【历年真题】：2022年北京市海淀区中考数学三年真题模拟 卷（Ⅱ）（含答案详解）

2022年北京市海淀区中考数学三年真题模拟 卷（Ⅱ）

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（   ）

A．(x＋2)2＝2 B．(x－2)2＝7 C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1

2、若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3、如果与的差是单项式，那么、的值是（    ）

A．， B．， C．， D．，

4、已知，，且，则的值为（    ）

A．1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或﹣3 D．﹣1或3

5、下列各组图形中一定是相似形的是（    ）

A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形

6、若关于x的一元二次方程ax2﹣4x＋2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（    ）

A．a≤2 B．a≤2且a≠0 C．a＜2 D．a＜2且a≠0

7、若，则值为（    ）

A． B． C．-8 D．

8、《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x元，则可列方程为（    ）

A． B． C． D．

9、若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的方程的解为负整数，则符合条件的整数a的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10、已知，则代数式的值是（    ）

A．﹣3 B．3 C．9 D．18

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知代数式的值是2，则代数式的值为______．

2、的根为____________．

3、下列数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________．

4、如图，点P是内一点，，，垂足分别为E、F，若，且，则的度数为_________°．

5、如图，已知长方形ABCD纸片，AB＝8，BC＝4，若将纸片沿AC折叠，点D落在，则重叠部分的图形的周长为___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解下列方程：

（1）；

（2）

2、已知：在中，，，，点在边上，过点作，点在边上，点在的延长线上，联结．

（1）如图1，当时，求证：；

（2）如图2，当时，求线段的长．

3、在数轴上，点A表示，点B表示20，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．

（1）如图1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它们的速度之比是2：3（速度单位：1个单位长度/秒），则点P的速度为         个单位长度/秒，点Q的速度为         个单位长度/秒；

（2）如图2，若在原点O处放一块挡板．P、Q均以（1）中的速度同时向左运动，点Q在碰到挡板后（忽略球的大小）改变速度并向相反方向运动，设它们的运动时间为t（秒），试探究：

①若点Q两次经过数轴上表示12的点的间隔是5秒，求点Q碰到挡板后的运动速度；

②若点Q碰到挡板后速度变为原速度的2倍，求运动过程中P、Q两点到原点距离相等的时间t．

4、解方程：．

5、如图1，在△ABC中，AB ＝ AC ＝10，tanB ＝，点D为BC 边上的动点（点D不与点B ，C重合）．以D为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

（1）当D运动到BC的中点时，直接写出AF的长；

（2）求证：10CE＝BD∙CD；

（3）点D在运动过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据题意将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到答案．

