【历年真题】2022年北京市通州区中考数学模拟专项测试 B卷（含答案详解）

2022年北京市通州区中考数学模拟专项测试 B卷

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列方程是一元二次方程的是（    ）

A．x2＋3xy＝3 B．x2＋＝3 C．x2＋2x D．x2＝3

2、下列计算错误的是（　　）

A． B． C． D．

3、如图，四棱柱的高为9米，底面是边长为6米的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B．那么它爬行的最短路程为（　　）

A．10米 B．12米 C．15米 D．20米

4、如图，在中，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5、某公园改造一片长方形草地，长增加30%，宽减少20%，则这块长方形草地的面积（      ）

A．增加10% B．增加4% C．减少4% D．大小不变

6、神舟号载人飞船于2021年10月16日凌晨成功对接中国空间站，自升空以来神舟十三号飞船每天绕地球16圈，按地球赤道周长计算神舟十三号飞船每天飞行约641200千米，641200用科学记数法表示为（      ）

A． B． C． D．

7、在以下实数中：-0.2020020002…，，，，，，无理数的个数是（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

8、已知，，且，则的值为（    ）

A．1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或﹣3 D．﹣1或3

9、如图，五边形中，，CP，DP分别平分，，则（　　　）

A．60° B．72° C．70° D．78°

10、今年，网络购物已经成为人们生活中越来越常用的购物方式．元旦期间，某快递分派站有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送7件，还剩6件；若每个快递员派送8件，还差1件，设该分派站有x名快递，则可列方程为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、最新人口普查数据显示上海的常住人数约为24870000人，将24870000用科学记数法表示是：_______．

2、如图，在中，，，，蚂蚁甲从点A出发，以1.5cm/s的速度沿着三角形的边按的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按的方向行走，那么甲出发________s后，甲乙第一次相距2cm．

3、当x___时，二次根式有意义；

4、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，则CD＝_____．

5、已知x为不等式组的解，则的值为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，楼顶上有一个5G信号塔AB，从与楼BC相距60m的D处观测5G信号塔顶部A的仰角为37°，观测5G信号塔底部B的仰角为30°，求5G信号塔AB的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，）．

2、已知：如图，在中，是边边上的高，是中线，是的中点，．求证：．

3、如图，四边形ABCD内接⊙O，∠C＝∠B．

（1）如图1，求证：AB＝CD；

（2）如图2，连接BO并延长分别交⊙O和CD于点F、E，若CD＝EB，CD⊥EB，求tan∠CBF；

（3）如图3，在（2）的条件下，在BF上取点G，连接CG并延长交⊙O于点I，交AB于H，EF∶BG＝1∶3，EG＝2，求GH的长．

4、在△ABC中，∠BAC＝90°，P是线段AC上一动点，CQ⊥BP于点Q，D是线段BQ上一点，E是射线CQ上一点，且满足，连接AE，DE．

（1）如图1，当AB＝AC时，用等式表示线段DE与AE之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，当AC＝2AB＝6时，用等式表示线段DE与AE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若，AE⊥CQ，直接写出A，D两点之间的距离．

5、解方程：．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【详解】

解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B．是分式方程，故本选项不符合题意；

C．不是方程，故本选项不符合题意；

D．是一元二次方程，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．

2、A

【分析】

直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简，进而判断即可．

【详解】

解：A．，故此选项计算错误，符合题意；

B．，故此选项计算正确，不合题意；

C．，故此选项计算正确，不合题意；

D．，故此选项计算正确，不合题意；

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则，熟记乘法法则是解题的关键．

3、C

【分析】

将立体图形展开，有两种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可．

【详解】

解：如图，

（1）AB＝＝；

（2）AB＝＝15，

由于15＜，

则蚂蚁爬行的最短路程为15米．

故选：C．

【点睛】

本题考查了平面展开--最短路径问题，要注意，展开时要根据实际情况将图形安不同形式展开，再计算．

4、C

【分析】

由三角函数的定义可知sinA=，可设a=5k，c=13k，由勾股定理可求得b，再利用余弦的定义代入计算即可．

【详解】

解：在直角三角形ABC中，∠C=90°

∵sinA=，

∴可设a=5k，c=13k，由勾股定理可求得b=12k，

∴cosA=，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．

5、B

【分析】

设长方形草地的长为x，宽为y，则可求得增加后长及减少后的宽，从而可求得现在的面积，与原面积比较即可得到答案．

【详解】

设长方形草地的长为x，宽为y，则其面积为xy；增加后长为(1+30%)x，减少后的宽为(1-20%)y，此时的面积为(1+30%)x×(1-20%)y=1.04xy，1.04xy−xy=0.04xy，0.04xy÷xy×100%=4%．即这块长方形草地的面积比原来增加了4%．

故选：B

【点睛】

本题考查了列代数式，根据题意设长方形草地的长与宽，进而求得原来的面积及长宽变化后的面积是关键．

6、B

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【详解】

解：641200用科学记数法表示为：641200=，

故选择B．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7、C

【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．

【详解】

解：无理数有-0.2020020002…，，，，共有4个．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…，等有这样规律的数．解题的关键是理解无理数的定义．

8、A

【分析】

由题意利用乘方和绝对值求出x与y的值，即可求出x-y的值．

【详解】

解：∵，，

，

∴x=1，y=-2，此时x-y=3；

x=-1，y=-2，此时x-y=1．

故选：A．

【点睛】

此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9、C

【分析】

根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数．

【详解】

解：五边形的内角和等于，，

，

、的平分线在五边形内相交于点，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．

10、B

【分析】

设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送7件，还剩6件；若每个快递员派送8件，还差1件”，即可得出关于x的一元一次方程，求出答案．

