2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　高效演练分层突破学案，共8页。

A.eq \f(9,8) B．eq \f(3\r(2),2)
C.eq \f(4,3) D．eq \f(3\r(2),4)
解析：选D.因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(1,3)，所以8a2＝9b2，所以eq \f(a,b)＝eq \f(3\r(2),4).故选D.
2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是eq \f(3,4)，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1
B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1
D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1或eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
解析：选B.因为a＝4，e＝eq \f(3,4)，
所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.
因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1.
3．已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.
4．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.eq \r(2)－1 B．eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)＋1
解析：选A.不妨设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2eq \r(2)c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq \r(2)c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝eq \r(2)－1.故选A.
5．(2020·江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.如图所示，
设直线AB的方程为ty＝x，F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ty＝x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))可得y2＝eq \f(a2b2,b2t2＋a2)＝－y1y2，
所以△ABF的面积S＝eq \f(1,2)c|y1－y2|＝
eq \f(1,2)ceq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝ceq \r(\f(a2b2,b2t2＋a2))≤cb，当t＝0时取等号．
所以bc＝2.所以a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.所以椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D.
6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝eq \r(36－20)＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝（x＋4）2＋y2＝64，,x>0，,y>0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\r(15)，))
所以M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
7．(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．
解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．
由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋c＝100＋r，,a－c＝15＋r，))解得2c＝85.
即椭圆形轨道的焦距为85千米．
答案：85
8．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.
又d＝eq \f(|3×0－4×b|,\r(32＋（－4）2))≥eq \f(4,5)，所以1≤b<2.又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(b2,4))，所以0答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
9．已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.
(1)求△ABF2的周长；
(2)若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．
解：(1)因为F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点，
过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.
所以△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq \r(2).
(2)设直线l的方程为x＝my－1，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my－1,x2＋2y2＝2))，得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq \f(2m,m2＋2)，y1y2＝－eq \f(1,m2＋2)，
因为AF2⊥BF2，所以eq \(F2A,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(F2A,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(my1－2)(my2－2)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4
＝eq \f(－m2－1,m2＋2)－2m×eq \f(2m,m2＋2)＋4
＝eq \f(－m2＋7,m2＋2)＝0.
所以m2＝7.
所以△ABF2的面积S＝eq \f(1,2)×|F1F2|×eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq \f(8,9).
10．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
(1)若e＝eq \f(\r(3),2)，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且eq \f(\r(2),2)解：(1)由题意得c＝3，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝2eq \r(3).又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝kx))得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq \f(－a2b2,b2＋a2k2)，
依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2.因为eq \(F2A,\s\up6(→))＝(x1－3，y1)，eq \(F2B,\s\up6(→))＝(x2－3，y2)，
所以eq \(F2A,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.
即eq \f(－a2（a2－9）（1＋k2）,a2k2＋（a2－9）)＋9＝0，
将其整理为k2＝eq \f(a4－18a2＋81,－a4＋18a2)＝－1－eq \f(81,a4－18a2).
因为eq \f(\r(2),2)所以k2≥eq \f(1,8)，即k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(2),4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞)).
[综合题组练]
1．设椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
解析：选B.
如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且eq \f(|OF|,|FA|)＝eq \f(|OM|,|AB|)＝eq \f(1,2)，即eq \f(c,a－c)＝eq \f(1,2)，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).故选B.
2．(2020·福建福州一模)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，eq \r(2))
C．(0，eq \r(3)) D．(0，2eq \r(3))
解析：选C.如图，延长PF2，F1M相交于N点，
因为K点是△F1PF2内切圆的圆心，所以PK平分∠F1PF2，
因为F1M⊥PK，
所以|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，
因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，
所以|OM|＝eq \f(1,2)|F2N|＝eq \f(1,2)||PN|－|PF2||＝eq \f(1,2)||PF1|－|PF2||所以|OM|的取值范围是(0，eq \r(3))．
故选C.
3．已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为________．
解析：因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1||AF2|＝2b2，所以S△F1AF2＝eq \f(1,2)|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，则S△AF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·eq \f(1,2)c＝eq \f(1,2)c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1.
答案：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1
4．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(m2,b2)＝1>eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,b2)＝e2＋eq \f(e2,1－e2)，整理得e4－3e2＋1>0，e2答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))
5．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝eq \r(2).故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0，
因为OA⊥OB，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－eq \f(2y0,x0).
又xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(2y0,x0)))eq \s\up12(2)＋(y0－2)2
＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋eq \f(4yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0))＋4＝xeq \\al(2,0)＋eq \f(4－xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(2（4－xeq \\al(2,0)）,xeq \\al(2,0))＋4
＝eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))＋4(0因为eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))≥4(0当且仅当xeq \\al(2,0)＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2eq \r(2).
6．(2020·江西八校联考)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.
(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x＋1)2＋y2＝3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．
解：(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc，
所以2bc＝2.
因为|A1A2|＝2a＝2eq \r(b2＋c2)≥2eq \r(2bc)＝2eq \r(2)，当且仅当b＝c＝1时取“＝”，此时a＝eq \r(2)，
所以长轴A1A2的长的最小值为2eq \r(2)，此时椭圆E的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)是定值．设点P(x0，y0)，则eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋yeq \\al(2,0)＝1⇒yeq \\al(2,0)＝1－eq \f(xeq \\al(2,0),2).
圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)，即x2＋y2－2x0x－2y0y＝0，①
圆F1的方程为(x＋1)2＋y2＝3，即x2＋y2＋2x－2＝0，②
①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0，
所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d＝eq \f(|x0＋2|,\r(（x0＋1）2＋yeq \\al(2,0)))＝eq \f(|x0＋2|,\r(（x0＋1）2＋1－\f(1,2)xeq \\al(2,0)))＝eq \f(|x0＋2|,\r(\f(1,2)xeq \\al(2,0)＋2x0＋2))＝eq \r(2)，
则|MN|＝2eq \r(3－d2)＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.