河北省张家口市宣化区2021-2022学年八年级上学期期末考试数学（word版 含答案）练习题

这是一份河北省张家口市宣化区2021-2022学年八年级上学期期末考试数学（word版 含答案）练习题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）9的平方根等于（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．81
2．（3分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．60°
4．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．π3B．﹣0.3C．227D．38
5．（3分）下列等式从左到右变形正确的是（ ）
A．yx=y+1x+1B．yx=ayax
C．yx=a2ya2xD．yx=(a2+1)y(a2+1)x
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．2+5=7B．2×5=10C．32−2=3D．25=510
7．（2分）如图，在数轴上表示实数7的可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
8．（2分）用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cmB．6cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm
9．（2分）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
10．（2分）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
11．（2分）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（ ）
A．两边之和大于第三边
B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C．有两个锐角的和等于90°
D．内角和等于180°
12．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+(a−b)2的结果是（ ）
A．2a﹣bB．﹣2a+bC．﹣bD．b
13．（2分）已知a2−9a+3=0，且b−4+（5﹣c）2＝0，则以a、b、c为三边长的三角形为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（ ）
A．125B．95C．85D．75
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）
15．（3分）分式方程5x+3=2x的解是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是 ．
17．（3分）若x=5+1，y=5−1，则x−yx2−y2的值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为 ．
19．（3分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则图中阴影部分的面积等于 ．
20．（3分）如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（12分）计算：
（1）（2−1）2﹣（5−2）（5+2）．
（2）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
①在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
②在①的结果下，连接AA'，CC，则四边形AA'C'C的面积为 ．
22．（6分）如图，点 C、E、F、B在同一直线上，CE＝BF，AB＝CD，AB∥CD．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若AB＝BE，∠B＝40°，求∠D的度数．
23．（7分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
24．（7分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
25．（8分）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如x−1x+1，x2x−1这样的分式就是假分式；再如：3x+1，2xx2+1这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1；
再如：x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+1x−1=x+1+1x−1
解决下列问题：
（1）分式2x是 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式x−1x+2化为带分式的形式为 ；
（3）把分式2x−1x+1化为带分式；如果2x−1x+1的值为整数，求x的整数值．
26．（8分）课外兴趣小组活动中，老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=3AC．
小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD特殊化，再进一步解决问题．
（1）由特殊情况入手，添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD=3AC，请你完成此证明；
（2）受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，如图3，请你补全证明过程．
参考答案
一、选择题：（本大题共14个小题，1～6小题每题3分，7～14小题每题2分，共34分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）9的平方根等于（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．81
【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
故选：A．
2．（3分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．60°
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C=12（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
4．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．π3B．﹣0.3C．227D．38
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：π3是无理数，
故选：A．
5．（3分）下列等式从左到右变形正确的是（ ）
A．yx=y+1x+1B．yx=ayax
C．yx=a2ya2xD．yx=(a2+1)y(a2+1)x
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A 分子分母加减，分式的值改变，故A错误；
B 当a＝0时分式无意义，故B错误；
C 当a＝0时分式无意义，故C错误；
D分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D正确，
故选：D．
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．2+5=7B．2×5=10C．32−2=3D．25=510
【分析】根据二次根式的加减法则进行解答即可．
【解答】解：A、2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、2×5=2×5=10，故本选项正确；
C、32−2=22，故本选项错误；
D、25=105，故本选项错误．
故选：B．
7．（2分）如图，在数轴上表示实数7的可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【分析】根据数的平方估出7介于哪两个整数之间，从而找到其对应的点．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，
点Q在这两个数之间，
故选：B．
