【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：三角

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：三角，共10页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共28小题；共140分）
1. sin2⋅cs3⋅tan4 的值
A. 小于 0B. 大于 0C. 等于 0D. 不存在

2. 已知 α 是第一象限角，那么 α2 是
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角

3. 若 α 为第四象限角，则
A. cs2α>0B. cs2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0

4. 中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上 7 点与 8 点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是
A. 7 点 36 分B. 7 点 38 分C. 7 点 39 分D. 7 点 40 分

5. △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 2bcsC=2a+c，则角 B 的值为
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘

6. 在 △ABC 中，若 AB=13，BC=3，∠C=120∘，则 AC =
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 在 △ABC 中，若 a=3+1，b=3−1，c=10，则此三角形中最大内角是
A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘

8. 把 56∘15′ 化为弧度是
A. 5π8B. 5π4C. 5π6D. 5π16

9. 电流强度 IA 随时间 ts 变化的关系式是 I=5sin100πt+π3，则当 t=1200 s 时，电流强度 I 为
A. 5 AB. 2.5 AC. 2 AD. −5 A

10. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a=6，c=4，sinB2=33，则 b=
A. 9B. 36C. 62D. 6

11. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 b=8，c=5，且 S△ABC=10，则 A=
A. 30∘B. 90∘C. 150∘D. 30∘ 或 150∘

12. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a:b:c=4:5:6，则其最大内角的余弦值为
A. 18B. 14C. 310D. 35

13. 若 A，B，C 是 △ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是
A. csA+B=csCB. sinA+B=−sinC
C. csA2+C=sinBD. sinB+C2=csA2

14. 若 sinA=13，则 sinπ−A 的值为
A. 13B. −13C. −223D. 223

15. 函数 y=sin2x 的图象向右平移 π6 个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式是
A. y=sin2x−π6B. y=sin2x+π6
C. y=sin2x+π3D. y=sin2x−π3

16. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载：“今有宛田，下周八步，径四步，问为田几何?”译成现代汉语其大意为：有一块扇形的田，弧长 8 步，其所在圆的直径是 4 步，则这块田的面积是多少平方步?
A. 8B. 6C. 4D. 16

17. 已知扇形的面积为 4，弧长为 4，则这个扇形的圆心角是
A. 4B. 2∘C. 2D. 4∘

18. 假定现在时间是 12 时整，再过 t 小时，分针与时针第一次重合，则 t=
A. 1211B. 1312C. 2524D. 98

19. sin5π12+cs5π12⋅sin5π12−cs5π12=
A. 12B. −12C. 32D. −32

20. 化简 csπ2−αtan2π−αsinπ+αctπ2+α，得
A. 1B. −1C. ±1D. tan2α

21. 2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日 π Day．历史上，求圆周率 π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔 ⋅ 卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2π 的近似值．按照阿尔 ⋅ 卡西的方法，π 的近似值的表达式是
A. 3nsin30∘n+tan30∘nB. 6nsin30∘n+tan30∘n
C. 3nsin60∘n+tan60∘nD. 6nsin60∘n+tan60∘n

22. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 c2=a−b2+6，C=π3 ， 则 △ABC 的面积
A. 3B. 932C. 332D. 33

23. 已知锐角三角形的三边长分别为 1，3，a，那么 a 的取值范围为
A. 22,4B. 22,10C. 22,10D. 10,4

24. 已知在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a=5，csC=45，△ABC 的面积为 3，则 c 等于
A. 11B. 23C. 13D. 14

25. 在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH 是圆 x2+y2=1 上的四段弧（如图），点 P 其中一段上，角 α 以 Ox 为始边，OP 为终边．若 tanαA. ABB. CDC. EFD. GH

26. 已知 △ABC 的三条边的长度分别为 4 米、 5 米、 6 米，将三边都截掉 x 米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则 x 的取值范围是
A. 0,5B. 1,5C. 1,3D. 1,4

27. 将函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的 3 倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移 π6 个单位长度，得到函数 y=fx 的图象，则 fx 的解析式为
A. y=sin3x+π6B. y=sin3x+π2
C. y=sinx3+π18D. y=sinx3+π6

