAB＝30°，
∵a∥b，∠1＝43°，
∴∠DAB＝180°﹣∠1＝137°，
∵∠DAB＝∠2+∠CAB，
∴∠2＝∠DAB﹣∠CAB＝107°．
故答案为：107°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
11．（3分）计算：|﹣3|﹣（）﹣1＝　﹣　．
【分析】利用绝对值的性质、负整数指数幂的性质化简，再利用实数的加减运算法则得出结果．
【解答】解：原式＝3﹣﹣3
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质、负整数指数幂，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）某日，甲、乙两地的气温如图所示，如果将这一天甲、乙两地气温的方差分别记作S甲2，S乙2，则S甲2　＜　S乙2（填“＜”、“＝”、“＜”）．

【分析】根据气温统计图可知：甲地的气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．
【解答】解：观察平均气温统计图可知：甲地的气温比较稳定，波动小；故甲地的气温的方差小．
所以S甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 　2　．

【分析】连接OA，OC，由圆内接四边形可求得∠ABC的度数，由圆周角定理可得∠AOC＝60°，即可证得△OAC为等边三角形，进而可求解．
【解答】解：连接OA，OC，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明△OAC为等边三角形是解题的关键．
14．（3分）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是 　　．

【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则GE＝1，E到DC的距离d＝，
阴影区域的面积为：1×＝，
大正方形的面积是：22＝4，
所以小球最终停留在阴影区域上的概率是＝．
故答案为：．

【点评】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
15．（3分）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 　3　m．（结果精确到1m）．
（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）

【分析】设OE＝x，AE＝BF＝y，然后结合角的正切值列方程组求解，从而求得AD的高度．
【解答】解：如图：

由题意可得四边形AEFB是矩形，四边形OCDE是矩形，
∴AB＝EF＝0.45，OC＝ED＝1.7，
设OE＝x，AE＝BF＝y，
在Rt△AOE中，tan42°＝，
∴，
在Rt△BOF中，tan35°＝，
∴，
联立方程组，可得，
解得：，
∴AD＝AE+ED＝≈3，
故答案为：3．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，理解锐角三角函数的定义，利用角的正切值列方程组是解题关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是 　（﹣1，0）　．

【分析】根据旋转的性质及旋转角度分析可得旋转8次为一个周期，然后将2021÷8可得余数，从而分析求解．
【解答】解：∵点A的坐标是（1，1）若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，
∴旋转360°÷45°＝8次为一个变化周期，
2021÷8＝252......5，
∴A2021的坐标与第五次旋转后A5的坐标相同，
如图：

∴A5的坐标为（﹣1，0），
即A2021的坐标为（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查旋转的性质，周期型图形变化规律，理解旋转方向和旋转角的概念，探索图形旋转变化规律，掌握旋转的性质是解题关键．
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于y轴对称，点A1（﹣2，1）是点A的对应点，点B1是点B（4，2）的对应点．
（1）画出线段AB和A1B1；
（2）画出将线段A1B1绕点A1逆时针旋转90°所得的线段A1B2，并求出点B1旋转到点B2所经过的路径长．

【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A点、B1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B1的对应点B2，再求出出A1B1的长，然后利用弧长公式计算点B1旋转到点B2所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，线段AB和A1B1为所作；
（2）如图，线段A1B2为所作，
A1B1＝＝，
所以点B1旋转到点B2所经过的路径长＝＝π．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了旋转变换．
18．（6分）化简求值：（）÷，其中a＝+1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当a＝+1时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x﹣1）＞3x﹣2，得：x＞2，
解不等式+≥1，得：x≥1，
则不等式组的解集为x＞2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）学校计划购买甲、乙两种品牌的羽毛球拍若干副．已知购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元．
（1）甲、乙两种品牌球拍的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买这两种品牌球拍共100副，要求乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，那么购买多少副甲种品牌球拍最省钱？
【分析】（1）设甲种品牌球拍的单价是x元，乙种品牌球拍的单价是y元，根据“购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种品牌球拍的单价；
（2）设购买m副甲种品牌球拍，则购买（100﹣m）副乙种品牌球拍，根据乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设学校购买100副球拍所需费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种品牌球拍的单价是x元，乙种品牌球拍的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种品牌球拍的单价是50元，乙种品牌球拍的单价是40元．
（2）设购买m副甲种品牌球拍，则购买（100﹣m）副乙种品牌球拍，
依题意得：100﹣m≤3m，
解得：m≥25．
设学校购买100副球拍所需费用为w元，则w＝50m+40（100﹣m）＝10m+4000．
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最小值，
∴购买25副甲种品牌球拍最省钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21．（6分）如图，BD是▱ABCD的对角线，∠BAD的平分线交BD于点E，∠BCD的平分线交BD于点F．求证：AE∥CF．

【分析】由在▱ABCD中，可证得AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，又由∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠EAD＝∠FCB，继而可证得△AED≌△CFB（ASA），由全等三角形的性质可得∠AED＝∠CFB，进而可得AE∥CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．
∴∠ADB＝∠CBD．
∵∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F，
∴∠EAD＝∠BAD，∠FCB＝∠BCD，
∴∠EAD＝∠FCB．
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AED≌△CFB是证题的关键．
22．（6分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）参加这次调查的学生总人数为 　40　人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 　108°　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°乘以B类别人数所占比例即可；
（3）根据四种类别人数人数之和等于总人数求出C类别人数即可补全图形；
（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为6÷15%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是360°×＝108°，
故答案为：108°；
（3）C类别人数为40﹣（6+12+4）＝18（人），
补全图形如下：

