八年级数学秘籍——几何图形中的分类讨论思想（原卷版）学案

几何图形中的分类讨论思想

【典例解析】

【例1】（2019·江苏崇川期中）△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一过点A的直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．

【变式1-1】（2020·哈尔滨月考）已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则______．

【变式1-2】（2019·河北邢台模考）我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形

（1）如图，在中，，过作一直线交于，若把分割成两个等腰三角形，则的度数是______．

（2）已知在中，，过顶点和顶点对边上一点的直线，把分割成两个等腰三角形，则的最小度数为________．

【例2】（2018·南通市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点的坐标，过点作轴，垂足为点，过点作直线轴，点从点出发在轴上沿着轴的正方向运动．

（1）当点运动到点处，过点作的垂线交直线于点，证明，并求此时点的坐标；

（2）点是直线上的动点，问是否存在点，使得以为顶点的三角形和全等，若存在求点的坐标以及此时对应的点的坐标，若不存在，请说明理由．

【变式2-1】（2020·重庆期末）如图，点在线段上，于，于，，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿…运动），当点到达终点时，，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为__________．

【例3】（2019·四川成都期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；

(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．

(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

【变式3-1】（2020·河南偃师）（1）发现：如图1，的内角的平分线和外角的平分线相交于点.

①当时，则            

②当时，求的度数（用含的代数式表示）﹔

（2）应用：如图2，直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），延长至，已知的角平分线与的角平分线所在的直线相交于，在中，如果一个角是另一个角的倍，请直接写出的度数.

【变式3-2】（2020·山东崂山期末）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．

图1               图2                  图3                         图4

（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，

①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．

②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．

（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．

【习题专练】

1.（2020·河南宛城月考）等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm，则这个等腰三角形周长为_____cm．

2.（2020·重庆月考）如图，，，，E为AC上一点，且，在直线AC上取一点P，使，则：的值为______．

3.（2020·湖北硚口期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，其中，，点是轴负半轴上一点，点是在直线与直线之间的一点，连接、，平分，平分，交于，则与之间可满足的数量关系式为______________．

4.（2019·乐清市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

5.（2020·厦门市）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（  ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6.（2020·四川江油月考）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．

7.（2020·南阳市期末）已知一个等腰三角形的三边长分别为 2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．

（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．

解：①当 2x﹣1=x+1 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．

②当 2x﹣1=3x﹣2 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．

（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．

8.（2019·宜春市期中）如图，，点为射线上一顶点，点在射线上移动，当为等腰三角形时，_________．

9.（2020·安徽淮南月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度为______.

10.（2020·江苏盱眙一期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．

（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；

（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．

①若，则______度（直接写出结果，不需说理）；

②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律．

（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．

11.（2020·乐陵市月考） 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．

（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）；

（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；

（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）

12.（2020·江苏东台期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

13.（2020·四川彭州期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．

（1）当时，     °，      °，      °；

（2）当等于多少时?≌，请说明理由．

（3）在点的运动过程中，请直接写出当是等腰三角形时的度数．

14.（2020·都江堰期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D从点B出发，沿B→C方向运动到C（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于E．

（1）在点D的运动过程中，若∠BDA＝100°，求∠DEC的大小；

（2）在点D的运动过程中，若AB＝DC，请证明△ABD≌△DCE；

（3）若BC＝6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s）．在点D的运动过程中，是否存在这样的t，使得△ADE的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

15.（2019·湖北房县）在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A（–a，0）、点 B（0， b），且 a、b 满足a2+b2–4a–8b+20=0，点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB＝45°．

（1）a＝　　　　　 ；b＝　　　　　　　 ．

（2）若点 P 在 x 轴上，请在图中画出图形（BP 为虚线），并写出点 P 的坐标；

（3）若点 P 不在 x 轴上，是否存在点P，使△ABP 为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．

15.（2020·广东宝安期中）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．

（1）若，判断_______(填“，或”)

（2）当，试判断的形状，并说明理由；

（3）探究：当______时，是等腰三角形．(请直接写出答案)

16.（2020·沙坪坝月考）如图，点是线段上一点，，分别以为边往线段BE上、下做一个等边和等边，点以的速度从点开始，沿方向运动，到点时停止运动，点以的速度从点开始，在线段上往返运动(即沿…运动），当点到达终点时，同时停止运动，过点作交于，过点作交于，设运动时间为，当与全等时，的值为__________