28. 已知角 α 和 β 的终边关于 x 轴对称，则下列各式中正确的是
A. sinα=sinβB. sinα−2π=sinβ
C. csα=csβD. cs2π−α=−csβ

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a2+c2−b2tanB=3ac，则角 B 的值为
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3

30. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+b:a+c:b+c=9:10:11，则下列结论正确的是
A. sinA:sinB:sinC=4:5:6
B. △ABC 是钝角三角形
C. △ABC 的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的 12
D. csA:csB:csC=12:9:2
答案
第一部分
1. A【解析】因为 π2<2<3<π<4<3π2，所以 sin2>0，cs3<0，tan4>0．
所以 sin2⋅cs3⋅tan4<0．
2. D【解析】因为 α 的取值范围 2kπ,π2+2kπ k∈Z．
所以 α2 的取值范围是 kπ,π4+kπ k∈Z．
分类讨论
① 当 k=2i+1（其中 i∈Z）时，α2 的取值范围是 π+2iπ,5π4+2iπ，即 α2 属于第三象限角．
② 当 k=2i（其中 i∈Z）时，α2 的取值范围是 2iπ,π4+2iπ，即 α2 属于第一象限角．
3. D
4. B【解析】设 7 点 t 分（0在 7 点时，时针 OC 与分针 OD 所夹的角为 210∘，
时针每分钟转 0.5∘，分钟每分钟转 6∘，
则分钟从 OD 到达 OB 需旋转 6t∘，时针从 OC 到达 OA 需旋转 0.5t∘，
于是 6t∘=0.5t∘+210∘，解得 t=38211≈38，
故选B．
5. C
【解析】根据题的条件，结合余弦定理可得 2b×a2+b2−c22ab=2a+c，
整理得 a2+b2−c2=2a2+ac，即 a2+c2−b2=−ac，
所以有 csB=a2+c2−b22ac=−12，
因为 0∘所以 B=120∘．
6. A【解析】余弦定理 AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅csC 将各值代入，
得 AC2+3AC−4=0，
解得 AC=1 或 AC=−4（舍去）．
7. C【解析】由题意可知，此三角形中最大内角是角 C，由余弦定理可得
csC=a2+b2−c22ab=4+23+4−23−104=−12,
所以 C=120∘，
8. D【解析】56∘15′=56.25∘=56.25×π180=516π．
9. B【解析】将 t=1200 代入 I=5sin100πt+π3 得 I=2.5 A．
10. D
【解析】因为 sinB2=33，
所以 csB=1−2sin2B2=1−2×332=13．
由余弦定理得 b2=a2+c2−2accsB=62+42−2×6×4×13=36，解得 b=6．
11. D【解析】由题可知 12bcsinA=10，因为 b=8，c=5．所以 sinA=12，所以 A=30∘或150∘．
12. A【解析】根据题意，设 a=4k，b=5k，c=6k，k>0，
且最大角为 C，
所以 csC=a2+b2−c22ab=16k2+25k2−36k22×4k×5k=18．
故选A．
13. D【解析】因为 A+B+C=π，
所以 A+B=π−C．
所以 csA+B=−csC，sinA+B=sinC．
所以A，B 都不正确．
同理，B+C=π−A，
所以 sinB+C2=sinπ2−A2=csA2．
故选D．
14. A【解析】因为 sinA=13，
所以 sinπ−A=sinA=13，
故选A．
15. D
【解析】函数 y=sin2x 的图象向右平移 π6 个单位长度后，所得的图象的函数解析式是 y=sin2x−π6=sin2x−π3．
16. A【解析】因为弧长 8 步，其所在圆的直径是 4 步，
所以该扇形田的面积 S=12×2×8=8（平方步），故选A．
17. C【解析】设扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为 α，弧长为 l，
根据扇形的面积公式可得 4=12×4r，
解得 r=2．
再根据弧长公式 l=rα，
解得 α=2，
所以扇形的圆心角的弧度数是 2，
