2023届高考一轮复习讲义（理科）第八章　立体几何 第4讲　高效演练分层突破学案

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1．(2020·河北衡水模拟一)已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α∥β的充分条件是( )
A．m∥n，m⊂α，n⊂β B．m∥n，m⊥α，n⊥β
C．m⊥n，m∥α，n∥β D．m⊥n，m⊥α，n⊥β
解析：选B.对于A，两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，这两个平面可能平行， 也可能相交，因此A中条件不是α∥β的充分条件；对于B，因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，结合n⊥β，知α∥β，因此B中条件是α∥β的充分条件；对于C，由m⊥n，m∥α知n⊂α，或n∥α，或n与α相交，结合n∥β，知α，β可能平行，也可能相交，所以C中条件不是α∥β的充分条件；对于D，由m⊥n，m⊥α知n⊂α，或n∥α，结合n⊥β，知α⊥β，所以D中条件不是α∥β的充分条件．综上可知．选B.
2．(2020·江西红色七校联考)设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
C．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
D．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
解析：选C.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以选项A不正确；若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确．故选C.
3．(2020·湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：
①若a∥c，b∥c，则a∥b；
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；
④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行，相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a⊂α，b⊂β，α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A.
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊eq \f(1,5)BD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊eq \f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．
5.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；
②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1；
④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选A.因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，
因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；
因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；
因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，
所以FG∥平面BC1D1，故③正确；
因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.
6．在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案：平面ABD与平面ABC
7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，
所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．
故EF＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
8.如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是 BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD＝D，
所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.
答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)
9.在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.
(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．
解：(1)过点P作B′C′的平行线，
交A′B′，C′D′于点E，F，
连接BE，CF.
作图如下：
(2)EF∥平面ABCD.理由如下：
因为BC∥平面A′B′C′D′，
又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，
所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，
又因为EF⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
10．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
[综合题组练]
1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在的平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；
对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，
所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH(水面)．
所以③是正确的；
因为水是定量的(定体积V)．
所以S△BEF·BC＝V，
即eq \f(1,2)BE·BF·BC＝V.
所以BE·BF＝eq \f(2V,BC)(定值)，即④是正确的，故选C.
2.(2020·江西吉安一模)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A.eq \r(2) B．eq \f(9,8)
C.eq \r(3) D．eq \f(\r(6),2)
解析：选B.如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，
AM⊄平面BDFE，
所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，
所以平面AMN∥平面BDFE，
BD＝eq \r(2)，EF＝eq \f(1,2)B1D1＝eq \f(\r(2),2)，DF＝BE＝eq \f(\r(5),2)，等腰梯形BDFE如图2，
过E，F作BD的垂线，垂足分别为G，H，则四边形EFGH为矩形，所以FG＝eq \r(DF2－DG2)＝eq \r(\f(5,4)－\f(1,8))＝eq \f(3\r(2),4)，
故所得截面的面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\r(2)))×eq \f(3\r(2),4)＝eq \f(9,8)，故选B.
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq \f(2,3)BD1.则以下四个说法：
①MN∥平面APC；
②C1Q∥平面APC；
③A，P，M三点共线；
④平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是________(填序号)．
解析：①连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，
易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；
②由①知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，AN⊂平面APC，
所以C1Q∥平面APC是正确的；
③由①知A，P，M三点共线是正确的；
④由①知MN⊂平面APC，
又MN⊂平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面APC是错误的．
答案：②③
4.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝eq \f(a,3)，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．
解析：因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥PQ.
又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，
设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，
所以△APM∽△DPQ.
所以eq \f(PQ,PM)＝eq \f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.
又知△APM∽△ADB，
所以eq \f(PM,BD)＝eq \f(AP,AD)＝eq \f(1,3)，
所以PM＝eq \f(1,3)BD，又BD＝eq \r(2)a，
所以PQ＝eq \f(2\r(2),3)a.
答案：eq \f(2\r(2),3)a
5.如图，在四棱锥P­ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD的中点．
(1)设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；
(2)若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB.
解：(1)分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；
R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，
所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，
由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l.
(2)证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝eq \f(1,2)AD，
又AO＝eq \f(1,2)AD，所以BC∥AO，
且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，
所以OC∥AB，则OC∥平面PAB；
又OE为△PAD的中位线，则OE∥AP，
所以OE∥平面PAB，
又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，
所以平面PAB∥平面OEC，
又OQ⊂平面OEC，
所以OQ∥平面PAB.
6．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.
证明：(1)由题设知BB1綊DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，
B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綊B1C1綊BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，
D1C⊂平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，
所以B1D1∥l.