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2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程学案
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这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程学案，共17页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。
一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
常用结论
几种常见圆的方程的设法
续 表
二、习题改编
1．(必修2P132A组T3改编)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－3)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
答案：A
2．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．
解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
所以圆心坐标为(2，－3)，半径为eq \r(13).
答案：(2，－3) eq \r(13)
3．(必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)，
因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，
所以|CA|＝|CB|，
即eq \r(（a＋1）2＋1)＝eq \r(（a－1）2＋9)，
解得a＝2，
所以圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝eq \r(（2＋1）2＋1)＝eq \r(10)，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( )
(4)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．( )
(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2))).( )
(6)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；
(2)错用点与圆的位置关系；
(3)不能正确确定圆心坐标．
1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(m,2)))eq \s\up12(2)＋(y－1)2＝eq \f(m2,4)－2.
由其表示圆可得eq \f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq \r(2)或m>2eq \r(2).
答案：(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆内，
所以(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1答案：(－1，1)
3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．
解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，
所以eq \f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)．
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
求圆的方程(多维探究)
角度一 已知不共线的三点，求圆的方程
(一题多解)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．
【解析】 法一(待定系数法)：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋12＝r2，,（2－a）2＝r2，,a2＋（－1）2＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,4)，,r2＝\f(25,16)，))
所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(25,16).
法二(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1，))
所以圆E的一般方程为x2＋y2－eq \f(3,2)x－1＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(25,16).
法三(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq \f(1,2)＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0)).
则圆E的半径为EB＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（0－0）2)＝eq \f(5,4)，
所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(25,16).
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(25,16)
角度二 已知两点及圆心所在直线，求圆的方程
(一题多解)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【解】 法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，
所以|CA|＝|CB|，
即eq \r(（2a＋3－2）2＋（a＋3）2)＝eq \r(（2a＋3＋2）2＋（a＋5）2)，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝eq \r(10).
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，,（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)))－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝4，,F＝－5.))
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
角度三 已知直线与圆的位置关系，求圆的方程
(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________．
(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2eq \r(3)，则圆C的标准方程为__________________．
【解析】 (1)x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为eq \f(|－4|,\r(2))＝2eq \r(2)，所以圆的半径为eq \r(2).又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(2)设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝(eq \r(3))2＋b2，解得a＝2，b＝1.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
【答案】 (1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2 (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4
eq \a\vs4\al()
求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
1．(一题多解)(2020·石家庄一模)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为( )
A．8 B．2eq \r(2)
C．5 D．eq \r(5)
解析：选D.法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．因为圆C经过点(－1，0)和(2，3)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a＋1）2＋b2＝r2，,（a－2）2＋（b－3）2＝r2，))所以a＋b－2＝0，①
又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|＝|b|，②
由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为eq \r(5)，故选D.
法二：因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为eq \r(5).故选D.
2．(2020·湖北“荆、襄、宜七校考试联盟”期末)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________．
解析：设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，a≠0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，
所以圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，－\f(a,2)))，因为圆心在直线2x－y－3＝0，所以－a＋eq \f(a,2)－3＝0，所以a＝－6.
所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝34
与圆有关的轨迹问题(师生共研)
已知过原点O的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程．
【解】 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，
所以C1M⊥OM，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得eq \f(y,x－3)·eq \f(y,x)＝－1，整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,4)，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝eq \f(4,5)，此时方程为eq \f(9,5)x2－6x＋5＝0，解得x＝eq \f(5,3)，因此eq \f(5,3)eq \a\vs4\al()
求与圆有关的轨迹方程的方法
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
与圆有关的最值问题(多维探究)
角度一 利用几何性质求最值
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为________和________．
【解析】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆．
(1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
(2)y－x可以看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)，所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
【答案】 (1)eq \r(3) －eq \r(3) (2)－2＋eq \r(6) －2－eq \r(6) (3)7＋4eq \r(3) 7－4eq \r(3)
eq \a\vs4\al()
借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
角度二 建立函数关系求最值
(2020·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
【解析】 由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
【答案】 12
eq \a\vs4\al()
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．
1．已知点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2，eq \f(1,2)(4－eq \r(5)) B．eq \f(1,2)(4＋eq \r(5))，eq \f(1,2)(4－eq \r(5))
C.eq \r(5)，4－eq \r(5) D．eq \f(1,2)(eq \r(5)＋2)，eq \f(1,2)(eq \r(5)－2)
解析：选B.由题意知|AB|＝eq \r(（－1）2＋（－2）2)＝eq \r(5)，
lAB：2x－y＋2＝0，
由题意知圆心坐标为(1，0)，
所以圆心到直线lAB的距离d＝eq \f(|2－0＋2|,\r(4＋1))＝eq \f(4,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5).