【详解】

，

整理得：，

配方得：，即．

故选：D．

【点睛】

本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．

2、D

【分析】

解两个不等式，再根据“大大小小找不着”可得m的取值范围．

【详解】

解：解不等式得：，

解不等式得：，

∵不等式组无解，

∴，

解得：，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则是解题关键．

3、C

【分析】

根据与的差是单项式，判定它们是同类项，根据同类项的定义计算即可．

【详解】

∵与的差是单项式，

∴与是同类项，

∴n+2=3，2m-1=3，

∴m=2， n=1，

故选C．

【点睛】

本题考查了同类项即含有的字母相同，且相同字母的指数也相同，准确判断同类项是解题的关键．

4、A

【分析】

由题意利用乘方和绝对值求出x与y的值，即可求出x-y的值．

【详解】

解：∵，，

，

∴x=1，y=-2，此时x-y=3；

x=-1，y=-2，此时x-y=1．

故选：A．

【点睛】

此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5、D

【分析】

根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可．

【详解】

解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；

B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；

C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；

D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键．

6、B

【分析】

根据方程有两个实数根，可得根的判别式的值不小于0，由此可得关于a的不等式，解不等式再结合一元二次方程的定义即可得答案

【详解】

解：根据题意得a≠0且Δ＝（−4）2−4•a•2≥0，

解得a≤2且a≠0．

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

7、C

【分析】

根据实数的非负性，得a=-2，b=3，代入幂计算即可．

【详解】

∵，

∴a=-2，b=3，

∴== -8，

故选C．

【点睛】

本题考查了实数的非负性，幂的计算，熟练掌握实数的非负性是解题的关键．

8、D

【分析】

设这个物品的价格是x元，根据人数不变列方程即可．

【详解】

解：设这个物品的价格是x元，由题意得

，

故选D．

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．

9、C

【分析】

解不等式组得到，利用不等式组有且仅有3个整数解得到，再解分式方程得到，根据解为负整数，得到a的取值，再取共同部分即可．

【详解】

解：解不等式组得：，

∵不等式组有且仅有3个整数解，

∴，

解得：，

解方程得：，

∵方程的解为负整数，

∴，

∴，

∴a的值为：-13、-11、-9、-7、-5、-3，…，

∴符合条件的整数a为：-13，-11，-9，共3个，

故选C．

【点睛】

本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了解一元一次不等式组的整数解．

10、C

【分析】

由已知得到，再将变形，整体代入计算可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∴

=

=

=9

故选：C．

【点睛】

本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．

二、填空题

1、－1

【分析】

把变形为，然后把=2代入计算．

【详解】

解：∵代数式的值是2，

∴=2，

∴==3-4=-1．

故答案为：-1．

【点睛】

此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．

2、，

【分析】

移项后再因式分解求得两个可能的根．

【详解】

解：，

，

x=0或x-1=0，

解得，，

故答案为：，．

【点睛】

本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，掌握因式分解是本题关键．

3、    ##

【分析】

观察数轴上的数值，计算求解即可得到结果．

【详解】

解：由题意知A、B表示的数分别为：

故答案为：①；②．

【点睛】

本题考查了数轴上的点表示有理数．解题的关键在于正确的识别点的位置．

4、40

【分析】

根据角平分线的判定定理，可得 ，再由，可得 ，即可求解．

【详解】

解：∵，，，

∴ ，

∵，，

∴ ，

∴ ．

故答案为：40

【点睛】

本题主要考查了角平分线的判定定理，直角三角形两锐角互余，熟练掌握再角的内部，到角两边距离相等的点再角平分线上是解题的关键．

5、##

【分析】

先说明△AFD′≌△CFB可得BF＝D′F，设D′F＝x，在Rt△AFD′中根据勾股定理求得x，再根据AF＝AB−BF求得AF，勾股定理求得，最后根据周长公式求解即可．

【详解】

解：由于折叠可得：AD′=BC，∠D′=∠B，

又∵∠AFD′=∠CFB，

∴△AFD′≌△CFB（AAS），

∴D′F＝BF，

设D′F＝x，则AF＝8−x，

在Rt△AFD′中，（8−x）2＝x2＋42，解得：x＝3，

∴AF＝AB−FB＝8−3＝5，

在中,

∴重叠部分的图形的周长为

故答案为：

【点睛】

本题考查了勾股定理的正确运用，在直角三角形AFD′中运用勾股定理求出BF的长是解答本题的关键．

三、解答题

1、

（1）

（2）

【解析】

（1）

解：，

，

解得：；

（2）

解：，

，

，

，

解得：．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤．

2、

（1）见解析

（2）

【分析】

（1）根据直角三角形的性质即定义三角形的性质得出∠FBA=∠BFC，进而得到FC=2AC，由∠FBA=∠BFC，结合∠FEB=∠FBC=90°，即可判定△FEB∽△CBF，根据相似三角形的性质即可得解；

（2）过点A作AH⊥BC于点H，过点B作BM⊥CF于点M，根据等腰三角形的性质得到CH=4，根据勾股定理得到AH=3，根据锐角三角函数得到CM=，进而得到AM=，根据∠FEA=∠BMC=90°，∠FAE=∠BAM，即可判定△AEF∽△AMB，根据相似三角形的性质求解即可．

（1）

∵，

∴．

∵，

∴，，

∴．

∴,

∴，即是的中点．

∴，

∵，

∴．

∴．

在与中，

，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）

如图，过点作，垂足为，

∴．

∵，，

∴．

在中，由勾股定理得，，

过点作，垂足为，

∴，

，即．

∴，

∴．

在中，由勾股定理得，

∵，

∴，

∴．

在与中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

∴，

∴

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．

3、

（1）2，3

（2）①12个单位长度/秒；②2秒或秒

【分析】

（1）设P、Q的速度分别为2x，3x，由两点路程之和=两点之间的距离，列方程即可求解；

（2）解：①点Q第一次经过表示12的点开始到达原点用时4秒，再次到达表示12的点用时1秒，即可求解；

②分两种情况：当P、Q都向左运动时和当Q返回向右运动时即可求解.

（1）

解：设P、Q的速度分别为2x，3x，

由题意，得：6（2x+3x）=20-（-10），

解得：x=1，

故2x=2，3x=3，

故答案为：2，3；

（2）

解：①，．

答：点Q碰到挡板后的运动速度为12个单位长度/秒．

②当P、Q都向左运动时，

解得：．

当Q返回向右运动时，

解得：．

答：P、Q两点到原点距离相等时经历的时间为2秒或秒．

【点睛】

本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．

4、．

【分析】

先计算右边算式，再把系数化为1即可得答案．

【详解】

，

．

【点睛】

本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．

5、

（1）

（2）见解析

（3）存在，

【分析】

（1）根据题意作出图形，进而，根据tanB ＝，，求得,；

（2）证明，直接得证；

（3）作于M，于H，于N．则，进而可得四边形AMHN为矩形，证明，求得，当时，由于点D不与点C重合，可知为等腰三角形，进而求得．

（1）

如图，当D运动到BC的中点时，

，

，

，

又

tanB ＝，

设，则

（2）

证明：∵

∴

∵，；∴

∴

∴   

∵  

 ∴

（3）

点D在运动过程中，存在某个位置，使得．

理由：作于M，于H，于N．

则

∴四边形AMHN为矩形，

∴，，

∵，

∴可设，，   

∴可得

∵，∴，  

 ∴．

∵，，   

∴，

∵，  

 ∴

∴，

∴

∴，   

∴，

当时，由于点D不与点C重合，可知为等腰三角形，

∵，   

∴，   

∴

∴点D在运动过程中，存在某个位置，使得．此时．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正切的定义，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．