8．（2分）用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cmB．6cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm
【分析】分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解答】解：4cm是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
∵4+4＝8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为12（16﹣4）＝6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故选：B．
9．（2分）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的两个角是对顶角，逆命题是假命题，符合题意；
C、在一个三角形中，相等的角所对的边也相等的逆命题是在一个三角形中，相等的边所对的角也相等，逆命题是真命题，不符合题意；
D、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，逆命题是真命题，不符合题意；
故选：B．
10．（2分）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．
【解答】解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；
B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；
C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；
D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；
故选：B．
11．（2分）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（ ）
A．两边之和大于第三边
B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C．有两个锐角的和等于90°
D．内角和等于180°
【分析】根据等腰三角形与直角三角形的性质作答．
【解答】解：A、对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边，不符合题意；
B、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，符合题意；
C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，不符合题意；
D、对于任意一个三角形都有内角和等于180°，不符合题意．
故选：B．
12．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+(a−b)2的结果是（ ）
A．2a﹣bB．﹣2a+bC．﹣bD．b
【分析】根据数轴可判断a、a﹣b与0的大小关系，然后利用绝对值的性质以及二次根式的性质即可化简求出答案．
【解答】解：由数轴可知：a＞0，b＜a，
∴a﹣b＞0，
∴原式＝a+a﹣b
＝2a﹣b，
故选：A．
13．（2分）已知a2−9a+3=0，且b−4+（5﹣c）2＝0，则以a、b、c为三边长的三角形为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【分析】根据分式的值为0的条件求得a＝3，根据非负数的性质求出b＝4，c＝5，根据勾股定理的逆定理即可得出以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形．
【解答】解：∵a2−9a+3=0，
∴a2﹣9＝0，a+3≠0，
∴a＝3，
∵b−4+（5﹣c）2＝0，
b−4≥0，（5﹣c）2≥0，
∴b＝4，c＝5，
∵32+42＝52，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为三边长的三角形为直角三角形，
故选：A．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（ ）
A．125B．95C．85D．75
【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，AE⊥BC，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法即可求出AE的长．
【解答】解：根据作图过程可知：
AP是BD的垂直平分线，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∵AB＝3，AC＝4，
∴BC=AB2+AC2=5，
∴S△ABC=12×BC•AE=12×AB•AC，
∴5AE＝3×4，
∴AE=125．
故选：A．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）
15．（3分）分式方程5x+3=2x的解是 x＝2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5x＝2（x+3），
去括号得：5x＝2x+6，
移项合并得：3x＝6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故答案为：x＝2．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出CD，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD＝5，AC＝4，∠C＝90°，
∴CD=AD2−AC2=52−42=3，
∵AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝3．
故答案为：3．
17．（3分）若x=5+1，y=5−1，则x−yx2−y2的值为 510 ．
【分析】根据二次根式的加法法则求出x+y，根据分母有理化法则计算，得到答案．
【解答】解：∵x=5+1，y=5−1，
∴x+y＝（5+1）+（5−1）＝25，
则x−yx2−y2=x−y(x+y)(x−y)=1x+y=125=510，
故答案为：510．
18．（3分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为 36 ．
【分析】由角平分线的定义可知∠ECF=12∠BCD=12×180°＝90°，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明EM＝CM，MF＝CM，再运用勾股定理即可．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ECF=12∠BCD=12×180°＝90°，
∵EF∥BD，
∴∠MEC＝∠BCE，∠DCF＝∠F，
∴EM＝CM，MF＝CM，
∴EF＝2CM＝6，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
CE2+CF2＝62＝36，
故答案为：36．
19．（3分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则图中阴影部分的面积等于 22−2 ．
【分析】AC′与BC交于点D，B′C′与BC交于点E，与AB交于点F，如图，由∠BAC＝90°，AB＝AC＝2可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠B＝∠C＝45°，BC=2AB＝22，再根据旋转的性质得∠CAC′＝45°，AC′＝AC＝2，∠C＝∠C′＝45°，则∠ADC＝90°，所以AD=12BC=2，可计算出C′D＝AC′﹣AD＝2−2，接着证明△C′DE为等腰直角三角形得到C′D＝DE＝2−2，证明△AC′F为等腰直角三角形得到C′F＝AF=22AC′=2，然后利用图中阴影部分的面积＝S△AC′F﹣S△DC′E进行计算即可．
【解答】解：AC′与BC交于点D，B′C′与BC交于点E，与AB交于点F，如图，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，BC=2AB＝22，
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，
∴∠CAC′＝45°，AC′＝AC＝2，∠C＝∠C′＝45°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∴AD=12BC=2，
∴C′D＝AC′﹣AD＝2−2，
∵△C′DE为等腰直角三角形，
∴C′D＝DE＝2−2，
∵∠BAD＝90°﹣∠CAC′＝45°，
而∠C′＝45°，