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图
四、解答题（本题共4题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，点M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点F，且FA＝FM．
（1）求证：直线BF与半圆O相切；
（2）若已知AB＝3，求BD•BC的值．

【分析】（1）连接AO，证明OA⊥AB即可．
（2）证明△BAD∽△BCA，可得结论．
【解答】（1）证明：如图，连接AO．

∵FE⊥BC，
∴∠CEM＝90°，
∴∠C+∠CME＝90°，
∵FA＝FM，
∴∠FAM＝∠FMA＝∠CME，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠FAM+∠OAC＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AB，
∵OA是半径，
∴BF是⊙O的切线．

（2）解：连接AD．
∵CD是直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠C+∠ADC＝90°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠BAD+∠OAD＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴＝，
∴BD•BC＝BA2＝9．
【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，且点A的坐标为（1，3），过点C（0，2）的直线l∥x轴，分别交AO、AB于D、E两点．反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与线段AB相交于点M，将△ADE沿直线l对折后，点A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求点M的坐标．（结果保留根号）

【分析】（1）根据成轴对称的点的坐标变化特点求得点H坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合等腰三角形的性质求得B点坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的函数解析式，然后联立方程组求两函数图象的交点坐标．
【解答】解：（1）∵将△ADE沿直线l对折后，点A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上，且过点C（0，2）的直线l∥x轴，
∴点A与点H关于直线y＝2对称，
又∵点A的坐标为（1，3），
∴H点坐标为（1，1），
将H（1，1）代入y＝中，
1＝，解得：k＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵AO＝AB，点B在x轴上，且点A的坐标为（1，3），
∴B点坐标为（2，0），
设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
把（1，3），（2，0）代入，可得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+6，
联立方程组，
解得：，，
∵点M在线段AB上，
∴M点的横坐标大于1，
∴M点坐标为（，3﹣）．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，理解反比例函数和一次函数的图象上点的坐标特征，掌握等腰三角形的性质，利用数形结合思想解题是关键．
25．（10分）阅读理解：
如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF∥BC，可以得到以下结论：＝．
拓展应用：
（1）如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排
0
1
2
3
…
隔板长度/厘米
160
　　
　　
　80　
…
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？


【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，由，可求解；
（2）①由等腰三角形的性质可得BD＝80cm，由勾股定理可求AD＝60cm，分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，由阅读理解的结论可列方程，即可求解．
②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解．
【解答】解：（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，

由阅读理解的结论可得：，
设正方形的边长为x，
∴，
∴x＝，
∴正方形的边长为；
（2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝80cm，
∴AD＝＝＝60（cm），
分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，
由阅读理解的结论可得：，，
解得：y1＝，y2＝，y3＝80，
故答案为：，，80；
∴，
∴y＝﹣n+160；
②当n＝1时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数＝÷10≈13（个），
当n＝2时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数＝÷10≈10（个），
当n＝3时，隔板长80cm，
∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个），
当n＝4时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数＝÷10≈5（个），
当n＝5时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数＝÷10≈2（个），
当n＝6时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个，
∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒，
∴13+10+8+5+2＝38（瓶），
综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键．
26．（10分）如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．
（1）求k的值；
（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为t秒．
①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时，S的值最大？

【分析】（1）先由直线y＝kx+3求出它与y轴的交点B的坐标，然后在Rt△AOB中根据sin∠OAB＝和勾股定理求出AB、OA的长，得到点A的坐标，将其代入y＝kx+3求出k的值；
（2）①当点E与点B重合时，OD＝，在OA上取一点F（，0），连接BF，通过计算证明DE∥BF或与BF重合，说明DE不与OB平行；
②按点E在OB上和点E在AB上分类讨论，求出S关于t的函数关系式，再利用一次函数和二次函数的性质求出S的最大值．
【解答】解：（1）直线y＝kx+3，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB＝，
∴＝，
∵AB＝OB＝×3＝5，
∴OA＝＝4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入y＝kx+3得0＝4k+3，
解得k＝．
（2）①不存在，理由如下：
在OA上取一点F（，0），连接BF，
当0＜t＜时，如图1，OD＝t，OE＝2t，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠DOE＝∠FOB，
∴△ODE∽△OFB，
∴∠ODE＝∠OFB，
∴DE∥BF，
当t＝时，DE与BF重合，
∴当0＜t≤时，不存在DE∥OB；
当＜t＜4时，如图2，AF＝4＝，AD＝4﹣t，AE＝8﹣2t，
∵＝＝，＝，
∴＝，
同理可证DE∥BF，
∴此时不存在DE∥OB，
综上所述，不存在DE∥OB．
②当0＜t≤时，如图1，S△OED＝OD•OE＝t×2t＝t2，
∴S＝t2，
∵a＝1＞0，
∴S随t的增大而增大，
∴当t＝时，S最大＝（）2＝；
当＜t＜4时，如图2，作EG⊥x轴，则EG∥BO，
∴△AGE∽△AOB，
∴＝，
∴GE＝•AE＝（8﹣2t），
∴S△OED＝OD•GE＝×t（8﹣2t）＝t2+t，
∴S＝t2+t，
∵S＝t2+t＝（t﹣2）2+，且＜0，＜2＜4，
∴当t＝2时，S最大＝，
∵＞，
∴当t＝2时，S的最大值为，
综上所述，S＝，当t＝2时，S的最大值为．


【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的性质、动点问题的求解等知识与方法，在解第（2）题和第（3）题时，应按t的取值范围进行分类讨论，此题难度较大，属于考试压轴题．
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