所以S△PAB的最大值为eq \f(1,2)×eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)＋1))＝eq \f(1,2)(4＋eq \r(5))，
S△PAB的最小值为eq \f(1,2)×eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)－1))＝eq \f(1,2)(4－eq \r(5))．
2．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝eq \f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为________和________．
解析：由题意，得eq \f(y＋1,x)表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点P(x，y)的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4±\r(7),3)，所以zmax＝eq \f(4＋\r(7),3)，zmin＝eq \f(4－\r(7),3).
答案：eq \f(4＋\r(7),3) eq \f(4－\r(7),3)
3．设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．
解析：由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq \r(6×5－5)＝10.
答案：10
[基础题组练]
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A.设圆心为(0，a)，则eq \r(（1－0）2＋（2－a）2)＝1，
解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
2．(2020·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq \f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq \f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
3．方程|x|－1＝eq \r(1－（y－1）2)所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（|x|－1）2＋（y－1）2＝1，,|x|－1≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）2＋（y－1）2＝1，,x≥1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2＋（y－1）2＝1，,x≤－1.))
故原方程表示两个半圆．
4．(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为( )
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0
C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0
解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－eq \f(1,2)，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－4）2＋y2＝16,y＝2x))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5),y＝\f(16,5)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝0))(舍去)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))，因为A(8，0)，所以kAB＝eq \f(\f(16,5),\f(8,5)－8)＝－eq \f(1,2)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
5．(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( )
A.eq \r(26)＋2 B．eq \r(26)＋4
C．2eq \r(26)＋4 D．2eq \r(26)＋2
解析：选C.取AB的中点D(2，－3)，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝|2eq \(PD,\s\up6(→))|，|eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r，又d＝eq \r(1＋25)＝eq \r(26)，所以d＋r＝eq \r(26)＋2.
所以|2eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为2eq \r(26)＋4.故选C.
6．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为________．
解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)，－1)).因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，所以直线x－y＋1＝0经过圆心，即－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径为eq \f(1,2)×eq \r(42＋22－4×（－4）)＝3.
答案：3
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq \f(2a,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq \r(4＋5)＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
8．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2
9．(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为________．
解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
所以设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，
所以半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq \f(|2a|,\r(2))，
所以d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq \f(|a－b|,\r(2))，
所以r2＝eq \f(（a－b）2,2)＋7，即2r2＝(a－b)2＋14. ①
由于所求圆与y轴相切，所以r2＝a2， ②
又因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
所以a－3b＝0， ③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，
所以Δ＝0，则E2＝4F. ①
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，
由已知得d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ②
又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，
所以D－3E＝0. ③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[综合题组练]
1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.
2．设点P是函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(8\r(5),5)－2 B．eq \r(5)
C.eq \r(5)－2 D．eq \f(7\r(5),5)－2
解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝eq \r(5)，|PQ|min＝|CA|－2＝eq \r(5)－2.故选C.
3．(2020·福建厦门一模)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝eq \f(π,3)，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为________．
解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
则A(0，0)，B(4，0)，C(1，eq \r(3))，设P(x，y)，则eq \(PB,\s\up6(→))＝(4－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，eq \r(3)－y)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(4－x)(1－x)－y(eq \r(3)－y)＝x2－5x＋y2－eq \r(3)y＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－3，其中eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)表示圆A上的点P与点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))－1＝eq \r(7)－1，
所以(eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→)))min＝(eq \r(7)－1)2－3＝5－2eq \r(7).
答案：5－2eq \r(7)
4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10).则直线CD的方程为________，圆P的方程为________．
解析：由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4eq \r(10)，所以|PA|＝2eq \r(10)，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2.))
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
答案：x＋y－3＝0 (x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40
5．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝eq \f(16,5)，y1y2＝eq \f(8＋m,5).因为OM⊥ON，所以eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×eq \f(16,5)＋16＝0，解得m＝eq \f(8,5).
(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝eq \f(1,2)(x1＋x2)＝eq \f(4,5)，b＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＝eq \f(8,5)，半径r＝|OC|＝eq \f(4\r(5),5)，所以所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(8,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,5).
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－eq \f(1,2).
由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－eq \f(1,2)，
此时C(0，－1)，AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))即圆心，半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，
故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(17,16).
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5))).