故选C．
18. A【解析】时针 1 小时转过 30∘，t 小时转过 30t∘；
分针每分钟转过 6∘，t 小时转过 60t×6∘，
所以 30t=60t×6−360，
解得 t=1211．
19. C【解析】sin5π12+cs5π12sin5π12−cs5π12=sin25π12−cs25π12=−cs5π6=32.
20. B
21. A【解析】设内接正 6n 边形的周长为 C1，
外切正 6n 边形的周长为 C2，如图（1）所示，
sin360∘12n=BC1，
所以 BC=sin30∘n，
所以 AB=2sin30∘n，C1=12nsin30∘n．
如图（2）所示，
tan360∘12n=BʹCʹ1，
所以 BʹCʹ=tan30∘n，
所以 AʹBʹ=2tan30∘n，C2=12ntan30∘n．
所以 2π=C1+C22=6nsin30∘n+tan30∘n，
所以 π=3nsin30∘n+tan30∘n．
22. C【解析】因为 c2=a−b2+6，C=π3，
所以由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsπ3，
即 −2ab+6=−ab，ab=6，
因此 △ABC 的面积为 12absinC=3×32=332．
23. B【解析】依题意 △ABC 的三边长为 1，3，a，且 △ABC 是锐角三角形．
当 3 为最大边长时，3≥a，设 3 所对的角为 α，根据余弦定理得 csα=a2+12−322a>0，解得 3≥a>22．
当 a 为最大边长时，a>3，设 a 所对的角为 β，根据余弦定理得 csβ=1+9−a26>0，解得 3综上所述，实数 a 的取值范围是 22,10．
24. C【解析】因为 csC=45，
所以 sinC=35．
由 S=12absinC，可得 b=2，
根据余弦定理，得 c2=a2+b2−2abcsC=29−20×45=13，
所以 c=13．
25. C
【解析】A．在 AB 段，正弦线小于余弦线，即 csαB．在 CD 段正切线最大，则 csαC．在 EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足 tanαD．在 GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足 csα26. C【解析】根据题意，将三边都截掉 x 米后，三角形的三边长分别为 4−x 米、 5−x 米、 6−x 米，且 0设长为 6−x 米的边所对的角为 α，则 α 为钝角．
因为 4−x>0，5−x>0，6−x>0，csα=4−x2+5−x2−6−x224−x5−x<0，
所以 1因为 4−x+5−x>6−x，所以 x<3，所以 1故 x 的取值范围是 1,3．
27. C【解析】将函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变），得到 y=sinx3 的图象，再把函数图象向左平移 π6 个单位长度，得到函数 fx=sin13x+π6=sinx3+π18 的图象．
28. C【解析】由角 α 和 β 的终边关于 x 轴对称，可知 β=−α+2kπk∈Z，
故 csα=csβ．
第二部分
29. B， D
【解析】根据余弦定理可知 a2+c2−b2=2accsB，
代入 a2+c2−b2tanB=3ac，
可得 2accsB⋅sinBcsB=3ac，即 sinB=32．
因为 0所以 B=π3 或 B=2π3．
故选BD．
30. A， D
【解析】因为 a+b:a+c:b+c=9:10:11，
所以可设 a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x, 其中 x>0，
解得 a=4x,b=5x,c=6x,
所以 sinA:sinB:sinC=a:b:c=4:5:6 ⋯⋯①，
所以A正确；
由①可知边 c 最大，
所以三角形 ABC 中角 C 最大，
又 csC=a2+b2−c22ab=4x2+5x2−6x22×4x×5x=18>0，
所以角 C 为锐角，
所以B错误；
由①可知边 a 最小，所以三角形 ABC 中角 A 最小，
又 csA=c2+b2−a22bc=6x2+5x2−4x22×6x×5x=34≠2×18，
所以C错误；
csB=a2+c2−b22ac=4x2+6x2−5x22×4x×6x=916，
所以 csA:csB:csC=34:916:18=12:9:2，
所以D正确．
故选AD．