小题压轴题专练9 椭圆（2）

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1．动直线与椭圆有两个不同的交点，，在椭圆上找一点使的面积最大，则的最大值是
A．1B．2C．D．
解：设，，，，
联立，得，
△，得．
，，
，
当过点直线与动直线平行且与椭圆只有一个交点时，点到动直线距离取到最值（最大或最小），
不妨设过点直线方程为，联立，整理得，
则根据△，可得，
不妨取，则到直线的距离，
，
令，，则．
．
令，则．
当时，，当，时，，
．
的最大值为．
故选：．
2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为
A．B．C．D．
解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，．
且，，，，．
设，，
则，．
解得：，．
，
，
，
化为：．
令，，，．
，
．
．当且仅当时取等号．
故选：．
3．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
解：作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，
即，故平行四边形为矩形，
，
设，，
则在直角三角形中，，，①
得，②
①②得，令，得，
又由，得，，
，，即，
即，得，即，即，
则，即，得得
则椭圆的离心率的取值范围是，，
故选：．
4．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，，且直线与轴、轴分别交于点、，当为坐标原点）的面积最小时，、是椭圆的两个焦点），则此时△中的平分线的长度为
A．B．C．D．
解：由题意，切线方程为，
直线与、轴分别相交于点、，，，，
，，
，当且仅当时，为坐标原点）的面积最小，
设，，则，由余弦定理可得，，
△的面积，
，，，
，，
设△中的平分线的长度为，
则，
，
故选：．
5．已知点，在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．，C．，D．
解：由题意知，点，，
则，，，，
，，
；
又，代入椭圆方程中，
整理得；
令，；
，（a），
如图所示：△，
对称轴满足，即，
，，；
又，；则椭圆的离心率的取值范围是，．
故选：．
6．已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为
A．，B．C．，D．
解：延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，，
设直线的方程，，，，，
联立，整理得：，则，，
由，则，
解得：，，
由，整理得：，
则，即，
椭圆的离心率，
椭圆的离心率的取值范围，，
方法二：利用椭圆的极坐标方程．
由，且，，
由，所以，整理得，其中，，
由，不重合，所以，
，解得，所以，椭圆的离心率的取值范围，，
故选：．
7．已知点为椭圆的左顶点，为椭圆的右焦点，、在椭圆上，四边形为平行四边形为坐标原点），过直线上一点作圆的切线，为切点，若面积的最小值大于，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
解：因为四边形为平行四边形，
所以，，
设点纵坐标为，代入椭圆的方程得，
解得，
则，解得，
当，可得，
，，，
所以直线的方程为，
化简可得，
所以即为点到直线的距离，
所以，
所以，
整理得，
故，
所以，
所以，
所以舍去）或，
所以的取值范围为，．
故选：．
8．已知，是离心率为的椭圆的焦点，是椭圆上第一象限的点，若是△的内心，是△的重心，记△与△的面积分别为，，则
A．B．C．D．
解：离心率为，，则，，
设的坐标为，，三角形△的面积为，
则，是△的重心，，
即，设内切圆的半径为，则，
则，
即，即，则，则，
即则，即，故选：．
9．已知椭圆，直线过椭圆的左焦点且交椭圆于、两点，的中垂线交轴于点，则的取值范围为
A．B．C．D．
解：由椭圆的方程：，可得左焦点，
当直线的斜率为0时，则直线为轴，的中垂线为轴，这时与原点重合，
这时，，
所以，
当直线的斜率不存在时，的中垂线为轴，舍去，
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，的坐标分别为，，，，
联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，
，，
所以弦长，
，
所以的中点坐标，，
所以直线的中垂线方程为：，
令，可得，所以，，
所以，
所以，，
综上所述的取值范围，，
故选：．
10．已知，是椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是
A．B．C．D．
解：若要满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
当且仅当，即此时为椭圆短轴的端点时，最大，
如图，不妨设点为短轴的上顶点时，最大，设，则，
所以，因此当椭圆的离心率取得最小值时，，故椭圆的标准方程为，
连接，则，所以只需研究的最大值即可，
连接，，，当且仅当，，三点共线点在线段的延长线上）时，不等式取得等号，
所以的最大值，故的最大值是．
故选：．
