2023届高考一轮复习讲义（文科）第八章　立体几何 第1讲　高效演练 分层突破学案

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1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．四面体 D．三棱柱
解析：选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．
2．下列说法正确的有( )
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．
3．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A．①③ B．①④
C．②④ D．①②③④
解析：选A.由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．
4．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
解析：选B.如图所示，
在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，剩余部分是四棱锥A′­BCC′B′.
5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为 ．
解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝eq \f(\r(2),4)S＝5eq \r(2)(cm2)．
答案：5eq \r(2) cm2
6．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为 cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．
所以AB＝eq \r(122＋52)＝13(cm)．
答案：13
7．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为eq \r(3)，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为 ．
解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO＝eq \r(2)，又PA＝eq \r(3)，于是解得PO＝1，所以PE＝eq \r(2)，故其正视图的周长为2＋2eq \r(2).
答案：2＋2eq \r(2)
8．如图1，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．

(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求PA的长．
解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.
(2)由侧视图可求得PD＝eq \r(PC2＋CD2)＝eq \r(62＋62)＝6eq \r(2) (cm)．
由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，
所以在Rt△APD中，
PA＝ eq \r(PD2＋AD2)＝ eq \r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq \r(3) (cm)．
[综合题组练]
1．(2020·陕西西安陕师大附中等八校3月联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径长为( )
A.eq \r(193) B．25
C．2eq \r(193) D．31
解析：选B.将正三棱柱ABC­A1B1C1沿侧棱AA1展开两次，如图所示：
在展开图中，AA1的最短距离是大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上绕两圈所走路程的最小值．
由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.
所以矩形的长等于4×6＝24，宽等于7.
由勾股定理求得d＝eq \r(242＋72)＝25.故选B.
2．(2020·吉林第三次调研测试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积为( )
A．2 B．1
C.eq \r(3) D．2eq \r(2)
解析：选A.由题中三视图可知该几何体为四棱锥P­ABCD，其中底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD.
所以eq \f(1,3)×eq \f(1＋2,2)×2x＝2，解得x＝2.所以正视图的面积S＝eq \f(1,2)×2×2＝2.故选A.
3．(一题多解)(2020·河南非凡联盟4月联考)某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O′A′B′C′为平行四边形，D′为C′B′的中点，则图(2)中平行四边形O′A′B′C′的面积为 ．
解析：法一：由题图易知，该几何体为一个四棱锥(高为2eq \r(3)，底面是长为4，宽为3的矩形)与一个半圆柱(底面圆半径为2，高为3)的组合体，所以其俯视图的外侧边沿线组成一个长为4，宽为3的矩形，其面积为12，由斜二测知识可知四边形O′A′B′C′的面积为4×eq \f(3,2)sin 45°＝3eq \r(2).
法二：由斜二测画法可先还原出俯视图的外轮廓是长为4，宽为3的矩形，其面积为4×3＝12，结合直观图面积是原图形面积的eq \f(\r(2),4)，即可得结果．
答案：3eq \r(2)
4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 ．
解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF、DC最长，且DC＝AF＝eq \r(BF2＋AB2)＝3eq \r(3).
答案：3eq \r(3)