高频考点小题组合练(六)

这是一份高频考点小题组合练(六)，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知(x2＋a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))eq \s\up12(6)的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为( )
A．4 B．8
C．6 D．10
解析：B 令x＝1，则(1＋a)×26＝192，解得a＝2.因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))eq \s\up12(6)的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))eq \s\up12(r)＝Ceq \\al(r,6)x－2r，所以(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))eq \s\up12(6)的展开式中的常数项为x2Ceq \\al(1,6)x－2＋2×Ceq \\al(0,6)＝Ceq \\al(1,6)＋2Ceq \\al(0,6)＝8.故选B．
2．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根，且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆柱形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是( )
A．9 B．10
C．12 D．13
解析：A 设只能堆放n层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于n＋1，于是eq \f(n（n＋1）,2)≤100，且100－eq \f(n（n＋1）,2)0)的焦点为F，点A，B为抛物线上的两个动点，且∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则eq \f(|AB|,|MN|)的最小值为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(1,2)
C．2 D．1
解析：D 如图，过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，设|AF|＝m，|BF|＝n，则|AC|＝m，|BD|＝n，M是AB中点，且AC，MN，BD都与准线l垂直，则它们平行，因此|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq \f(m＋n,2)，|AB|＝eq \r(m2＋n2－2mncs 60°)＝eq \r(m2＋n2－mn)＝eq \r(（m＋n）2－3mn)≥ eq \r(（m＋n）2－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))\s\up12(2))＝eq \f(m＋n,2)，当且仅当m＝n时等号成立，所以eq \f(|AB|,|MN|)≥eq \f(\f(1,2)（m＋n）,\f(1,2)（m＋n）)＝1，即eq \f(|AB|,|MN|)的最小值为1.故选D．
6．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x＋1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6，7，8，9中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(5,6)
解析：D 正整数6的运算过程为6→3→10→5→16→8→4→2→1，运算次数为8；正整数7的部分运算过程为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10，至此运算次数为10，结合正整数6的运算过程知，正整数7总的运算次数为10＋6＝16；正整数8的运算次数为3；正整数9的部分运算过程为9→28→14→7，至此运算次数为3，结合正整数7的运算过程知，正整数9总的运算次数为3＋16＝19.∴6，7，8，9的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数，从6，7，8，9中任取2个数，所有的情况有Ceq \\al(2,4)＝6种，其中至少有1个数的运算次数为奇数的情况有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,2)＝5种，故所求概率P＝eq \f(5,6).故选D．
7．(2021·天津耀华中学模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈(0，1]时，f(x)＝ln x，则下列关于函数f(x)叙述正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为1
B．函数f(x)在(0，2 021)内单调递增
C．函数f(x)相邻两个对称中心的距离为2
D．函数y＝f(x)＋ln x在区间(0，2 021)内有1 011个零点
解析：D 由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)最小正周期为2，A错误；当x∈(0，1]时，f(x)＝ln x，又f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，可得f(x)大致图象如图①所示，
由图象可知，f(x)在(0，2 021)上没有单调性，B错误；f(x)的对称中心为(k，0)(k∈Z)，则相邻的对称中心之间距离为1，C错误；y＝f(x)＋ln x在区间(0，2 021)内的零点个数等价于f(x)与y＝－ln x在(0，2 021)内的交点个数，在平面直角坐标系中画出f(x)与y＝－ln x的大致图象如图②所示，
由图象可知，f(x)与y＝－ln x在每个(2k，2k＋2)(k∈Z)内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于2k＋1，∴两个函数在(0，2 021)内有1 011个交点，即y＝f(x)＋ln x在区间(0，2 021)内有1 011个零点，D正确．故选D．
8．过点P(－1，0)的直线与圆E：(x－3)2＋y2＝4相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(21),7) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(\r(42),7)
解析：D 如图所示，设切线方程为l：y＝k(x＋1)，
所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|4k|,\r(k2＋1))＝2，所以k＝±eq \f(\r(3),3)，所以lPM：y＝eq \f(\r(3),3)(x＋1)，lPN：y＝－eq \f(\r(3),3)(x＋1)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)（x＋1），,（x－3）2＋y2＝4))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝\r(3)，))所以M(2，eq \r(3))，所以N(2，－eq \r(3))，又因为四边形PMAN为平行四边形，且PM＝PN，所以四边形PMAN为菱形，因为P(－1，0)，MN中点为(2，0)，所以A(5，0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝25，,\f(4,25)＋\f(3,b2)＝1，))所以b2＝eq \f(25,7)，所以e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(6,7)，所以e＝eq \f(\r(42),7).故选D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知ab>0，且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则下列不等式一定成立的有( )
A．a2b＋b
解析：AC 因为ab>0，且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，所以a，b同号，且aeq \f(b,a)，故B错误；因为ab>0，所以a，b同号，所以eq \f(a,b)>0，eq \f(b,a)>0，所以eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2，又a2，故C正确；因为函数y＝2x＋x是单调增函数，且a0，φ∈(0，2π))的图象如图，则( )
A．ω＝2
B．φ＝eq \f(π,3)
C．A＝2
D．x＝eq \f(5π,6)时，f(x)取最小值
解析：AB 对于A选项，由图可知eq \f(T,2)＝eq \f(π,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(π,2)⇒T＝π，所以ω＝eq \f(2π,π)＝2，故A正确；
对于B选项，由A选项知ω＝2，由于函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，所以0＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)＋φ))，所以2×eq \f(π,3)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，由于φ∈(0，2π)，所以φ＝eq \f(π,3)，故B选项正确；
对于C选项，由于函数图象过点(0，1)，故f(0)＝Asin eq \f(π,3)＝1⇒A＝eq \f(2,\r(3))，故C选项错误；
对于D选项，由于f(x)＝eq \f(2,\r(3))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，所以x＝eq \f(5π,6)时，2x＋eq \f(π,3)＝2π，f(x)不取最小值，故D选项错误．故选A、B．
11．如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是( )
A．f(x)在[－2，－1]上是增函数
B．当x＝3时，f(x)取得最小值
C．当x＝－1时，f(x)取得极小值
D．f(x)在[－1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
解析：CD 根据图象知当x∈(－2，－1)，x∈(2，4)时，f′(x)0，函数单调递增，故A错误，D正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，C正确；当x＝3时，f(x)不是最小值，B错误．故选C、D．
12.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)，若D1M⊥MN，下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1­A1D1M体积不变
解析：ACD 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图．
A1(3，0，3)，D1(0，0，3)，C(0，3，0)，B(3，3，0)，设M(3，y，0)，N(3，3，z)，y，z∈(0，3)，eq \(D1M,\s\up6(―→))＝(3，y，－3)，eq \(MN,\s\up6(―→))＝(0，3－y，z)，而D1M⊥MN，则eq \(D1M,\s\up6(―→))·eq \(MN,\s\up6(―→))＝y(3－y)－3z＝0⇒z＝eq \f(1,3)y(3－y)，
对于A选项，eq \(A1M,\s\up6(―→))＝(0，y，－3)，则eq \(A1M,\s\up6(―→))·eq \(MN,\s\up6(―→))＝y(3－y)－3z＝0⇒eq \(A1M,\s\up6(―→))⊥eq \(MN,\s\up6(―→))，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项，eq \(CM,\s\up6(―→))＝(3，y－3，0)，eq \(CM,\s\up6(―→))·eq \(MN,\s\up6(―→))＝(y－3)·(3－y)＝－(3－y)2