∴△AC′F为等腰直角三角形，
∴C′F＝AF=22AC′=2，
∴图中阴影部分的面积＝S△AC′F﹣S△DC′E
=12•（2）2−12（2−2）2
＝22−2．
故答案为22−2．
20．（3分）如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是 3 ．
【分析】连接AP，首先证明EF是AG的垂直平分线，得AP＝GP，则△BPG的周长为BP+AP+BG＝BP+AP+1，当B、P、A共线时，BP+AP的最小值为2，从而得出答案．
【解答】解：连接AP，
∵点G是BC的中点，△ABC是等边三角形，
∴AG⊥BC，
∵EF∥BC，
∴∠ADE＝∠AGB＝90°，
∵点D为AG的中点，
∴EF是AG的垂直平分线，
∴AP＝GP，
∴△BPG的周长为BP+AP+BG＝BP+AP+1，
当B、P、A共线时，BP+AP的最小值为2，
∴△BPG的周长最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题：（本大题共6个小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（12分）计算：
（1）（2−1）2﹣（5−2）（5+2）．
（2）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
①在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
②在①的结果下，连接AA'，CC，则四边形AA'C'C的面积为 9 ．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式即可进行计算；
（2）①根据轴对称的性质即可作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
②结合①，根据网格即可计算四边形AA'C'C的面积．
【解答】解：（1）（2−1）2﹣（5−2）（5+2）
＝3﹣22−5+2
＝﹣22；
（2）如图，①△A'B'C'即为所求；
②四边形AA'C'C的面积为：12×（2+4）×3＝9．
故答案为：9．
22．（6分）如图，点 C、E、F、B在同一直线上，CE＝BF，AB＝CD，AB∥CD．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若AB＝BE，∠B＝40°，求∠D的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠C＝∠B，再由等式的性质可得CF＝BE，然后由SAS证得△AEB≌△DFC，即可得出结论；
（2）由AB＝BE，得∠A＝∠AEB，由三角形内角和定理得∠A＝∠AEB=12×（180°﹣∠B）＝70°，由（1）结论即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B，
∵CE＝BF，
∴CE+EF＝FB+EF，
即CF＝BE，
在△AEB和△DFC中，
AB=CD∠B=∠CEB=CF，
∴△AEB≌△DFC（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵AB＝BE，
∴∠A＝∠AEB，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝∠AEB=12×（180°﹣∠B）=12×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠D＝∠A＝70°．
23．（7分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2
∴x2+52＝（x+1）2
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m．
24．（7分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，根据“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元”列出不等式．
【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，
根据题意，得：8000x=5000x−1.5．
解方程，得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的根，且符合题意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5×2m+4m≤3800．
解不等式，得：m≤42229．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为422．
答：增加购买A型口罩的数量最多是422个．
25．（8分）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如x−1x+1，x2x−1这样的分式就是假分式；再如：3x+1，2xx2+1这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1；
再如：x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+1x−1=x+1+1x−1
解决下列问题：
（1）分式2x是 真 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式x−1x+2化为带分式的形式为 1−3x+2 ；
（3）把分式2x−1x+1化为带分式；如果2x−1x+1的值为整数，求x的整数值．
【分析】（1）根据真分式的定义即可判断；
（2）根据例题把分式的分子化成x+2的形式，然后逆用同分母的分式的加法法则求解；
（3）分式2x−1x+1化为带分式，把分子化成2（x+1）﹣3的形式，然后逆用同分母的分式的加法法则化成带分式；
2x−1x+1的值为整数，则3x+1的值一定是整数，则x+1一定是3的约数，从而求得x的值．
【解答】解：（1）2x是真分式，故答案是：真；
（2）x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2．
故答案是：1−3x+2；
（3）2x−1x+1=2x+2−3x+1=2(x+1)−3x+1=2−3x+1；
∵2x−1x+1的值为整数，且x为整数；
∴x+1为3的约数，
∴x+1的值为1或﹣1或3或﹣3；
∴x的值为0或﹣2或2或﹣4．
26．（8分）课外兴趣小组活动中，老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=3AC．
小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD特殊化，再进一步解决问题．
（1）由特殊情况入手，添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD=3AC，请你完成此证明；
（2）受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，如图3，请你补全证明过程．
【分析】（1）根据“∠B＝∠D”，∠B与∠D互补，可得∠B＝∠D＝90°，又因为∠DAC＝∠BAC＝30°，可得直角三角形ADC和ABC中AD＝AB=32AC，进而可得AD+AB=3AC．
（2）结合（1），证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF＝BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．
【解答】证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AC平分∠DAB
∴∠CAD＝∠CAB=12∠DAB＝30°，
在△ADC中，cs30°=ADAC，
在△ABC中，cs30°=ABAC，
∴AB=32AC，AD=32AC．
∴AB+AD=3AC．
（2）由（1）知，AE+AF=3AC，
∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE＝CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D＝∠CBE．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
∠CEB=∠CFD∠D=∠CBECE=CF，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（AAS）．
∴DF＝BE．
∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AF=3AC．