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径：eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
标准方程的设法
一般方程的设法
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
常用结论
几种常见圆的方程的设法
续 表
二、习题改编
1．(必修2P132A组T3改编)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－3)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
答案：A
2．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．
解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
所以圆心坐标为(2，－3)，半径为eq \r(13).
答案：(2，－3) eq \r(13)
3．(必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)，
因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，
所以|CA|＝|CB|，
即eq \r(（a＋1）2＋1)＝eq \r(（a－1）2＋9)，
解得a＝2，
所以圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝eq \r(（2＋1）2＋1)＝eq \r(10)，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( )
(4)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．( )
(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2))).( )
(6)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；
(2)错用点与圆的位置关系；
(3)不能正确确定圆心坐标．
1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(m,2)))eq \s\up12(2)＋(y－1)2＝eq \f(m2,4)－2.
由其表示圆可得eq \f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq \r(2)或m>2eq \r(2).
答案：(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆内，
所以(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1
3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．
解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，
所以eq \f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)．
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
求圆的方程(多维探究)
角度一 已知不共线的三点，求圆的方程
(一题多解)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．
【解析】 法一(待定系数法)：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋12＝r2，,（2－a）2＝r2，,a2＋（－1）2＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,4)，,r2＝\f(25,16)，))
所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(25,16).
法二(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1，))
所以圆E的一般方程为x2＋y2－eq \f(3,2)x－1＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(25,16).
法三(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq \f(1,2)＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0)).
则圆E的半径为EB＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（0－0）2)＝eq \f(5,4)，
所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(25,16).
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(25,16)
角度二 已知两点及圆心所在直线，求圆的方程
(一题多解)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【解】 法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，
所以|CA|＝|CB|，
即eq \r(（2a＋3－2）2＋（a＋3）2)＝eq \r(（2a＋3＋2）2＋（a＋5）2)，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝eq \r(10).
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，,（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)))－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝4，,F＝－5.))
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
角度三 已知直线与圆的位置关系，求圆的方程
(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________．
(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2eq \r(3)，则圆C的标准方程为__________________．
【解析】 (1)x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为eq \f(|－4|,\r(2))＝2eq \r(2)，所以圆的半径为eq \r(2).又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(2)设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝(eq \r(3))2＋b2，解得a＝2，b＝1.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
【答案】 (1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2 (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4
eq \a\vs4\al()
求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
1．(一题多解)(2020·石家庄一模)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为( )
A．8 B．2eq \r(2)
C．5 D．eq \r(5)
解析：选D.法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．因为圆C经过点(－1，0)和(2，3)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a＋1）2＋b2＝r2，,（a－2）2＋（b－3）2＝r2，))所以a＋b－2＝0，①
又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|＝|b|，②
由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为eq \r(5)，故选D.
法二：因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为eq \r(5).故选D.
2．(2020·湖北“荆、襄、宜七校考试联盟”期末)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________．
解析：设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，a≠0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，
所以圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，－\f(a,2)))，因为圆心在直线2x－y－3＝0，所以－a＋eq \f(a,2)－3＝0，所以a＝－6.
所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝34
与圆有关的轨迹问题(师生共研)
已知过原点O的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程．
【解】 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，
所以C1M⊥OM，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得eq \f(y,x－3)·eq \f(y,x)＝－1，整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,4)，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝eq \f(4,5)，此时方程为eq \f(9,5)x2－6x＋5＝0，解得x＝eq \f(5,3)，因此eq \f(5,3)
求与圆有关的轨迹方程的方法
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
与圆有关的最值问题(多维探究)
角度一 利用几何性质求最值
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为________和________．
【解析】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆．
(1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
(2)y－x可以看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)，所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
【答案】 (1)eq \r(3) －eq \r(3) (2)－2＋eq \r(6) －2－eq \r(6) (3)7＋4eq \r(3) 7－4eq \r(3)
eq \a\vs4\al()
借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
角度二 建立函数关系求最值
(2020·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
【解析】 由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
【答案】 12
eq \a\vs4\al()
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．
1．已知点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2，eq \f(1,2)(4－eq \r(5)) B．eq \f(1,2)(4＋eq \r(5))，eq \f(1,2)(4－eq \r(5))
C.eq \r(5)，4－eq \r(5) D．eq \f(1,2)(eq \r(5)＋2)，eq \f(1,2)(eq \r(5)－2)
解析：选B.由题意知|AB|＝eq \r(（－1）2＋（－2）2)＝eq \r(5)，
lAB：2x－y＋2＝0，
由题意知圆心坐标为(1，0)，
所以圆心到直线lAB的距离d＝eq \f(|2－0＋2|,\r(4＋1))＝eq \f(4,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5).