多选题
11．设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，．过点的直线交椭圆于，两点，且，关于点对称，则下列结论正确的有
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在4个点，使得
D．直线的方程为
解：由椭圆的定义知，故，
因为，所以，所以，，
所以椭圆的方程为，
所以椭圆的焦距为，则正确，错误，
由知，故点在以为直径的圆上，
由知圆与椭圆有4个交点，正确，
依题意知点为弦的中点，设，，，，
则，两式作差可得，
因为，，所以，
故直线的方程为：，即，正确，
故选：．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其长轴长是短轴长的，若点是椭圆上不与，共线的任意点，且△的周长为16，则下列结论正确的是
A．的方程为
B．的离心率为
C．双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为
D．点是圆上一点，点，是的左、右顶点不与，重合），设直线，的斜率分别为，，若，，三点共线，则
解：根据题意可得，解得，，，
对于：椭圆的方程为，即正确；
对于，即错误；
对于：双曲线的渐近线为，
联立，且，，解得，，
双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，即正确；
对于：由题意知，，，
设，，则，
在圆上，且，，三点共线，
，，
，即，故选项正确．
故选：．
13．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．则下列命题正确的有
A．若是“黄金椭圆”，则
B．若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则△的周长为
C．若是左焦点，，分别是右顶点和上顶点，则
D．设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，，“黄金椭圆”上动点（异于，，设直线，的斜率分别为，，则
解：中没有指明焦点在轴还是轴，应该由两个值，所以不正确；
中，由题意，则，所以，则△的周长为，所以正确；
中，由题意可得，，，要使椭圆为“黄金椭圆”，则，
所以，所以，
所以，，
因为，，
所以，所以，所以正确；
中，由题意可得，，设，，
则为，
因为在椭圆上，所以，
所以，
因为黄金椭圆”上动点，所以，所以，而，
所以，即，
所以，可得正确．
故选：．
14．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是
A．若，则△的面积为
B．四边形，可能为矩形
C．直线的斜率为
D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为
解：由椭圆，得，，，
在△中，由余弦定理可得，，
即，解得，
，故错误；
若四边形为矩形，则，即，
即，
联立，得，
得，，，
即，得，该方程有实根，故正确；
由，得，由对称性，不妨设，
得，，，，
则，，则，故正确；
，
所在直线方程为，与椭圆联立，
可得，
即．
得，
，
故，则，故错误．
故选：．
填空题
15．把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于，两点，则半椭圆方程为 ，△的周长的取值范围是 ．
解：由，令，可得以及，
再由椭圆的方程及题意可得，，，
由，可得，
由可得，
所以，
所以半椭圆及圆弧的方程分别为，，
所以，
可得相当于椭圆的左焦点，
△的周长为，
当从（不包括向运动时，，
当在轴右侧时，，所以这时三角形的周长为8，
当从向运动时，在第四象限，则，，
这时三角形的周长小于8，
当运动到时，在处，不构成三角形，三角形的周长接近，
由曲圆的对称性可得运动到轴下方时，与前面的一样，
综上所述，△的周长的取值范围为，．
故答案为：；，．
16．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于，两点，且，过作交于点，点的坐标为，则椭圆的方程为 ．
解：由已知可得，所以，
则直线的方程为：，即，
代入椭圆方程消去整理可得：，
设，，，，，，则，
又由已知可得：，所以，则，
所以，
所以，
又由可得，
所以，即，
解得或4（舍去），所以，，
所以椭圆的方程为，
故答案为：．
17．设，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点是椭圆上的动点，过点作的角平分线的垂线，交于，交直线于，则点的横坐标的最小值为 ．
解：设，，，，因为点在椭圆上，
所以，
又，，
所以，
所以，
，
分别过点，作轴于，轴于，则，
所以，
所以，即，
有是的中点，所以，
令，
故，（当且仅当，即时，取等号）
即点的横坐标的最小值为．
故答案为：．
18．已知点，，，分别是椭圆的右顶点、下顶点、左焦点和右焦点，点，是椭圆上任意两点，若的面积最大值为，则的最大值为 ．
解：如图所示，，，，．
直线的方程为：．
设与直线平行且与椭圆相切于点的直线方程为：、
联立，化为：，
令△，
解得：．取．
与之间的距离．
的面积最大值．解得．
设，．
则．
则，当且仅当时取等号．
的最大值为．
故答案为：．