【详解】

解：设该分派站有x名快递员，则可列方程为：

7x+6=8x-1．

故选：B．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．

【详解】

解：．

故答案是：．

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握一般形式为 ，其中， 是正整数，解题的关键是确定 和 的值．

2、4

【分析】

根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案．

【详解】

解：根据题意，

∵，，，

∴周长为：（cm），

∵甲乙第一次相距2cm，则甲乙没有相遇，

设甲行走的时间为t，则乙行走的时间为，

∴，

解得：；

∴甲出发4秒后，甲乙第一次相距2cm．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程．

3、≥

【分析】

根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【详解】

解：由题意得，2x+3≥0，

解得x≥，

故答案为：≥．

【点睛】

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，比较基础．

4、

【分析】

连接OA，先利用垂径定理得出AD的长，再由勾股定理得出OD的长即可解答．

【详解】

解：连接OA，

∵AB=6，OC⊥AB于点D，

∴AD=AB=×6=3，

∵⊙O的半径为5，

∴，

∴CD=OC-OD=5-4=1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．

5、2

【分析】

解不等式组得到x的范围，再根据绝对值的性质化简．

【详解】

解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为：，

∴

=

=

=2

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了解不等式组，绝对值的性质，解题的关键是解不等式组得到x的范围．

三、解答题

1、

【分析】

连接AD，根据题意得：∠BDC=30°，∠ADC=37°， ，然后利用锐角三角函数分别求出BC、AC，即可求解．

【详解】

解：如图，连接AD，

根据题意得：∠BDC=30°，∠ADC=37°， ，

在 中，∠BDC=30°，

∴ ，

在 中，∠ADC=37°，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．

2、见详解．

【分析】

连接DE，由中垂线的性质可得DE=DC，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE，进而得到CDAB．

【详解】

证明：如图，连接DE，

∵F是CE的中点，DF⊥CE，

∴DF垂直平分CE，

∴DE=DC

∵AD⊥BC，CE是边AB上的中线，

∴DE是Rt△ABD斜边上的中线，即DE=BE=AB，

∴CD =DE=AB．

【点睛】

本题考查了中垂线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，推出DE=CD是解决本题的关键．

3、（1）见解析；（2）；（3）

【分析】

（1）过点D作DE∥AB交BC于E，由圆内接四边形对角互补可以推出∠B+∠A=180°，证得AD∥BC，则四边形ABED是平行四边形，即可得到AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，这DE=CD=AB；

（2）连接OC，FC，设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x，由垂径定理可得，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，则∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，可得∠FBC=∠FCE；由勾股定理得，则，

解得，则；

（3）EF：BG=1：3，即则 解得，则，，，如图所示，以B为圆心，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别过点A作AM⊥BC与M，过点G作GN⊥BC与N，连接FC，分别求出G点坐标为，C点坐标为；A点坐标为

然后求出直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，即可得到H的坐标为（，），则．

【详解】

解：（1）如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E，

∵四边形ABCD是圆O的圆内接四边形，

∴∠A+∠C=180°，

∵∠B=∠C，

∴∠B+∠A=180°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，

∴DE=CD=AB；

（2）如图所示，连接OC，FC，

设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x

∵CD⊥EB，BF是圆O的直径，

∴，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，

∴∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，

∴∠FBC=∠FCE；

∵，

∴，

∴，

解得，

∴；

（3）∵EF：BG=1：3，即

∴ ，即

∴，

解得，

∴，

∴，，

如图所示，以B为圆心，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别过点A作AM⊥BC与M，过点G作GN⊥BC与N，连接FC，

∴，

∴，，

∵，

∴,，

∴,，

∴，，

∴G点坐标为（，），C点坐标为（，0）；

∵，

∴，

∵∠ABC=∠ECB，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴,

∴，

∴A点坐标为（，）

设直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，

∴，，

∴，，

∴直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，

联立，

解得，

∴H的坐标为（，），

∴．

【点睛】

本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与几何综合，垂径定理，勾股定理，两点距离公式，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解．

4、

（1），理由见解析

（2），理由见解析

（3）

【分析】

（1）连接AD．根据，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解；

（2）连接AD．先证明，可得到，从而得到，再由勾股定理，即可求解；

（3）根据题意可先证明四边形ADQE是矩形，可得到AD⊥BP，再由，可得AP=4，再由勾股定理可得，然后根据三角形的面积，即可求解．

（1）

解：

理由：如图，连接AD．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

在Rt△DAE中，

∵，

∴；

（2）

解：，

理由：如图，连接AD．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

在Rt△DAE中，∵，

∴；

（3）

解： 由（2）得：∠DAE=90°，

∵AE⊥CQ，BP⊥CQ，

∴∠DQE=∠AEQ=90°，PQ∥AE，

∴四边形ADQE是矩形，

∴∠ADP=90°，即AD⊥BP，

∵，AC=6，

∴AP=4，

∵AC＝2AB＝6，

∴AB=3，

∵∠BAC=90°，

∴ ，

∵ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形、全等三角形、矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形、全等三角形、矩形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．

5、

【分析】

先去分母，去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得答案．

【详解】

去分母得：，

去括号得：，

移项得：，

合并同类项得：，

系数化1得：．

【点睛】

本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键．