所以S△PAB的最大值为eq \f(1,2)×eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)＋1))＝eq \f(1,2)(4＋eq \r(5))，
S△PAB的最小值为eq \f(1,2)×eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)－1))＝eq \f(1,2)(4－eq \r(5))．
2．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝eq \f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为________和________．
解析：由题意，得eq \f(y＋1,x)表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点P(x，y)的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4±\r(7),3)，所以zmax＝eq \f(4＋\r(7),3)，zmin＝eq \f(4－\r(7),3).
答案：eq \f(4＋\r(7),3) eq \f(4－\r(7),3)
3．设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．
解析：由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq \r(6×5－5)＝10.
答案：10
[基础题组练]
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A.设圆心为(0，a)，则eq \r(（1－0）2＋（2－a）2)＝1，
解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
2．(2020·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq \f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq \f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
3．方程|x|－1＝eq \r(1－（y－1）2)所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（|x|－1）2＋（y－1）2＝1，,|x|－1≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）2＋（y－1）2＝1，,x≥1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2＋（y－1）2＝1，,x≤－1.))
故原方程表示两个半圆．
4．(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为( )
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0
C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0
解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－eq \f(1,2)，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－4）2＋y2＝16,y＝2x))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5),y＝\f(16,5)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝0))(舍去)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))，因为A(8，0)，所以kAB＝eq \f(\f(16,5),\f(8,5)－8)＝－eq \f(1,2)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
5．(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( )
A.eq \r(26)＋2 B．eq \r(26)＋4
C．2eq \r(26)＋4 D．2eq \r(26)＋2
解析：选C.取AB的中点D(2，－3)，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝|2eq \(PD,\s\up6(→))|，|eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r，又d＝eq \r(1＋25)＝eq \r(26)，所以d＋r＝eq \r(26)＋2.
所以|2eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为2eq \r(26)＋4.故选C.
6．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为________．
解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)，－1)).因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，所以直线x－y＋1＝0经过圆心，即－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径为eq \f(1,2)×eq \r(42＋22－4×（－4）)＝3.
答案：3
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq \f(2a,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq \r(4＋5)＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
8．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2
9．(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为________．
解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
所以设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，
所以半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq \f(|2a|,\r(2))，
所以d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq \f(|a－b|,\r(2))，
所以r2＝eq \f(（a－b）2,2)＋7，即2r2＝(a－b)2＋14. ①
由于所求圆与y轴相切，所以r2＝a2， ②
又因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
所以a－3b＝0， ③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，
所以Δ＝0，则E2＝4F. ①
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，
由已知得d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ②
又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，
所以D－3E＝0. ③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[综合题组练]
1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.
2．设点P是函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(8\r(5),5)－2 B．eq \r(5)
C.eq \r(5)－2 D．eq \f(7\r(5),5)－2
解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝eq \r(5)，|PQ|min＝|CA|－2＝eq \r(5)－2.故选C.
3．(2020·福建厦门一模)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝eq \f(π,3)，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为________．
解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
则A(0，0)，B(4，0)，C(1，eq \r(3))，设P(x，y)，则eq \(PB,\s\up6(→))＝(4－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，eq \r(3)－y)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(4－x)(1－x)－y(eq \r(3)－y)＝x2－5x＋y2－eq \r(3)y＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－3，其中eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)表示圆A上的点P与点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))－1＝eq \r(7)－1，
所以(eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→)))min＝(eq \r(7)－1)2－3＝5－2eq \r(7).
答案：5－2eq \r(7)
4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10).则直线CD的方程为________，圆P的方程为________．
解析：由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4eq \r(10)，所以|PA|＝2eq \r(10)，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2.))
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
答案：x＋y－3＝0 (x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40
5．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝eq \f(16,5)，y1y2＝eq \f(8＋m,5).因为OM⊥ON，所以eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×eq \f(16,5)＋16＝0，解得m＝eq \f(8,5).
(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝eq \f(1,2)(x1＋x2)＝eq \f(4,5)，b＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＝eq \f(8,5)，半径r＝|OC|＝eq \f(4\r(5),5)，所以所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(8,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,5).
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－eq \f(1,2).
由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－eq \f(1,2)，
此时C(0，－1)，AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))即圆心，半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，
故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(17,16).
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5))).
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径：eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
标准方程的设法
一般方程的设法
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
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